【多媒体导学案】人教版数学九年级上册第24章第7课时《点和圆的位置关系》（教师版）

一、学习目标 1．掌握点和圆的三种位置关系，能够用数量关系来判断点和圆的位置关系；2．掌握不在同一条直线上的三点确定一个圆，能画出三角形的外接圆，求出特殊三角形的外接圆的半径；3．了解反证法，会用反证法证明；4．渗透方程思想、分类讨论思想.
二、知识回顾 1．（1）在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，则另一个端点A所形成的封闭曲线叫做　　圆　　；（2）圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于　　r　　的点组成的图形．（3）圆上所有的点到圆心的距离都等于　　半径　　．2．请你画图并想一想：当点分别在圆外和圆内时，点到圆心的距离与半径的关系分别怎样呢？经过画图可知，圆外的点到圆心的距离　大于　半径，圆内的点到圆心的距离　小于　半径．
三、新知讲解 1．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外 　　d＞r　　；②点P在圆上 　　d=r　　；③点P在　　圆内　　 d＜r．点和圆的位置关系与圆心到点的距离d与半径r的关系用表格表示如下： ( http: / / www.21cnjy.com )2．作圆①过一点可作　　无数　　个圆；②过两点可作　　无数　　个圆；③过不在同一条直线上的三点可确定　　一个　　圆；④过　　在同一条直线上的　　三点不能作圆.3．三角形的外接圆经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的　　外接圆　　.外接圆的圆心是　　三角形三条边的垂直平分线　　的交点，叫做这个三角形的　　外心　　.4．三角形外心的位置 ( http: / / www.21cnjy.com )归纳：锐角三角形的外心在　　三角形内　　；直角三角形的外心在　　三角形上（斜边中点）　　；钝角三角形的外心在　　三角形外　　.5．外接圆与内接三角形一个三角形 有且仅有　　一个外接圆.一个圆有　　无数　　个内接三角形.
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．判断点和圆的位置关系【例1】（2015 奉贤区一模）在直角坐标平面中，M（2，0），圆M的半径为4，那么点P（﹣2，3）与圆M的位置关系是（ ）A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定总结：要判断平面上一点与圆的位置关系，只需比较该点到圆心的距离d与半径r的大小关系，必要时通过画图来判断更直观.练1．如图，Rt△ABC的两条直角边BC ( http: / / www.21cnjy.com )=15cm，AC=20cm，斜边AB上的高为CD．若以C为圆心，分别以r1=11cm，r2=12cm，r3=13cm为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系． ( http: / / www.21cnjy.com )2．利用点和圆的位置关系求半径【例2】（2014秋 余姚市校级月考）若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为7，最小距离为3，则此圆的半径为（ ）A．5 B．2 C．10或4 D．5或2总结：平面内一点没有指明在圆内还是圆外时，注意分类讨论这两种情况。连接平面内一点与圆心并延长，可以找到平面内一点与圆上一点的最长距离和最短距离.练2．在Rt△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，以点B为圆心，3为半径作圆B，则：（1）AB与AC的中点D，E与圆B有怎样的位置关系？（2）若要让点A和点C有且只有一个点在圆B内，则圆B的半径应满足什么条件？3．求特殊三角形外接圆的半径【例3】若直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是 ．总结：特殊三角形的外接圆半径求解有规律：（1）直角三角形外接圆的直径等于斜边长；（2）边长为的等边三角形外接圆的半径等于；（3）求等腰三角形外接圆的半径，先作底边的高，构造直角三角形，结合勾股定理、垂径定理求解.练3．若顶角为120°的等腰三角形的腰长为5cm，则它的外接圆的直径为 ．4．用反证法证明【例4】用反证法证明：一个圆只有一个圆心．总结：反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．练4．用反证法证明：圆内不是直径的两条弦不能互相平分．
五、课后小测 一、选择题1．（2011秋 市中区校级期末）确定一个圆的条件是（ ）A．两个点确定一个圆 B．三个点确定一个圆C．四个点确定一个圆 D．不共线的三个点确定一个圆2．（2013秋 雁塔区校级月考）下列条件中，能确定圆的是（ ）A．以已知点O为圆心 B．以1cm长为半径C．经过已知点A，且半径为2cm D．以点O为圆心，1cm为半径3．（2014 奉贤区一模）关于半径为5的圆，下列说法正确的是（ ）A．若有一点到圆心的距离为5，则该点在圆外B．若有一点在圆外，则该点到圆心的距离不小于5C．圆上任意两点之间的线段长度不大于10D．圆上任意两点之间的部分可以大于10π4．（2011秋 京口区校级期末）三角形外接圆的圆心为（ ）A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点C．三条垂直平分线的交点 D．三条中线的交点5．（2010秋 崂山区校级期中）有一个三角形的外接圆的圆心在它的某一边上，则这个三角形一定是（ ）A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形6．（2014秋 瓯海区校级期中）一个三角形的外接圆的圆心在这个三角形的外部，则该三角形一定是（ ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形7．下列说法中，正确的是（ ）A．三点确定一个圆B．三角形的外心到三角形三边的距离相等C．三角形有且只有一个外接圆D．圆有且只有一个内接三角形8．（2013 北仑区二模）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（ ）A．有一个锐角小于45° B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°9.