2023-2024学年人教版九年级数学下册第二十七章相似单元测试卷(含解析）

人教版九年级数学下册第二十七章相似单元测试卷
一、选择题
1．下列各组图形中，一定相似的是（　　）
A．两个平行四边形 B．两个正方形
C．两个菱形 D．两个矩形
2．下列各组数中，成比例的是（　　）.
A．1，-2，-3，-6 B．1，4，2，-8
C．5，6，2，3 D．，，1，
3．如图，中，点D，E分别在边上．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．3
4．如图，与位似，点O为位似中心，已知，则AC与DF的比是（　　）
A．3：2 B．5：3 C．5：2 D．3：5
5．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则扩大后长方形广告牌的成本是（　　）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
6．如图，下列条件不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，△ABC∽△ACD，相似比为2，已知AD的长为2，则AB的长为（　　）
A．8 B． C．6 D．4
8． 如图，E是边上的一点，且，连接，交对角线于点O，则的值是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，与位似，点为位似中心，，若的周长是5，则的周长是（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
10．如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，BG延长交CD于点F，CG延长交BD于点H，交AB于N.下列结论：①DE=CN；② ；③S△DEC=3S△BNH；④∠BGN=45°；⑤ .其中正确结论的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，若∠B=60°，∠C=80°，∠A'=100°，则∠D=　 　．
12．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O．若，AD＝15，则AO的长为　 　．
13．如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则　 　．
14．如图，小明从路灯下处，向前走了5米到达处，在处发现自己在地面上的影子长是2米，如果小明的身高为1.7米，那么路灯离地面的高度是　 　米．
四、解答题
15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，
（1）以原点O为位似中心， 在y轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的，请写出点A的对应点的坐标；
（2）画出将向左平移2个单位， 再向上平移1个单位后得到的，写出点B的对应点的坐标；
（3）请在图中标出与的位似中心M， 并写出点M的坐标．
16． 如图，已知△ABC～△A1B1C1，∠C＝40°，∠B1＝55°，AC＝6，BC＝7，A1C1＝8，求x的值和∠A的度数．
17．
（1）解方程：；
（2）如果四条成比例线段线段长分别为2，3，6，，求的值．
18．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC边上一点，且.
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）求△ADE与四边形DBCE的面积比．
19．如图，小明为了测量一大楼的高度，在地面上放一平面镜，镜子与大楼的距离，他与镜子的距离是2m时，刚好能从镜子中看到楼顶，已知他的眼睛到地面的高度为1.6m，结果他很快计算出大楼的高度，你知道有多高吗？请加以说明．
20．如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形.
（1）若原矩形的长，宽.问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由.
（2）若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式.
21．已知：如图，在中，，点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为：若设运动的时间为，解答下列问题：
图① 图② 图③
（1）如图①，连接，当为何值时，并说明理由；
（2）如图②，当点运动时，是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上，请说明理由；
（3）如图③，当点运动时，线段上是否存在一点，使得四边形为荾形？若存在，试求出长：若不存在，请说明理由．
22．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．
（1）请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．
（2）估计路灯的高，并求影长的步数．
（3）无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．测得，，，小明眼睛到地面的距离为，则树高为　 　m．
23．如图，在中，，．点是延长线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点．
（1）求证：；
（2）如图1，若，，，求的大小；
（3）如图2，若点为中点，，，求的长（用含的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】A、∵两个平行四边形不一定相似，∴A不符合题意；
B、∵两个正方形一定相似，∴B符合题意；
C、∵两个菱形不一定相似，∴C不符合题意；
D、∵两个矩形不一定相似，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用相似多边形的判定方法分析求解即可.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意.
故答案为：D.
【分析】如果前两个数据的比值等于后两个数据的比值，那么这四个数据就成比例，据此一一判断得出答案.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵
又∵∠DAE=∠CAB
∴△DAE∽△CAB
∴
∴DE=BC==
故答案为：C.
【分析】由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△DAE∽△CAB，相似三角形的对应边之比等于相似比得，从而代入可算出DE的长.
4．【答案】B
【解析】【解答】 与位似，
，
故答案为：B.
