【多媒体导学案】人教版数学九年级上册第24章第10课时切线长定理和内切圆（教师版）

一、学习目标 理解切线长的定义；掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题；了解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形的概念，会作已知三角形的内切圆；通过探究作三角形的内切圆的过程，归纳内心的性质，进一步提高归纳和作图的能力．
二、知识回顾 确定圆的条件是什么？（1）圆心与半径；（2）不在同一直线上的三点．叙述角平分线的性质与判定．性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．判定：到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上．和圆有唯一公共点的直线叫圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．
三、新知讲解 1．切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长．几何语言：如图，过圆O外一点P作圆的一条切线，切点为A，则线段PA的长叫做点P到圆O的切线长． ( http: / / www.21cnjy.com )2．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．如图，因为PA、PB是圆O的两条切线，所以：（1）PA=PB；（2）∠APO=∠BPO=∠APB． ( http: / / www.21cnjy.com )3．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆．这个三角形叫做圆的外切三角形．4．三角形的内心三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，这点到三边的距离相等，且必在三角形内部．
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1. 应用切线长定理求线段长【例1】（2014 毕节市三模）在三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，那么AF、BD、CE的长分别为（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．AF=4，BD=9，CE=5 B．AF=4，BD=5，CE=9C．AF=5，BD=4，CE=9 D．AF=9，BD=4，CE=5总结：根据切线长定理，即：“从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等”，可以得到一些相等线段，结合已知线段之间的关系可以求出线段长．练1．（2014秋 如皋市校级月考）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA=　 　cm． ( http: / / www.21cnjy.com )2．应用切线长定理求角度【例2】（2011秋 广东期末）如图，PA、PB、DE切⊙O于点A、B、C、D在PA上，E在PB上，若∠P=50°，求∠O的度数． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，也平分圆心和两个切点组成的圆心角.切线长定理为证明线段相等、角相等、垂直关系等提供了理论依据，结合圆周角定理、三角形内角和、等边对等角等性质即可求得角的度数．练2．（2011秋 杭州期末）如图，PA、 ( http: / / www.21cnjy.com )PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，若∠P=40°，则∠PAE+∠PBE的度数为（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )0A．50° B．62° C．66° D．70°3．已知三角形内切圆求角度【例3】（2015 宁波校 ( http: / / www.21cnjy.com )级模拟）如图，⊙O内切于△ABC，切点D，E，F分别在BC，AB，AC上．已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．40° B．55° C．65° D．70°总结：1．三角形的内切圆与外接圆的区别：“切”和“接”是指三角形的三边与圆的位置关系，而“内”和“外”是指三角形与圆的相对位置关系.2．已知三角形内切圆，可得垂直关系，以及相等线段和相等角，求线段或角度时要善于利用这些隐含条件．3.三角形的内心就是三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点，这个对求角度也很重要.练3．（2015 包头一模）如图，△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC中，AB=AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，点O为△ACD的内切圆圆心，则∠AOB=　 　． ( http: / / www.21cnjy.com )4．已知三角形边长，求内切圆半径【例4】（2014秋 海门市期末）已知三角形三边长分别为5cm、5cm、6cm，则这个三角形内切圆的半径是（　　）A．cm B．cm C．2cm D．3cm总结：1. 等腰三角形内切圆半径的求法：作等腰三角形底边上的高，并连接圆心和腰上的切点，构造等腰三角形，通过勾股定理求解.2．直角三角形内切圆半径的求法：设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的内切圆的半径或．3．一般三角形内切圆半径的求法：设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，则△ABC的内切圆的半径.练4．（2012秋 新沂市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=5cm，AC﹣AB=1cm．（1）求AB、AC的长；（2）求△ABC内切圆的半径． ( http: / / www.21cnjy.com )
五、课后小测 一、选择题1．（2015 繁昌县二模）如图，在△ABC中，∠BAC=40°，点P是△ABC的内心，则∠BPC=（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．80 B．110 C．130 D．1402．（2012秋 岳池县期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，如果∠APB=60°，线段PA=10，那么弦AB的长是（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．10 B．12 C．5 D．103．（2014秋 定陶县期中）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．8 B．18 C．16 D．144．（2009秋 平塘县校级期末）如图，直线 ( http: / / www.21cnjy.com )AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，0C=8cm，则BE+CG的长等于（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．13 B．12 C．11 D．105．（2013秋 汉川市期末）如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，若AC=12cm，BC=9cm，则⊙O的半径（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．