吉林省长春市第二实验中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（含解析）

长春市第二实验中学2023-2024学年高二下学期4月月考
数学试卷
考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答策标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：人教版选择性必修第二册第四章 第五章5.2结束.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.数列的一个通项公式可以是（ ）
A. B. C. D.
2.函数在区间上的平均变化率为（ ）
A. B. C. D.
3.在等比数列中，，则（ ）
A.-3 B.3 C.-2 D.2
4.某种细胞进行分裂时，第一次一个分成两个，第二次两个分成四个，……，以，以此类推，则一个细胞经过五次分裂后共有细胞（ ）
A.16个 B.31个 C.32个 D.63个
5.已知函数的导函数为，若，则（ ）
A.1 B.-1 C. D.
6.等差数列的前项和分别为和，若，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知数列满足，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A.2 B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9.以下求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知等差数列的公差为-3，若，则首项的值可能是（ ）
A.18 B.19 C.20 D.21
11.已知数列满足，记数列的前项和为，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
12.列昂纳多 斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170-1250年）是意大利数学家，1202年斐波那契在其代表作《算盘书》中提出了著名的“兔子问题”，于是得斐波那契数列，斐波那契数列可用如下递推的方式定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：.下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系.该运动员在时的瞬时速度为__________.
14.将正整数18分解成两个正整数的积的形式有三种，且，则称3和6为18的最近因数.记正整数是正整数的最近因数，.若，则数列的前6项和是__________.
15.已知函数，其导函数记为，则__________.
16.“0，1数列”在通信技术中有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列.设是一个有限“0，1数列”，表示把中每个0都变为，每个1都变为，所得到的新的“0，1数列”.例如，则.设是一个有限“0，1数列”，定义.若有限“0，1数列”，则数列的所有项之和为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
设是公比不为1的等比数列，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）求过点且与的图象相切的直线方程.
19.（本小题满分12分）
对于三次函数.定义：①的导数为的导数为，若方程有实数解，则称点（为函数的“拐点”；②设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称.
（1）已知，求函数的“拐点”的坐标；
（2）检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称；
（3）对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）.
20.（本小题满分12分）
甲 乙 丙 丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了.预计以后每年资金年增长率与第一年相同.四人决定公司从第一年开始，每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底公司分红后的剩余资金为万元.
（1）求，并写出与的关系式；
（2）至少经过多少年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元？
（年数取整数，参考数据：）
21.（本小题满分12分）
设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且.
（1）求证：为等差数列，并分别求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围.
22.（本小题满分12分）
已知数列中，，数列的前项和满足.数列的前项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记与中相同的项由小到大构成的数列为，求数列的前项和.
长春市第二实验中学2023-2024学年高二下学期4月月考
数学
参考答案 提示及评分细则
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A C B C C A
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
题号 9 10 11 12
答案 CD BC AB BD
1.B 分母是序号的2倍，分母加1是分子.故选B.
2.D .
3.A 设数列的公比为，由可得，故.
4.C 细胞分裂后细胞个数是一个以2为首项，2为公比的等比数列，则一个细胞经过五次分裂后共有细胞个数为.
5.B 因为，所以，所以，解得.故选B.
6.C 由等差数列性质可知，又.故选C.
7.C 因为恒成立，所以数列是递减数列，所以，即，解得.故选C.
8.A 设是图象上的一点，，所以在点处的切线方程为，即①
令，解得，所以，
即，解得或（此时①为，不符合题意，舍去），
所以，此时①可化为，所以.
9.CD 对于，因为，所以不正确；
对于，因为，所以不正确；
对于，因为，所以C正确；
对于，因为，所以正确.故选CD.
10.BC 由题意，得，所以.故选BC.
11.AB 因为，所以，
，所以数列是以3为周期的周期数列，所以
，故错误；
因为，
所以，故C正确；
，故D正确.故选AB.
12.BD 由题意知，
，
，故A错误；
对于，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，由，则，故D正确.故选BD.
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.-5 由题设，则，所以运动员在时的瞬时速度为.
14.124 由题知，.
15.2 函数，则，显然为偶函数，令，显然为奇函数，又为偶函数，所以，所以.
16. ，依题意，，.
显然，中有3项，其中2项为0，1项为1，由于每个0都变为，每个1都变为，则中有9项，其中4项为0，5项为1，同理可得有27项，其中有14项为0，13项为1.
由此可得中有项，其中0的项数与1的项数差的绝对值是1，
当为奇数时，0的项数为偶数，比1的项数多1项；
当为偶数时，0的项数为偶数，比1的项数少1项.
因此数列有项，0的项数比1的项数少1项，所以数列的所有项之和为.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.解：（1）设的公比为.
因为，即.
又因为，所以，即，
因为，所以.
所以.
（2）由（1）得，
所以是以3为首项，4为公比的等比数列，
所以.
18.解：（1）由题意得，
所以，
所以的图象在处的切线方程为，
即.
（2）设切点为，
易得在处的切线为.
因为切线过点，则，
化简得，即，所以，
所以所求切线方程为，化简得.
19.解：（1）依题意，得：.
由，即，又，
的“拐点”的坐标是.
（2）由（1）知“拐点”坐标是.
而，
由定义②知的图象关于“拐点”对称.
（3）一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心.
（或者：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数）
20.解：（1）由题意得，投入生产的启动资金共有万元，
，
，
.
（2）由（1）知
，
令，所以.
所以至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元.
21.解：（1）由题意知：当时，，代入得，
所以.
由得，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以.
当时，，
当时，也符合上式，所以.
（2）由（1）得，
所以
.
显然单调递增，所以.
由题意得，即，
又，所以的取值范围为.
22.解：（1），
两式相减得，即数列为等差数列，首项，公差，
故数列的通项公式为.
，
当时，，
是首项为1，公比为2的等比数列，.
（2）由（1）知，设，则有，故数列与相同的项为，
故.
，①
，②
①-②得，
故.