【多媒体导学案】人教版数学九年级上册第24章第6课时《圆内接四边形》（教师版）

一、学习目标 知道什么是圆内接多边形和多边形的外接圆；理解圆内接四边形的性质；会利用圆内接四边形的性质进行简单计算和证明．
二、知识回顾 圆周角定义： 顶点在圆上 ，并且 两边都和圆相交 的角叫圆周角．在同圆或等圆中， 同弧或等弧 所对的圆周角相等，都等于该弧所对的 圆心角 的一半，相等的圆周角所对的 弧 相等．半圆或直径所对的 圆周角 都相等，都等于 90° ，90°的圆周角所对的弦是圆的 直径 ．
三、新知讲解 1．圆内接四边形如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形．这个圆叫做四边形的外接圆．2．圆内接四边形的性质性质1：圆内接四边形的对角互补． ※性质2：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角．几何语言：∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠A+∠C=180°，∠B+∠ADC=180°，∠B=∠1． ( http: / / www.21cnjy.com )
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．已知圆内接四边形求角度【例1】（2015 邵阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．80° B．100° C．60° D．40°总结：当四边形的四个顶点都在圆上时，这个四边形叫做圆内接四边形. 常利用“圆内接四边形的对角互补”解决圆中角度问题.解题时观察图形，分清四边形的外角和内对角的位置，不要受背景的干扰.练1．（2012秋 富顺县校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，P是上一点，∠BAC=30°，则∠APB=（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．105° B．110° C．115° D．120°2．求证四点共圆【例2】已知在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，能否画出一个圆，使它的四个顶点都在同一个圆上？ ( http: / / www.21cnjy.com )总结：任意一个三角形都有外接圆，因为不在同一直线上的三点必定共圆.并非任意四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形有外接圆，或者说对角互补的四边形的四个顶点共圆.常见的有外接圆的四边形：正方形、矩形、菱形、等腰梯形.练2．（2014秋 如皋市校级月考）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是它的四条边AB、BC、CD、DA的中点，E、F、G、H四个点共圆吗？（友情提示：要找到一点，证明这四点到找到的这点（圆心）的距离相等即可） ( http: / / www.21cnjy.com )
五、课后小测 一、选择题1．（2015 淮安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=70°，则∠C的度数是（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．100° B．110° C．120° D．130°2．（2015 长春）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．45° B．50° C．60° D．75°3．（2015 温州模拟）在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的度数之比可能是（　　）A．1：2：3：4 B．4：2：1：3 C．4：2：3：1 D．1：3：2：44．（2015 河北模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=75°，∠C=85°，则∠D﹣∠A的度数差为（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．10° B．15° C．20° D．25°5．（2014秋 瓯海区校级期中）圆内接四边形ABCD的四个内角之比可能是（　　）A．1：2：3：4 B．1：3：4：5 C．2：3：4：5 D．2：3：5：46．（2011 浙江模拟）每一个三角形都有一个外接圆，但一个四边形不一定有外接圆．下面哪个四边形没有外接圆？（　　）A．矩形（非正方形） B．菱形（非正方形） C．正方形 D．等腰梯形7．（2010 静海县一模）已知下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④三角形；⑤等腰梯形．其中一定有外接圆的是（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．（2011秋 市中区校级期末）如果四边形ABCD是⊙O的内接四边形，那么下列结论不正确的是（　　）A．∠A+∠B=180° B．∠A+∠C=180° C．∠B+∠D=180° D．∠A+∠B+∠C＞∠D二、填空题9．（2015 青岛）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F=　 　． ( http: / / www.21cnjy.com )10．（2015 泉州）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长线上．若∠A=50°，则∠BCE=　 　． ( http: / / www.21cnjy.com )11．（2015 玄武区二模）如图，四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BO，已知∠CAB=36°，∠ABO=30°，则∠D=　 　°． ( http: / / www.21cnjy.com )12．（2002 南宁）圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数的比是1：2：3，那么这四边形最大角的度数是　 　度．三、解答题13．根据图中所给信息，分别解出图1和图2中未知数x、y的值． ( http: / / www.21cnjy.com )大家知道：任意四个点不能确定一个圆，但是有 ( http: / / www.21cnjy.com )些特殊四边形的四个顶点在同一个圆上，请说出这些特殊的四边形，并研究这些四边形的四个内角之间有什么特殊的关系．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，试说明点A、B、C、D在同一个圆上，并画出这个圆． ( http: / / www.21cnjy.com )
典例探究答案：
【例1】【解析】根据圆内接四边形的性质求得∠ABC=40°，利用圆周角定理，得∠AOC=2∠B=80°．
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=180°﹣140°=40°．
∴∠AOC=2∠ABC=80°．
故选A．
点评：此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出∠B的度数是解题关键．
练1．【解析】首先根据等腰三角形的性质计算出∠C= =75°，再根据圆内接四边形的对角互补可得答案．
解：∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∵∠BAC=30°，
∴∠C= =75°，
∴∠APB=180°﹣75°=105°，
故选：A．
点评：此题主要考查了圆内接四边形的性质，关键是掌握：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的对边和相等．
【例2】【解析】根据不在同 ( http: / / www.21cnjy.com )一直线上的三点确定一个圆，不妨设A、B、C三点确定一个圆，则点D与圆的位置关系有三种：在圆外，在圆上、在圆内，如果能排除点D在圆外或圆内，则点D必在圆上.