（2015 巴中模拟）已知A为⊙O上的点，⊙O的半径为1，该平面上另有一点P，，那么点P与⊙O的位置关系是（ ）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定1.．（2015 黄石校级模拟）一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（ ）A．5cm或11cm B．2.5cm C．5.5cm D．2.5cm或5.5cm二、填空题11．（2014秋 郧县期中）已知矩形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，AB=6cm，AD=8cm，以A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中，至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则⊙A的半径r（cm）的取值范围是 ．12．等边三角形的外接圆的半径等于边长的 倍．13．（2011 烟台）如图，△ABC的外心坐标是 ． ( http: / / www.21cnjy.com )14．要证明“一组对边平行且相等的四边形是矩形”是假命题，可举反例 ．15．（2015 盐城）如图，在矩形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 ． ( http: / / www.21cnjy.com )三、解答题16．（1999 辽宁）过A，B，C三点，能否确定一个圆？如果能，请作出圆，并写出作法；如果不能，请用反证法加以证明．17．用反证法证明：（1）△ABC中至多只能有一个角是直角；（2）在同一个圆中，如果两条弦不等，那么它们的弦心距也不等．18．（2013 青岛校级一模）如图，已知A、B两点和线段r．求作：⊙O，使其半径为r，且经过A、B两点．（任作一个即可）结论：
典例探究答案：
【例1】【解析】求得线段MP的长后与圆M的半径比较即可确定正确的选项．
解：∵M（2，0），P（﹣2，3），
∴MP==5，
∵圆M的半径为4，
∴点P在圆外，
故选：C．
【点评】考查了点与圆的位置关系，判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．
练1．【解析】先根据勾股定理计算出AB=25cm，再利用面积法计算出CD=12cm，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
解：∵Rt△ABC的两条直角边BC=15cm，AC=20cm，
∴AB==25cm，
∵BC AC=CD AB，
∴CD==12（cm），
∵所以当以r1=11cm作圆，D点在这个圆的外部；当以r2=12作圆，D点在这个圆上；当以r3=13作圆，D点在这个圆的内部．
【点评】本题考查了点与圆的 ( http: / / www.21cnjy.com )位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 d＜r．
【例2】【解析】由于点P与⊙O的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论．
解：设⊙O的半径为r，
当点P在圆外时，r==2；
当点P在⊙O内时，r==5．
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综上可知此圆的半径为5或2．
故选：D．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．
练2．【考点】点与圆的位置关系．
【解析】（1）先利用勾股定理计算出AB=5，则得到BD=2.5，易得BE＞3，然后根据点与圆的位置关系判断D，E与圆B的位置关系；
（2）由于BC=3，BA=5，根据点与圆的位置关系即可确定圆B的半径的范围．
解：（1）如图，
∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB==5，
∵D为AB的中点，
∴BD=2.5，
∴点D在圆B内，
∵BE＞BC，即BE＞3，
∴点D在圆B外；
（2）设圆B的半径为r，
当3＜r＜5时，点A和点C有且只有一个点在圆B内．
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【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设 ( http: / / www.21cnjy.com )⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 d＜r．
【例3】【解析】直角三角形的外接圆 ( http: / / www.21cnjy.com )圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：①16为斜边长；②16和12为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径．
解：由勾股定理可知：
①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；
②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长==20，
因此这个三角形的外接圆半径为10．
综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10．
故答案为：10或8．
【点评】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．
练3．【解析】作辅助线：连接AO交BC于点D、连接OB，构建等边三角形BAO，然后根据等边三角形及圆的半径与直径的关系解答．
解：连接AO交BC于点D、连接OB．
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∵点O是等腰三角形ABC的外接圆圆心，
∴OA⊥BC，AD是边BC的中垂线，
∴AO是∠BAC的角平分线；
又∠BAC=120°，
∴∠BAO=60°；
又OA=OB（圆的半径），
∴∠BAO=∠OBA=60°（等边对等角），
∴∠BOA=60°（三角形的内角和定理），
∴AB=OA=OB；
又AB=5，
∴⊙O的直径是2OA=10cm．
故答案是：10cm．
