浙江省三锋教研联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题（含答案）

绝密★考试结束前
浙江省三锋教研联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考
数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟，
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级 姓名 考场号 座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.函数在点处的切线方程（ ）
A. B.
C. D.
2.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3.已知今天是星期三，则天后是（ ）
A.星期四 B.星期五 C.星期六 D.星期日
4.在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.某校高二数学期末考试成绩近似服从正态分布，且，已知该校高二数学期末考试成绩超过80分的人数有420人，则（ ）
A.估计该校高二学生人数为520.
B.估计该校高二学生中成绩不超过95分的人数为280.
C.估计该校高二学生中成绩介于80到95分之间的人数为170.
D.在该校高二学生中任取1人，其成绩低于70分的概率大于超过120分的概率.
6.由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行.现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至多派两名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（ ）
A.60种 B.90种 C.150种 D.180种
7.若函数在区间恰存在三个零点，两个最值点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数在上有且仅有一个零点，则实数的取值为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9.已知函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.在单调递减
C.函数的图象关于轴对称
D.若，则的最小值为
10.某中药材盒中共有包装相同的7袋药材，其中党参有3袋，黄芪有4袋，从中取出两袋，下列说法正确的是（ ）
A.若有放回抽取，则取出一袋党参一袋黄花的概率为
B.若有放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，第2次取出党参的概率为
C.若不放回抽取，则第2次取到党参的概率算法可以是
D.若不放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为
11.已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12.对于函数，下列说法正确的是（ ）
A.函数的单调递减区间为和
B.当时，
C.若方程有6个不等实数根，则
D.设，若对，使得成立，则
非选择题部分
三 填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）
13.已知随机变量满足，若，则__________.
14.已知函数导函数为，且，则__________.
15.小明的生日是07年10月27日，他打算从这六个数字的所有不同排列中任选一种设置为自己的6位数手机密码，其中数字1，2不相邻，则他可设置的密码有__________种.
16.人间四月天，正是春游好时节.某学校组织高二学生去远足，该远足路线会经过一处瀑布.有一个学生为了测量该瀑布的实际高度，记录了如下测量数据：先沿一段水平山道步行至与瀑布底端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为，沿着山道继续走，测得瀑布顶端仰角正切值为，已知该同学沿山道行进方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成的角为.根据该同学的测量数据，可知该瀑布的高度为__________.
四 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17.（本题满分10分）
已知的展开式中，第二项系数与第三项系数之比为，
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中所有的有理项.
18.（本题满分12分）
已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若，且函数在上的最大值为，求的值.
19.（本题满分12分）
袋中有大小相同的小球10个，其中黑球3个，红球个，白球个，.从中任取2个球，至少有1个红球的概率为.
（1）任取3球，求取出的球中恰有2球同色的概率；
（2）任取2球，取到1个红球得2分，取到1个白球得0分，取到1个黑球得-1分，求总得分的概率分布列及数学期望.
20.（本题满分12分）
已知锐角的内角，所对的边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，求的周长的取值范围.
21.（本题满分12分）
某校团委组织学生开展了“全民迎亚运，学习当达人”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名，竞赛成绩（单位：分）分布如下：
成绩（分）
人数 6 28 30 32 4
（1）求抽取的100名学生竞赛成绩的平均分（同一组中数据用该组区间的中点值代替）；
（2）在参加该活动的学生中随机选取5名学生，求选取的5名学生中恰有3名学生竞赛成绩在区间内的概率；
（3）以频率估计概率，发现参赛学生竞赛成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均分近似为样本方差，按比例前的参赛学生可获得“学习达人”称号，已知甲同学竞赛成绩86分，试问他能否获得“学习达人”称号.
参考数据：若，则，
.
22.（本题满分12分）
已知函数.
（1）讨论函数的零点个数；
（2）若函数有两个极值点，证明：.
浙江省三锋教研联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考
数学学科参考答案
一 选择题（每题5分，共40分）
1-4BACD 5-8CBAC
7.【答案】A
【详解】当，则，
依题意可得，解得，
即的取值范围是.
8.【答案】C
【详解】函数在上有且仅有一个零点.
方程在上有且仅有一个实数根.
令函数
直线与函数有且仅有一个交点.
令得
在上单调递减，上单调递增，
则，即.
二 多选题（每题5分，少选得2分，多选不给分，共20分）
9.CD 10.ABD 11.BD 12.ACD
9.【答案】CD
【详解】由题图知，
所以，
由图象可知在时取得最大值，计算得.
所以.所以错误；
解得，所以在单调递增，错误；
因为函数的周期为，将图象上的所有点沿轴向右平移个单位长度后得到
的图象，为偶函数，
所以函数的图象关于轴对称，C正确；
若，则的最小值为，D正确.
故选：CD.
12.【答案】ACD
【详解】由且定义域为知函数的单调递减区间为和，A正确；
当时，且，若，则与函数在上单调
递减矛盾，B错误；
由函数的对称性可知，直线与函数有6个不同交点满足成立，C正确；
由题意分析知函数值域是函数值域的子集，则正确.
三 填空题（单空每空5分；多空题一空对得3分，全对5分，共20分）
13. 14. 15. 16.
16.【答案】
【详解】如图，设瀑布顶端为，底端为，高为，
该同学第一次测量的位置为，第二次测量的位置为，
则
由题得，
在中，由余弦定理可知：
，
解得.
四 解答题（17题满分10分，其余各题满分12分，共70分）
17.（10分）【详解】
（1）展开式中第项为，
，
解得
由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大，
即.
（2）由（1）知，，
又，由可得，
故展开式中的有理项为：
18.（12分）【详解】
（1）当时，函数
由得
则函数的单调减区间为，增区间为
（2）若，令得（舍负），且
（i）当，即时，函数在递增，
则，得
（ii）当，即时，函数在递减，递增，
则，
如若可以，只能，则（舍）.
（iii）当，即时，函数在递减，
则（舍）.
综上可知，.
19.（12分）【详解】
（1），得
事件：取出的3球中恰有2球同色，则
（2）.
的概率分布列
-2 -1 0 1 2 4
.
20.（12分）【详解】
（1）因为
所以，.
即，由正弦定理得，
显然，所以，所以，
因为，所以
（2）由正弦定理得，即，
则.
，.
因为，解得，得，
所以，
得.
21.（12分）【详解】
（1）.
（2）事件A：竞赛成绩在区间内且恰有3名学生
.
（3）
.
因为
所以甲同学能获得“学习达人”称号.
22.（12分）【详解】
（1）令得
令
直线与函数交点个数.
则由得
函数在上递增，递减，得，
当时，；
当时，.
故当或，即或时，函数只有一个零点；
当，即时，函数有两个零点；
当时，函数没有零点.
（2）函数有两个极值点.
方程有两个不同正根，
不妨设，则有.
要证明
只需证明
将式两式相加整理得
将式两式相减整理得
则，即
令，则有.
只需证明
即证
令，则恒成立，所以函数在区间内单调递增，
所以函数成立.
故原不等式成立.