【多媒体导学案】人教版数学九年级上册第24章第4课时《弧、弦、圆心角的关系》（教师版）

一、学习目标 理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性；掌握圆心角、弧、弦之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系进行有关的计算和证明．
二、知识回顾 圆既是 轴 对称图形又是 中心 对称图形，对称轴是 任何一条直径所在的直线 ，对称中心是 圆心 ． 顶点在圆心的角 叫做圆心角．垂径定理及其推论是什么？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．重要结论：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
三、新知讲解 弧、弦、圆心角之间的关系定理：在同圆或 ( http: / / www.21cnjy.com )等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等.关于弧、弦、圆心角之间的定理和推论，可以进一步理解为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论．不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等．
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．利用弧、弦、圆心角的关系求角的度数【例1】（2014秋 安次区校级月考）如图，AB，CD是⊙O的直径，=，若∠AOE=32°，则∠COE的度数是（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．32° B．60° C．68° D．64°总结：1．根据弧、弦、圆心角之间的关系，可知：在 ( http: / / www.21cnjy.com )同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦这三组量中有一组量相等，其余的两组量也相等，简称“知一推二”.2．求一个角的度数，可先根据弧、弦、圆心角的关系得出所求角与已知角之间的等量关系，然后结合对顶角、等腰三角形或三角形内角和定理求解．练1．（2014 贵港）如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．51° B．56° C．68° D．78°2．利用弧、弦、圆心角的关系证线段相等【例2】如图，已知AB、CD是⊙O的直径，E是⊙O上一点，且=．求证：BD=DE． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：同一圆中，证明两条弦相等的方法有四种：（1）若两弦位于两个不同的三角形，证明两弦所在的三角形全等；（2）若两弦位于同一个三角形中，根据等角对等边证明两弦相等；（3）证明两弦所对的弧相等；（4）证明两弧所对的圆心角相等．练2．如图所示，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，OC∥BD，求证：AC=CD． ( http: / / www.21cnjy.com )3．利用弧、弦、圆心角的关系证弧相等【例3】（2014秋 营口期末）如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求证：． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：在同圆或等圆中，要证明两条弧相等，可先证明两弧所对的圆心角相等或两弧所对的弦相等.练3．已知AB、CD是⊙O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：=． ( http: / / www.21cnjy.com )
五、课后小测 一、选择题1．（2015 奉贤区一模）在同圆或等圆中，下列说法错误的是（　　）A．相等弦所对的弧相等B．相等弦所对的圆心角相等C．相等圆心角所对的弧相等D．相等圆心角所对的弦相等2．（2015 宝山区一模）如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（　　）A．这两条弦所对的圆心角相等B．这两条线弦所对的弧相等C．这两条弦都被与它垂直的半径平分D．这两条弦所对的弦心距相等3．（2013秋 泉港区期末）如图，在⊙O中，=，∠AOB=122°，则∠AOC的度数为（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．122° B．120° C．61° D．58°4．（2013秋 嘉兴期中）如图，==，已知AB是⊙O的直径，∠BOC=40°，那么∠AOE=（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．40° B．60° C．80° D．120°5．（2013秋 武昌区校级期中）如图：=2，则下列正确的是（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．AB=2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法确定6．（2011 宁波模拟）如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，且∠AOC=50°，过A作AE∥CD交⊙O于E，则∠AOE的度数为（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．65° B．70° C．75° D．80°二、填空题7．（2014秋 海宁市校级月考）在⊙O中，弦AB=2cm，圆心角∠AOB=60°，则⊙O的直径为　 　cm．8．（2012 天津模拟）一条弦把圆分成5：1两部分，若圆的半径为2cm，此弦长为　 　．9．（2011 安庆一模）如图，量角器边缘上有P、Q两点，它们表示的读数分别为60°，30°，已知直径AB=，连接PB交OQ于M，则QM的长为　 　． ( http: / / www.21cnjy.com )10．（2015春 盐城校级期中）如图，在⊙O中，直径AB∥弦CD，若∠COD=110°，则的度数为　 　． ( http: / / www.21cnjy.com )三、解答题11．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，且AB=CD，求证：AC=BD． ( http: / / www.21cnjy.com )12．（2014秋 莱州市期末）如图，在⊙O中，D，E分别是半径OA，OB的中点，点C在圆上，CD=CE．求证：=． ( http: / / www.21cnjy.com )13．（2014秋 武夷山市期中）已知：如图，在⊙O中，弦AB=CD，那么∠AOC和∠BOD相等吗？请说明理由． ( http: / / www.21cnjy.com )14．（2012 常州模拟）如图，已知∠APC=30°，的度数为30°，求和∠AEC的度数． ( http: / / www.21cnjy.com )15．（1999 广州）某部队在灯塔A的周 ( http: / / www.21cnjy.com )围进行爆炸作业，A的周围3千米内的水域为危险区域，有一渔船误入离A只有2千米的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿什么方向航行？为什么？ ( http: / / www.21cnjy.com )
典例探究答案：
【例1】【解析】根据圆心角、弧、弦的关系，由=得到∠BOD=∠AOE=32°，然后利用对顶角相等得∠BOD=∠AOC=32°，易得∠COE=64°．
解：∵=，
∴∠BOD=∠AOE=32°，
∵∠BOD=∠AOC，
∴∠AOC=32°
∴∠COE=32°+32°=64°．
