2023-2024学年福建省莆田八中高一（下）第一次月考数学试卷(含解析）

2023-2024学年福建省莆田八中高一（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知扇形的周长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数为( )
A. B. C. 或 D. 或
2.设，是非零向量，“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知在中，点在边上，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知角的终边在直线上，则( )
A. B. C. D.
5.在在中，点线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则( )
A. B. C. D.
6.已知，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.为了得到函数的图象，可以将的图象( )
A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
8.把与直线垂直的向量称为直线的法向量设是直线的一个方向向量，那么就是直线的一个法向量借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离已知是直线外一点，是直线的一个法向量，在直线上任取一点，那么在法向量上的投影向量为为向量与的夹角，其模就是点到直线的距离，即据此，请解决下面的问题：已知点，，，则点到直线的距离是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若的终边经过点，则( )
A. 是第四象限角 B. C. D.
10.设向量，，则( )
A. B. 与的夹角为
C. D.
11.三角形中，角，，的对边分别为，，，下列条件能判断是钝角三角形的有( )
A. ，， B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，共30分。
12.求值： ．
13.已知两点和，在直线上存在一点，使，那么点的坐标为______．
14.若点是内的一点，且满足，则______．
15.已知函数．
求的最小正周期；
求在区间上的最大值和最小值．
四、解答题：本题共4小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知向量，，
若，求的值；
若向量，求的值．
17.本小题分
已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，且，，三点共线．
Ⅰ求实数的值；
Ⅱ若，，求的坐标；
Ⅲ已知，在Ⅱ的条件下，若，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
18.本小题分
已知，，与的夹角为．
求，在方向上的投影；
求的值；
若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若的外接圆半径为，求面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设扇形的圆心角为，半径为，则，
解得或．
故选：．
设出扇形的圆心角为，半径为，根据扇形的周长为，面积是，列出方程组，求出扇形的圆心角的弧度数．
本题考查扇形面积公式，考查方程思想，考查计算能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，
即由不能推出，
由表示同向且模相等，则，
所以“”是“”的必要而不充分条件．
故选：．
根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据向量的线性运算求解即可．
本题考查平面向量的线性运算，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为角的终边在直线上，所以，
所以．
故选：．
根据终边上一点求出角的正切，再结合二倍角正弦公式，余弦公式，化简求值即可．
本题考查了正切值的定义与二倍角的正弦、余弦公式应用问题，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：如图，足，，设，，
，
又，
，．
故选：．
根据平面向量的基本定理，向量的线性运算即可求解．
本题考查平面向量的基本定理，向量的线性运算，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意得，所以，
所以，则．
故选：．
由题意可得，再结合，从而可求解．
本题考查平面向量线性运算及模的性质，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：将的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，
故选：．
由题意利用诱导公式化简函数的解析式，再利用函数的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查诱导公式的应用，函数的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：点，，，
，，
直线的法向量，
点到直线的距离为：．
故选：．
求出直线的法向量，由点到直线的距离，能求出点到直线的距离．
本题考查点到平面的距离的求法，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为点在第四象限，所以是第四象限角，A正确；
，B正确；
，C错误；
，D正确．
故选：．
根据三角函数的定义即可得出正确的选项．
本题考查了三角函数的定义，象限角的定义，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：，，
则，，故A正确；
，
则，
故的夹角为，故B错误；
，，
则，故C错误，D正确．
故选：．
根据已知条件，结合向量模公式，向量的夹角公式，向量垂直的性质，即可依次求解．
本题主要考查向量模公式，向量的夹角公式，向量垂直的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项A：由可知，且，即，所以，所以是锐角，故A不能判断；
对于选项B：由，得，则为钝角，故B能判断；
对于选项C：由正弦定理，得，则，为钝角，故C能判断；
对于选项D：由正弦定理，条件等价于，
由，，则，即，由，故，则，故D不能判断．
故选：．
利用余弦定理可判断，由平面数量积的定义可判断，根据正余弦定理可判断，由三角恒等变换可判断．
本题主要考查平面向量数量积的性质及其运算，考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两角和的正切函数公式的应用，考查计算化简能力，属于基础题．
利用，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值．
【解答】
解：，
，
．
故答案为：．
13.【答案】或
【解析】解：设点的坐标为，
由，可得或，
，
则有，
所以，，解得，，此时；
，
则有，
所以，，解得，，此时，
综上，点的坐标为或．
故答案为：或．
根据题意设出点的坐标，根据平面向量的坐标运算和模的运算即可得出答案．
本题考查平面向量的坐标运算，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为点是内的一点，且满足，
所以点为的重心，
即，
所以，
故答案为：．
由三角形的重心的向量表示得：点为的重心，
由三角形的面积的运算可得：，得解．
本题考查了三角形的重心的向量表示及三角形的面积，属中档题．
15.【答案】解：Ⅰ
，
的最小正周期；
Ⅱ，
，
，
．
，．
【解析】Ⅰ利用两角和与差的三角函数关系将转化为，即可求得的最小正周期；
Ⅱ由，，利用正弦函数的单调性质即可求其的最大值和最小值．
本题考查两角和与差的三角函数关系与二倍角的公式，考查正弦函数的单调性，求得的解析式是关键，属于中档题．
16.【答案】解：由可得，
即，则，
由题意可得即，
．
【解析】由向量垂直得数量积等于，列出的三角方程，化简即可求出结果．
由向量数量积的坐标运算求出，再利用倍角公式可求出结果．
本题把向量的代数运算与三角函数的求值化简结合到一起，考查学生的计算能力，属于中低档题．
17.【答案】解：Ⅰ，
因为，，三点共线，所以存在实数，使得，
即，得，
因为，是平面内两个不共线的非零向量，
所以，解得，；
Ⅱ；
Ⅲ因为，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以，
设，则，
因为，所以，解得，
即点的坐标为．
【解析】Ⅰ可得出，然后根据，，三点共线可得出，从而可得出，然后即可求出；
Ⅱ可得出，然后代入的坐标即可；
Ⅲ根据题意得出，可设，然后可得出，然后解出，的值，从而可得出点的坐标．
本题考查了向量加法的几何意义，共线向量和平面向量基本定理，相等向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：在方向上的投影为；
，
，
则；
向量与的夹角是锐角，
可得，且与不共线，
即为，
即有，解得，
由与共线，可得，
解得，
则实数的取值范围为．
【解析】由向量投影概念可得结果；
运用向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值；
由题意可得，且与不共线，计算即可得到所求范围．
本题考查向量的数量积的定义和性质，以及向量的投影和夹角为锐角的等价条件，考查运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：因为，
由正弦定理可得，
即，
即，
因为，
所以，
所以，
又，
故；
由正弦定理得：，
即，
解得，
又由余弦定理得：，
即
又因为，
所以，当且仅当时取等号，
则，
即的面积的最大值为．
【解析】由正弦定理可得，然后结合两角和与差的三角函数可得，然后求解即可；
由正弦定理及余弦定理，结合重要不等式及三角形的面积公式求解即可．
本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了两角和与差的三角函数及三角形的面积公式，属基础题．
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