湖北省荆州开发区高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖北省荆州开发区高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 651.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-20 16:34:22 | ||
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文档简介
荆州开发区高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数满足，则复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
2.“方程表示椭圆”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知等比数列中，，则公比（ ）
A.-2 B.2 C.3 D.2或-2
4.函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A.64 B.80 C.96 D.120
6.为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ）
A. B. C.2 D.3
7.下列不等式中，对任意的恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分）
9.下列命题正确的有（ ）
A.已知函数在上可导，若，则
B.
C.已知函数，若，则
D.设函数的导函数为，且，则
10.设是公差为的等差数列，为其前项的和，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.均为的最大值
11.双曲线具有如下光学性质：如图是双曲线的左 右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点.若双曲线的方程为，下列结论正确的是（ ）
A.若，则
B.当反射光线过时，光由所经过的路程为7
C.反射光线所在直线的斜率为，则
D.记点，直线与相切，则
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.写出一个数列的通项公式，使得这个数列的前项和在时取最大值，__________.
13.已知函数，则__________.
14.已知抛物线的焦点为点，过点的直线交抛物线于点两点，交抛物线的准线于点，且，则__________.
四 解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤）
15.（13分）已知递增的等比数列和等差数列，满足是和的等差中项，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
16.（15分）在三棱台中，底面，底面是边长为2的等边三角形，且为的中点.
（1）证明：平面平面.
（2）平面与平面的夹角能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由.
17.（15分）已知椭圆方程，左右焦点分别.离心率，长轴长为4.
（1）求椭圆方程.
（2）若斜率为1的直线交椭圆于两点，与以为直径的圆交于两点.若，求直线的方程.
18.（17分）已知函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意，都有，求的取值范围；
19 （17分）已知陏圆（常数），点为坐标原点.
（1）求椭圆离心率的取值范围；
（2）若是椭圆上任意一点，，求的取值范围；
（3）设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由.
荆州开发区高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷答案
1.C 2.A 3.B 4.C 5.C 6.B 7.C 8.D 9.CD 10.BCD 11.BCD
12.（答案不唯一） 13. 14.
15.（1）由题意知，，解得，设等比数列的公比为，
；由题意知，，则等差数列的公差，
.
（2），
.
16.（15分）（1）因为底面是边长为2的等边三角形，为的中点，
故；又底面底面，故，
又平面，故平面，
又平面，故平面平面；
（2）由已知可知，且为的中点，
则，即四边形为平行四边形，故，由底面，
得底面，因为平面，所以，
以为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
结合（1）可知平面的法向量可取为；
设平面的一个法向量为，而，
故，即，令，则，
假设平面与平面的夹角能为，则，
即，此方程无解，假设不成立，即平面与平面的夹角不能为.
17.（15分）（1）根据题意，设的坐标分别为，
根据椭圆的几何性质可得，解得，则，
故椭圆的方程为.
（2）假设存在斜率为1的直线，那么可设为，
则由（1）知的坐标分别为，可得以线段为直径的圆为，圆心到直线的距离，得，即，
则，
联立得，
设，则，得，
故，
，
由可得
解得，得.即存在符合条件的直线.
18.（1）易知，所以，又，
；
（2）若对任意的，都有，即恒成立，即：恒成立，令，则，
当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减；
时，有最大值，即的取值范围为；
19.（1）由椭圆方程为，则离心率，又，所以；
（2）由已知得，即，
又点是椭圆上任意一点，则，化
简可得，
设，则
（3）方法一：由已知可得，即，平方可得，又
在椭圆上，所以，
所以，化简可得，
，则
，
所以
，故的面积为定值；
方法二：由已知，即，
①当直线斜率不存在时，，则，
又在椭圆上，则，所以，
此时
②当直线斜率存在时，设直线的方程为：，
联立直线与椭圆，得，
则
，
，
则，即，
，点到直线的距离，
所以，所以的面积为定值.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数满足，则复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
2.“方程表示椭圆”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知等比数列中，，则公比（ ）
A.-2 B.2 C.3 D.2或-2
4.函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A.64 B.80 C.96 D.120
6.为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ）
A. B. C.2 D.3
7.下列不等式中，对任意的恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分）
9.下列命题正确的有（ ）
A.已知函数在上可导，若，则
B.
C.已知函数，若，则
D.设函数的导函数为，且，则
10.设是公差为的等差数列，为其前项的和，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.均为的最大值
11.双曲线具有如下光学性质：如图是双曲线的左 右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点.若双曲线的方程为，下列结论正确的是（ ）
A.若，则
B.当反射光线过时，光由所经过的路程为7
C.反射光线所在直线的斜率为，则
D.记点，直线与相切，则
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.写出一个数列的通项公式，使得这个数列的前项和在时取最大值，__________.
13.已知函数，则__________.
14.已知抛物线的焦点为点，过点的直线交抛物线于点两点，交抛物线的准线于点，且，则__________.
四 解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤）
15.（13分）已知递增的等比数列和等差数列，满足是和的等差中项，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
16.（15分）在三棱台中，底面，底面是边长为2的等边三角形，且为的中点.
（1）证明：平面平面.
（2）平面与平面的夹角能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由.
17.（15分）已知椭圆方程，左右焦点分别.离心率，长轴长为4.
（1）求椭圆方程.
（2）若斜率为1的直线交椭圆于两点，与以为直径的圆交于两点.若，求直线的方程.
18.（17分）已知函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意，都有，求的取值范围；
19 （17分）已知陏圆（常数），点为坐标原点.
（1）求椭圆离心率的取值范围；
（2）若是椭圆上任意一点，，求的取值范围；
（3）设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由.
荆州开发区高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷答案
1.C 2.A 3.B 4.C 5.C 6.B 7.C 8.D 9.CD 10.BCD 11.BCD
12.（答案不唯一） 13. 14.
15.（1）由题意知，，解得，设等比数列的公比为，
；由题意知，，则等差数列的公差，
.
（2），
.
16.（15分）（1）因为底面是边长为2的等边三角形，为的中点，
故；又底面底面，故，
又平面，故平面，
又平面，故平面平面；
（2）由已知可知，且为的中点，
则，即四边形为平行四边形，故，由底面，
得底面，因为平面，所以，
以为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
结合（1）可知平面的法向量可取为；
设平面的一个法向量为，而，
故，即，令，则，
假设平面与平面的夹角能为，则，
即，此方程无解，假设不成立，即平面与平面的夹角不能为.
17.（15分）（1）根据题意，设的坐标分别为，
根据椭圆的几何性质可得，解得，则，
故椭圆的方程为.
（2）假设存在斜率为1的直线，那么可设为，
则由（1）知的坐标分别为，可得以线段为直径的圆为，圆心到直线的距离，得，即，
则，
联立得，
设，则，得，
故，
，
由可得
解得，得.即存在符合条件的直线.
18.（1）易知，所以，又，
；
（2）若对任意的，都有，即恒成立，即：恒成立，令，则，
当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减；
时，有最大值，即的取值范围为；
19.（1）由椭圆方程为，则离心率，又，所以；
（2）由已知得，即，
又点是椭圆上任意一点，则，化
简可得，
设，则
（3）方法一：由已知可得，即，平方可得，又
在椭圆上，所以，
所以，化简可得，
，则
，
所以
，故的面积为定值；
方法二：由已知，即，
①当直线斜率不存在时，，则，
又在椭圆上，则，所以，
此时
②当直线斜率存在时，设直线的方程为：，
联立直线与椭圆，得，
则
，
，
则，即，
，点到直线的距离，
所以，所以的面积为定值.
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