【分析】根据位似的性质可得结合已知条件，即可求解.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
∴面积扩大了9倍，
∴成本扩大9倍，为
故答案为：C.
【分析】根据题意得到广告牌的面积扩大了9倍，进而即可求解.
6．【答案】D
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵且相似比为2，
∴
∴
∴
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形对应线段成比例得到进而即可求解.
8．【答案】D
9．【答案】B
10．【答案】D
【解析】【解答】解：①∵在正方形ABCD中， ， ，
∴
即：
∴ （ASA）
∴CN= DE，故①符合题意；
②∴在正方形ABCD中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，E为BC的中点， 四边形ABCD是正方形
∴ ，
∴ ，故②符合题意；
③如下图示，过H点作 ，
∴根据 ，有 ，
则：
∴ ，
即是： ，故③符合题意 ；
④过B作BP⊥CN于P，BQ⊥DG，交DE的延长线于E，
∴∠BPC=∠BQD=∠PGQ=90°，
∴四边形PBQG是矩形，
∴∠PBQ=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠NBP=∠QBE，
由①得：△BNC≌△CED，
∴EC=BN，
∵E是BC的中点，
∴BE=EC，
∴BE=BN，
∵∠BPN=∠BQE=90°，
∴△BPN≌△BQE，
∴BP=BQ，
∴四边形PBQG是正方形，
∴∠BGE=45°，故④符合题意；
⑤如图示，连接N，E
设 ，则 ， ，
∵CG⊥DE，
∴ ，
，
由 的面积可得：
化简得： ，
∴ ，
则有：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
，
并∵
∴
∴ ，故⑤符合题意．
综上所述，
故答案为：D．
【分析】根据题目已知证明 可判断①符合题意；证明 可判断②符合题意；过H点作 ，利用 ， 求解即可判断③符合题意；添加辅助线过B作BP⊥CN于P，BQ⊥DG，交DE的延长线于E，利用△BNC≌△CED，证得△BPN≌△BQE，即可判断④符合题意；连接N，E，设 ，则 ， ，利用勾股定理求出CN，CE的长，然后根据 的面积求出GE，GN，再证 ，利用相似三角形对应边成比例，求出BG，BF的长，即可得⑤符合题意．
11．【答案】120°
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'
∴∠B=∠ B' ，∠C=∠ C' ，∠A= ∠A'，∠D=∠D' ；
∴∠D=∠D'=360°-60°-80°-100°=120°
故答案为：120°.
【分析】根据多边形相似，对应的角相等，可得∠B=∠ B' ，∠C=∠ C' ，∠A= ∠A'，∠D=∠D'；根据四边形的内角和是360°，即可求出∠D的度数.
12．【答案】6
【解析】【解答】解：∵AB//CD，
∴，
∵AD=15，
∴OD=15-AO，
∵，
∴，
解得：AO=6，
经检验，AO=6符合题意，
即AO的长为6，
故答案为：6.
【分析】根据平行线分线段成比例求出，再求出OD=15-AO，最后代入计算求解即可。
13．【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
∵矩形OABC的面积为6，
∴△AOC的面积为3，
在Rt△AOC中，，
∴，
∵AC∥x轴，
∴∠AOE=∠OAC，
又∵∠AEO=∠AOC=90°，
∴△AOE∽△CAO，
∴，
∴，
∵S△AOE=|k|，且k＜0，
∴.
故答案为：.
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，由矩形的性质得△AOC的面积为3，由∠OAC得余弦函数定义可得，进而利用有两组角对应相等得两个三角形相似得△AOE∽△CAO，由相似三角形面积之比等于相似比的平方求出△AOE的面积，再根据反比例函数k的几何意义得S△AOE=|k|，结合k＜0，即可得出答案.
14．【答案】5.95
【解析】【解答】，
，
（米）
故答案为：5.95．
【分析】先证出，可得，再将数据代入求出AB的长即可。
15．【答案】（1）解：见解析：△OA1B1即为所求，A1（4，2）；
（2）解：见解析：△O2A2B2即为所求，B2（-1，-1）；
（3）解：见解析，位似中心M如图所示，M（﹣4，2）．
【解析】【解答】解：
【分析】（1）根据位似图形的性质作图即可求出答案；
（2）根据平移的性质即可作图即可求出答案；
（3）连接两三角形对应点延长相交的交点即为位似中心M.