【点评】本题主要考查了垂径定理、等边三角形的性质．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
【例4】【解析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此得出假设与已知定理矛盾，进而得出答案．
证明：假设⊙O有两个圆心O及O′，在圆内任作一弦AB，设弦AB的中点为P，
连结OP，O′P，则OP⊥AB，O′P⊥AB，过直线AB上一点P，同时有两条直线OP，O′P都垂直于AB，与垂线的性质矛盾，
故一个圆只有一个圆心．
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【点评】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
练4．【解析】首先假设圆内不是直径的两条弦AC和BD互相平分于P，进而利用平行四边形的性质以及圆内接四边形的性质得出矛盾，从而得出结论．
证明：假设圆内不是直径的两条弦AC和BD互相平分于P，
∵四边形ABCD的对角线互相平分于P，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵四边形ABCD是圆内接四边形，
则∠DAB与∠BCD互补，
则∠DAB与∠BCD都是直角（平行四边形对角相等），AC是直径，与假设矛盾，
所以原命题正确．
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【点评】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的一般步骤是解题关键．
课后小测答案：
一、选择题
1.【解析】根据不在同一直线上的三个点确定一个圆判断进而得出答案即可．
解：根据不在同一直线上的三个点确定一个圆，故选项D正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了确定圆的条件，根据不在一条直线上的三点确定一个圆得出是解题关键．
2.【解析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，而是半径，据此可以得到答案．
解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，
∴D选项正确，
故选D
【点评】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．
3.【解析】根据点与圆的位置关系进而分别判断得出即可．
解：A、关于半径为5的圆，有一点到圆心的距离为5，则该点在圆上，故此选项错误；
B、关于半径为5的圆，若有一点在圆外，则该点到圆心的距离大于5，故此选项错误；
C、圆上任意两点之间的线段长度不大于10，此选项正确；
D、圆上任意两点之间的部分不可以大于10π，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
①点P在圆外 d＞r，②点P在圆上 d=r，③点P在圆内 d＜r．
4.【解析】根据三角形外心的性质进行判断．
解：A、三角形三条高的交点是三角形的垂心，故A错误；
B、三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，故B错误；
C、由于三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，故C正确；
D、三角形三边中线的交点是三角形的重心，故D错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形外心的性质．注意三角形重心、垂心、内心、外心的区别．
5.【解析】根据三角形的外接圆的圆心在它的某一边上，而这一点到三顶点距离相等，可以判断它的所在位置．
解：三角形的外接圆的圆心到三顶点距离相等，这样的点在三角形边上，
只有这个三角形是直角三角形，并且在斜边上，这样的图形只有直角三角形才符合．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的外心与三角形的位置关系只有三种，外接圆的圆心在它的某一边上，只是特殊的直角三角形具备．
6.【解析】根据三角形的外接圆的画 ( http: / / www.21cnjy.com )法得出锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在直角三角形斜边的中点上，钝角三角形的外心在三角形的外部，根据以上内容得出即可．
解：∵锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在直角三角形斜边的中点上，钝角三角形的外心在三角形的外部，
∴如果一个三角形的外接圆的圆心在这个三角形的外部，则该三角形一定是钝角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了对三角形的外接圆和外心的应用，主要考查学生的理解能力，题目比较好，难度不是很大．
7.【解析】此题应逐项分析，更要牢记“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，本题可解．
解：A、正确的是不在同一直线上的三个点确定一个圆，故错误；
B、三角形的外心是边的垂直平分线的交点，因而外心到三个顶点的距离相等，故错误；
C、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故正确；
D、圆有无数个内接三角形，故错误．
故选：C．
【点评】正确记忆理解定理是解决本题的关键．
8.【解析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．
故选：D．
【点评】正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，会运用反证法证明命题的真假．
9.【解析】根据题意可知点P可能在圆外也可能在圆上，也可能在圆内，所以无法确定．
解：∵PA=，⊙O的直径为2
∴点P的位置有三种情况：①在圆外，②在圆上，③在圆内．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的认识，做题时注意多种情况的考虑．
10.【解析】点P应分为位于圆的内部位于外部 ( http: / / www.21cnjy.com )两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解．