解：能画出一个圆，使它的四个顶点都在同一个圆上．
设△ABC的外接圆为⊙O，对点D的位置分情况讨论：在⊙O上、在⊙O外或在⊙O内.
（1）如果点D在⊙O外，设E是AD与⊙O的交点，连接CE，如图，
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则有∠B+∠AEC=180°，而∠B+∠D=180°，所以∠D=∠AEC，
这与“三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾，
故点D不可能在圆外．
（2）如果点D在⊙O内，延长AD交圆于点E，连接CE，如图，
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则∠B+∠E=180°，而∠B+∠ADC=180°，故∠E=∠ADC，
同样与“三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾，
所以点D不可能在⊙O内．
综上，点D只能在⊙O上，
即在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，能画出一个圆，使它的四个顶点都在同一个圆上．
点评：本题考查了圆内接四边形的性质和判 ( http: / / www.21cnjy.com )定条件．圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角互补，而不是邻角互补．
练2．【解析】由菱形的性质可得到菱 ( http: / / www.21cnjy.com )形被分成四个全等的直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得四个中点到对角线的交点的距离相等．
解：E、F、G、H四个点共圆．
证明：连接OE、OF、OG、OH；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，DB⊥AC，
∵E、F、G、H分别是各边的中点，
∴，，，；
∴OE=OF=OG=OH，
∴E、F、G、H四个点都在以O为圆心、OE长为半径的圆上．
点评：熟练掌握菱形的性质．明确判断几个点共圆就是要证明这几个点到某个点的距离相等．
课后小测答案：
一、选择题
1．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠A=180°，
∴∠A=180°﹣70°=110°．
故选B．
2．解：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β；
∵四边形OADC是平行四边形，
∴∠ADC=∠AOC；
∵∠ADC=β，∠AOC=α；
而α+β=180°，
∴，
解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，
故选C．
3．解：∵圆的内接四边形对角互补，
∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°，
∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是4：2：1：3．
故选：B．
4．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠D=180°，∠C+∠A=180°，
∵∠B=75°，∠C=85°，
∴∠D=105°，∠A=95°，
∴∠D﹣∠A=10°，
故选：A．
5．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°．
∴圆内接四边形ABCD的四个内角之比可能是：2：3：5：4．
故选D．
6．解：由于圆内接四边形的对角互补，因此只有A、C、D选项的四边形符合这个条件，故选B．
7．解：根据有外接圆的条件，四边形必须对角互补，
∴只有矩形、等腰梯形有外接圆，
∵三角形都有外接圆，
故②④⑤一定有外接圆．
故选：B．
8．解：如图所示：
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∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，故B、C正确；
∴∠A+∠C+∠B＞180°，∠D＜180°，
∴∠A+∠B+∠C＞∠D，故D选项正确，
∵∠A与∠B不是相对的角，
∴∠A与∠B的和不能确定，故A选项错误．
故选A．
二、填空题
9．解：∵∠A=55°，∠E=30°，
∴∠EBF=∠A+∠E=85°，
∵∠A+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°﹣55°=125°，
∵∠BCD=∠F+∠CBF，
∴∠F=125°﹣85°=40°．
故答案为40°．
10．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCE=∠A=50°．
故答案为50°．
11．解：连结OC，如图，
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∠BOC=2∠CAB=2×36°=72°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC=（180°﹣∠BOC）=（180°﹣72°）=54°，
∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=30°+54°=84°，
∵∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=180°﹣84°=96°．
故答案为96．
12．解：设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x
因为四边形ABCD为圆内接四边形
所以∠A+∠C=180°
即：x+3x=180
x=45°，则∠A=45°，∠B=90°，∠C=135°
所以∠D=90°
所以这个四边形的最大角的度数为135度．
三、解答题
13．解：图1，根据题意可得∠DFE=∠BFC=∠BAD=y，∠FDE=∠ABE=x，
∴x+y+30°=180°，x=50°+y，解得：x=100°，y=50°，
图2，同理可得x+y+35°=180°，x=54°+y，解得：x=99.5°，y=45.5°．
14．解：∵矩形、正方形的对角线相等且互相平分，
∴四个顶点到对角线交点距离相等，
∴矩形、正方形的四个顶点可在同一个圆上；
四个顶点在同一个圆上的四边形的对角互补．
15．解：∵四边形ABDC是矩形，
∴AD=BC，OA=OD，OB=OC，
∴OA=OB=OC=OD，
即A、B、C、D在以点O为圆心、OA为半径的圆上．
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