16．【答案】解：∵△ABC∽△A1B1C1，∠B1＝55°，
∴AC：A1C1＝BC：B1C1，∠B＝∠B1＝55°，
即6：8＝7：x，
解得：x＝，
∵∠C＝40°，∠B＝∠B1＝55°，
∴∠A＝180°-（∠B+∠C）＝180°-（55°+40°）＝85°．
【解析】【分析】利用相似三角形的对应边成比例及对应角相等，可求出∠B的度数，同时可求出x的值；然后利用三角形的内角和定理求出∠A的度数.
17．【答案】（1）解：
，
∴，
∴解得，；
（2）解：∵2，3，6，a成比例，
∴．
∴．
【解析】【分析】（1）掌握解一元二次方程的解法，观察本题各项系数，可以用十字相乘法分解因式求解比较简便；
（2）了解成比例线段的含义：同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a：b=c：d（或），那么，这四条线段叫做成比例线段。
18．【答案】（1）证明：∵，
∵
∴
（2）解：∵
∴
∴△ADE与四边形DBCE的面积比为：4：9.
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可求证；
（2）根据相似三角形的性质得到 进而即可求解.
19．【答案】解：∵反射角等于入射角，∴．
∵，，∴，
∴，∴，
即，解得．
答：大楼的高度为16m．
【解析】【分析】先证出，可得，再将数据代入求出AB的长即可.
20．【答案】（1）解：不相似.理由如下：
∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似.
（2）解：∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵每个小矩形与原矩形相似，
∴
∴，即.
【解析】【分析】（1）由题意可得：划分后小矩形的长AD=4，宽AE=2，然后根据对应边成比例的两个图形相似进行判断；
（2）同（1）可得AD=b，AE=，由每个小矩形与原矩形相似可得，据此解答.
21．【答案】（1）解：在中，，，
由运动知，，，
，，，；
（2）解：存在，
理由：如图②，
由运动知，，，
点在的垂直平分线上，过点作，
，
，，，，．
（3）解：不存在，
理由：由运动知，，
假设线段上是存在一点，使得四边形为平行四边形，
，，，，
，，，
平行四边形不可能是菱形．
即：线段上不存在一点，使得四边形为菱形．
【解析】【分析】(1)首先根据勾股定理求得AB=6cm，然后根据相似三角形的性质，即可得出关于t的等式，解方程即可求得t的值；
（2） 过点作， 首先根据PM垂直平分CQ，表示求出QM和CM的长度，然后再根据平行线分线段成比例，即可得出关于t的等式，解方程即可求得t的值；
（3） 不存在， 首先根据平行四边形的性质建立方程，求出求出t的值，然后判断在此条件下，PQ≠PB，故而得出四边形不可能为菱形．
22．【答案】（1）解：路灯O和影子端点Q的位置如图所示．
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
解得．
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴路灯的高为，影长为步．
（3）9
【解析】【解答】（3）如图，∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：9．
【分析】（1）根据题意作出图象即可；
（2）先证出，可得，求出，再证出，可得，即，最后求出即可；
（3）根据，，求出，再利用线段的和差求出AB的长即可。
23．【答案】（1）证明：将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
．
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，，
，
，
．
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
解得：或6．
的长为3或6；
（3）解：，，
，
，
点为中点，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
．
，
，
，
，．
，
，
，
，
．
过点作于点，于点，如图，
，
，
由（2）知：，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在中，
．
【解析】【分析】（1）根据题意，得继而得到即，利用即可.
（2）根据(1) 得，，得到
，结合，得到，得到等边，利用三角形相似，列出方程解答即可.
（3）根据，设，过点A分别作，垂足分别为N，M，利用相似的判定和性质，全等的性质，面积的性质，勾股定理，等腰三角形三线合一性质解答即可.