解：当点P在圆内时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8cm，则直径是11cm，因而半径是5.5cm；
当点P在圆外时，最近点的距离为3cm，最远点的距离为8m，则直径是5cm，因而半径是2.5cm．
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
二、填空题
11.【解析】要确定点与圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d．则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
解：如图：
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在矩形ABCD中AC=AB，==10．
由图可知圆A的半径r的取值范围应大于AD的长，小于对角线AC的长，即6＜r＜10．
故答案为：6＜r＜10．
【点评】本题的实质是考查点与圆的位置关系，需要同学们树立数形结合的思想．
12.【解析】等边三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，根据等边三角形三线合一的性质，同一顶点角平分线与高重合；易得高是边长的倍，继而可得外接圆的半径是角平分线的，所以等边三角形外接圆的半径等于边长的倍．
解：如图，∵△ABC是等边三角形，
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∴设AB=BC=2x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，BD=BC=x，
∴AD==x，
∵点E是△ABC的外接圆的圆心，
∴∠EBD=30°，
∴AE=BE=2ED，
∴AE=x，
∴等边三角形外接圆的半径BE等于边长AB的倍．
故答案为：．
【点评】此题考查了三角形的外接圆的性质以及等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
13.【解析】首先由△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．
解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴作图得：
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∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）．
【点评】此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．
14.【解析】根据题意只要举出是平行四边形但不是矩形的例子即可．
解：含有一个30°角的平行四边形的一组对边平行且相等，但不是矩形．
【点评】要说明命题不是真命题，主要能举出一个反例即可．本题答案不唯一．
15.【解析】要确定点与圆的位置关系， ( http: / / www.21cnjy.com )主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，
则BD==5．
由图可知3＜r＜5．
故答案为：3＜r＜5．
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．
三、解答题
16．【解析】（1）根据确定圆的条件及三角形外接圆的作法作图即可．
（2）利用反证法进行证明即可．
解：（1）如果A、B、C三点不在同一条直线上，就能确定一个圆，
作法：
①连接AB，作线段AB的垂直平分线DE；
②连接BC，作线段BC的垂直平分线FG，交DE于点O；
③以O为圆心，OB为半径作圆．⊙O就是过A、B、C三点的圆．
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（2）如果A、B、C三点在同一条直线上，就不能确定一个圆，
假设过A、B、C三点可以作圆，设这个圆心为O，
由点的轨迹可知，点O在线段AB的垂直平分线l′上，
并且在线段BC的垂直平分线l″上，
即点O为′与l″的交点，
这与“过一点只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，
所以，过同一条直线上的三点A、B、C不能作圆．
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【点评】此题比较复杂，考查的是确定圆的条件及反证法，涉及面较广，但难度适中．
17．【解析】（1）设三角形ABC中有2个或3个直角，根据三角形内角和定理即可证明；
（2）首先从结论的反面出发进而假设结论 ( http: / / www.21cnjy.com )不成立，即在同一个圆中，如果两条弦不等，弦心距可能相等，再利用勾股定理结合已知得出矛盾，进而得出答案．
证明：（1）设三角形ABC中有2个 ( http: / / www.21cnjy.com )或3个直角，则三角形的三个内角的和一定大于180°，则与三角形的三个内角的和是180度相矛盾，则△ABC中至多只能有一个是直角；
（2）假设结论不成立，即在同一个圆中，如果两条弦不等，弦心距可能相等，
设圆心为O，弦AB≠弦CD，
设AB中点为M，CD中点为N，
则OM⊥AB，ON⊥CD，且OM=ON，
根据弦长性质，AM=AB，CN=CD，
由勾股定理可知：OA2=AM2+OM2=AB2+OM2，
OC2=CN2+ON2=CD2+ON2
∵OA=OC=半径，
∴AB2+OM2=CD2+ON2
又∵OM=ON，则AB2=CD2，
即AB=CD，与假设AB≠CD矛盾，假设不成立，
故在同一个圆中，如果两条弦不等，它们的弦心距不等．
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【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
18．【解析】首先作出AB的垂直平分线，再分别利用A，B为圆心，r长为半径，画弧得出交点，进而得出圆心位置，即可得出答案．
解：如图所示：⊙O即为所求．
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【点评】此题主要考查了复杂作图，根据已知得出O点位置是解题关键．