故选D．
点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
练1．【解析】由==，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
解：如图，∵==，∠COD=34°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，
∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO=×（180°﹣78°）=51°．
故选：A．
点评：此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
【例2】【解析】根据已知求出=，再根据圆心角、弧、弦之间的关系求出即可．
证明：∵∠AOC=∠BOD，
∴=，
∵=，
∴=，
∴BD=DE．
点评：本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
练2．【解析】连结OD，如图，根据平行线的性质得∠2=∠3，∠2=∠B，加上∠B=∠3，则∠1=∠2，于是根据圆心角、弧、弦的关系得到=，则AC=CD．
证明：连结OD，如图，
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∵OC∥BD，
∴∠2=∠3，∠2=∠B，
∵OD=OB，
∴∠B=∠3，
∴∠1=∠2，
∴=，
∴AC=CD．
点评：本题考查了圆心角、弧 ( http: / / www.21cnjy.com )、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了平行线的性质．
【例3】【解析】首先连接OE，由CE∥AB，可证得∠DOB=∠C，∠BOE=∠E，然后由OC=OE，可得∠C=∠E，继而证得∠DOB=∠BOE，则可证得：．
证明：连接OE，
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∵CE∥AB，
∴∠DOB=∠C，∠BOE=∠E，
∵OC=OE，
∴∠C=∠E，
∴∠DOB=∠BOE，
∴．
点评：此题考查了圆心角与弧的关系以及平行线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
练3．【解析】过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H．先由等腰三角形三线合一的性质得出∠EOG=∠FOG，利用圆心角、弧、弦间的关系可以推知=；然后根据垂径定理可知=；最后根据图形易证得结论．
证明：过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H．
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∵OE=OF，OG⊥EF于点G，
∴∠EOG=∠FOG，
∴=．
又∵OG⊥AB于点G，
∴=，
∴﹣=﹣，
即=．
点评：本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质．解答本题时，通过作辅助线OH构建等弧（=；=）来证明结论．
课后小测答案：
一、选择题
1．【解析】A、相等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误；
B、相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确；
C、相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确；
D、相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确．
故选A．
2．【解析】A、这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，故本选项错误；
B、这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，故本选项错误；
C、这两条弦都被垂直于弦的半径平分（垂径定理），原说法正确，故本选项正确；
D、这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，故本选项错误；
故选C．
3．【解析】∵=，
∴∠AOB=∠AOC=122°．
故选A．
4．【解析】∵==，∠BOC=40°，
∴∠EOD=∠COD=∠BOC=40°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=60°．
故选B．
5．【解析】如图，取弧AB的中点E，
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则=，
则=2，
∵=2，
∴==，
∴AE=BE=CD，
在△AEB中，由三角形的三边关系得：AB＜AE+BE，
∴AB＜2CD．
故选：C．
6．【解析】∵AE∥CD，
∴=，
∴∠AOC=∠DOE，
∵∠AOC=50°，
∴∠DOE=50°，
∴∠AOE=180°﹣∠AOC﹣∠DOE=180°﹣50°﹣50°=80°．
故选D．
二、填空题
7．【解析】如图所示，
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∵在⊙O中AB=2cm，圆心角∠AOB=60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=2cm，
∴⊙O的直径=2OA=4cm．
故答案为：4．
8．【解析】连接OA，OB，过O作OD⊥AB．
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∵一条弦把圆分成5：1两部分，
∴∠AOB=60°，
∴∠2=∠1=30°；
又∵OD⊥AB，OA=2cm，
∴AD=OA=1cm，
∴AB=2AD=2cm．
故答案是：2cm．
9．【解析】∵∠BOP=60°，OP=OB，
∴△OPB为等边三角形，
而∠BOQ=30°，
∴OM为等边三角形OPB的高，
∴OM=OB，
而AB=，
∴OM=×2=3，
∴QM=2﹣3．
故答案为2﹣3．
10．【解析】∵OC=OD，
∴∠C=∠D，
∴∠C=（180°﹣∠COD）=×（180°﹣110°）=35°，
∵CD∥AB，
∴∠AOC=∠C=35°，
∴的度数为35°．
故答案为35°．
三、解答题
11．证明：∵AB=CD，
∴=，
∴﹣=﹣，
∴=，
∴AC=BD．
12．证明：∵D，E分别是半径OA，OB的中点，
∴OD=OE．
在△ODC与△OEC中，
，
∴△ODC≌△OEC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，
∴=．
13．【解析】∠AOC和∠BOD相等．
理由如下：
∵AB=CD，
∴∠AOB=∠COD，
∴∠AOB﹣∠COB=∠COD﹣∠COB，
即∠AOC=∠BOD．
14．【解析】连接AC，
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∵=30°，
∴∠1=∠2==15°，
∵∠APC=30°，∠ADC是△APD的外角，
∴∠ADC=∠1+∠APC=15°+30°=45°，
∴=2∠ADC=90°；
∵∠AEC是△CDE的外角，
∴∠AEC=∠ADC+∠2=45°+15°=60°．
故答案为：90°，60°．
15．【解析】沿射线AB的方向航行，因为能最快脱离危险区域．
证明：设射线AB与⊙A相交于点C．在⊙A上任取一点D（不包括C关于A的对称点），连接AD，BD，
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在△ABD中，AB+BD＞AD．
∵AD=AC=AB+BC，
∴AB+BD＞AB+BC，
∴BD＞BC．