河南省信阳高级中学2023-2024学年高二下期04月月考（一）
数学答案
1-5 CABCD 6-8 BAB 9-11 BC AB ACD
12.-115 13.720 14.
15．(1)；(2)
【分析】（1）利用极值点的意义得到，从而求得，再进行验证即可得解；
（2）分类讨论的取值范围，利用导数得到的性质，从而得到且，解之即可得解.
【详解】（1）因为，则，
因为函数在处取得极值，所以，解得，
当时，可得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，符合题意，故.
（2）由，其中，
当时，可得，单调递增，
此时函数至多有一个零点，不符合题意；
当时，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以当时，取得极大值，也是最大值，
最大值为，
又，且当时，，
所以要使得函数有两个零点，则满足，
即，解得，
所以实数的取值范围是.
16．(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）利用线面平行的性质推导出，利用面面平行的性质可推导出，即可证得结论成立；
（2）证明出平面，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）证明：在三棱柱中，，
因为平面，平面，所以，平面，
因为平面，平面，所以，，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，，因此，四边形为平行四边形．
（2）解：因为，平面平面，平面平面，
平面，所以，平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
平面内过点且垂直于的直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
因，，
则，，，，
，，，，
，
设平面的法向量，则，
令，得，
而，设直线与平面所成角为，
于是得，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17．(1)；(2)
【分析】（1）由题意得出，然后与原式结合，两式相减并化简求出，最后根据等差数列的定义求得答案；
（2）结合（1），分别讨论，和三种情况，分别求出，进而求出.
【详解】（1）因为，所以，
两式相减得，所以．
又，所以数列是首项为，公差为2的等差数列，所以.
（2）由得，当时，，
当时，，
当时，，
所以
.
18．(1)；(2)①；②
【分析】（1）根据椭圆离心率和长轴的概念建立方程组，解之即可求解；
（2）①易知当时；当时，利用两点表示斜率公式和点斜式方程表示出直线、方程，联立方程组，化简计算求出点T的坐标，即可求解点T的轨迹方程；②利用面积公式建立关于的方程，化简计算即可求解.
【详解】（1）由题意知，，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）①：由（1）知，，设，则，
易知当时，，，此时，
由，解得，即；
当时，，，设直线的斜率为，
则，
所以直线方程为，又直线方程为，
由，得，即，
解得，
将代入直线方程，得，即，
又，所以，
故点的轨迹方程为；
②：由，得，
又，所以，得，
整理得，又，所以，
整理得，即，
由，解得.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查椭圆的标准方程、动点得轨迹方程以及面积问题，第二问关键是寻找点与直线的斜率之间的关系，即是求出直线方程的解题关键，表示出的代数式，需要扎实的计算能力才可以化简求解.
19．(1)，前项和为；(2)证明见解析；(3)证明见解析
【分析】
（1）根据题意可得为正项等比数列，求出首项与公比，再根据等比数列的前项和公式即可得解；
（2）由为阶等比数列，可得，使得成立，再根据阶等差数列即可得出结论；
（3）根据既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，可得与同时成立，再结合等比数列的定义即可得出结论.
【详解】（1）因为为1阶等比数列，所以为正项等比数列，
设公比为，则为正数，
由已知得
两式相除得，所以（舍去），所以，
所以的通项公式为，
前项和为；
（2）因为为阶等比数列，
所以，使得成立，
所以，
又，
所以，
即成立，
所以为阶等差数列；
（3）因为既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，
所以与同时成立，
所以与同时成立，
又的各项均为正数，所以对任意的，
数列和数列都是等比数列，
由数列是等比数列，
得也成等比数列，
设，
所以，所以是等比数列．
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.河南省信阳高级中学2023-2024学年高二下期04月月考（一）
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在数列中，若，则
A.2
B.-1
C.
D.1
2.若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数的值为
A.
B.9
C.
D.3
3.甲乙两位游客慕名来到赣州旅游，准备分别从大佘丫山、崇义齐云山、全南天龙山、龙南九连山和安远三百山5个景点中随机选择其中一个，记事件:甲和乙选择的景点不同，事件:甲和乙恰好一人选择崇义齐云山.则条件概率
A.
B.
C.
D.
4.已知，则
A.
B.
C.
D.展开式中一项式系数最大的项为第5项
5.若满足则最小值是
A.
B.
C.
D.
6.已知函数在区间存在单调递减区间，则的取值范围是
A.
B.
C.
D.
7.已知正三棱锥的高头，且，其各个顶点在同一球面上，且该球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为
A.
B.
C.
D.
8.已知数列的前项和为，且，若不等式对恒成立，则的取值范围为
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在二项式展开式中，所有项的系数和为，所有奇数项的二项式系数和为，且满足时，下列说法正确的有
A.
B.
C.展开式中二项式系数最大的项为第三项和第四项
D.展开式中各项的系数最大的为第三项
10.定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有
A.
B.函数既有极大值又有极小值
C.函数有三个零点
D.过可以作三条直线与图象相切
11.抛物线：是上的点，直线与交于两点，过的焦点作的垂线，垂足为，则
A.的最小值为1
B.的最小值为1
C.为钝角
D.若，直线与的斜率之积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.展开式中项系数为 .
13.现在有5通过3个不同的闸机进站乘车，每个闸机每次只能过1人，要求每个闸机都要有人经过，则有种不同的进站方式 （用数字作答）.
14.已知函数，若关于的不等式是自然对数的底数）在上恒成立，则的取值范围 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知函数
（1）若函数在处取得极值，求的值；
（2）若函数在定义域内存在两个零点，求的取值范围.
16.如图，三棱柱中，面面，，.过的平面交线段于点(不与端点重合），交线段于点.
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
17.已知数列满足，记数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前100项和.
18.已知椭圆的离心率为，长轴长为4，A，B是其左、右顶点，是其右焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设是椭圆上一点，的角平分线与直线交于点.
①求点的轨迹方程；
②若面积为，求.
19.在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等比数列.在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等着数列.
（1）若为1阶等比数列，，求的通项公式及前项和；
（2）若为阶等比数列，求证为阶等差数列；
（3）若既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，证明：是等比数列.