3cm B．6cm C．9cm D．15cm6．（2012 杭州模拟）如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则△A1B1C1与△ABC的面积的比值为（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A． B． C． D．7．（2015 秦皇岛校级模拟）如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．32 B．34 C．36 D．388．（2015 慈溪市一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（　　）A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.59．（2014春 海曙区校 ( http: / / www.21cnjy.com )级期中）如图，花边带上正三角形的内切圆半径为1cm．如果这条花边带有100个圆和100个正三角形，则这条花边的面积为（　　） ( http: / / www.21cnjy.com )A．150π B．150 C．300 D．200二、填空题10．（2013秋 滨湖 ( http: / / www.21cnjy.com )区校级期末）如图示PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，直线EF也是⊙O的切线，Q是切点，交PA、PB于E、F点．若PA=10cm，则△PEF的周长为　 　cm；若∠APB=50°，则∠EOF的度数为　 　． ( http: / / www.21cnjy.com )11．（2014秋 江阴市期中）如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=6，AC=8，则它的内切圆半径是　　． ( http: / / www.21cnjy.com )12．（2012 盘锦模拟）如图，⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )内切于△ABC，切点分别为D、E、F，且DE∥BC，若AB=8cm，AD=5cm，则△ADE的周长是　 　cm． ( http: / / www.21cnjy.com )，三、解答题13．（2011秋 港闸区校级期中）如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°．求：（1）PA的长；（2）∠COD的度数． ( http: / / www.21cnjy.com )14．（2013秋 南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．（1）该三角形的外接圆的半径长等于　 　；（2）用直尺和圆规作出该三角形的内切圆（不写作法，保留作图痕迹），并求出该三角形内切圆的半径长． ( http: / / www.21cnjy.com )
典例探究答案：
【例1】【解析】利用切线长定理可以得到 ( http: / / www.21cnjy.com )AE=AF，BF=BD，CD=CE，因而可以设AF=xcm，BD=ycm，CE=zcm，根据BC=14，AC=9，AB=13，即可得到一个关于x，y，z的方程组，即可求解．
解：设AF=xcm，BD=ycm，CE=zcm．
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AF、AE是圆的切线，
∴AE=AF=xcm，
同理：BF=BD=ycm，CD=CE=zcm．
根据题意得：
，
解得：．
即：AF=4，BD=9，CE=5．
故选A．
点评：本题考查了切线长定理，利用切线长定理，把求线段长的问题转化成解方程组的问题，体现了方程思想的运用．
练1．【解析】由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB的长，然后再进行求解．
解：如图，设DC与⊙O的切点为E；
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；
∴PA=PB；
同理，可得：DE=DA，CE=CB；
则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；
∴PA=PB=5cm，
故答案为：5．
点评：此题主要考查了切线长定理的应用，能够将△PCD的周长转换为切线PA、PB的长是解答此题的关键．
【例2】【解析】连接OA，OB，OC，再利用切线长定理，结合三角形内角和定理求解.
解：连接OA、OC、0B，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，
∴∠DAO=∠EBO=90°，
∴∠P+∠AOB=180°，
∴∠AOB=180°﹣50°=130°
∵∠AOD=∠DOC，∠COE=∠BOE，
∴∠DOE=∠AOB=×130°=65°．
点评：本题考查了切线长定理，作出有效辅助线是解题的关键.
练2．【解析】由PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，根据切线长定理即可得：CE=CA，DE=DB，然后由等边对等角与三角形外角的性质，可求得∠PAE=∠PCD，∠PBE=∠PDC，继而求得∠PAE+∠PBE的度数．
解：∵PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，
∴CE=CA，DE=DB，
∴∠CAE=∠CEA，∠DEB=∠DBE，
∴∠PCD=∠CAE+∠CEA=2∠CAE，∠PDC=∠DEB+∠DBE=2∠DBE，
∴∠CAE=∠PCD，∠DBE=∠PDC，
即∠PAE=∠PCD，∠PBE=∠PDC，
∵∠P=40°，
∴∠PAE+∠PBE=∠PCD+∠PDC=（∠PCD+∠PDC）=（180°﹣∠P）=70°．
故选D．
点评：此题考查了切线长定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
【例3】【解析】根据三角形的内角和定理求出∠A，根据多边形的内角和定理求出∠EOF，根据圆周角定理求出∠EDF即可．
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=50°，∠C=60°，
∴∠A=70°，
∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
∴∠EOF=360°﹣∠A﹣∠OEA﹣∠OFA=110°，
∴∠EDF=∠EOF=55°．
故选B．
点评：本题主要考查对三角形的内切圆 ( http: / / www.21cnjy.com )与内心，三角形的内角和定理，多边形的内角和定理，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能求出∠EOF的度数是解此题的关键．
练3．【解析】本题求的是∠AOB的度数， ( http: / / www.21cnjy.com )而题目却没有明确告诉任何角的度数，因此要从隐含条件入手；CD是AB边上的高，则∠ADC=90°，那么∠BAC+∠ACD=90°；O是△ACD的内心，则AO、CO分别是∠DAC和∠DCA的角平分线，即∠OAC+∠OCA=45°，由此可求得∠AOC的度数；再根据∠AOB和∠AOC的关系，得出∠AOB．
解：如图．连接CO，并延长AO到BC上一点F，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠BAC+∠ACD=90°；
又∵O为△ACD的内切圆圆心，
∴AO、CO分别是∠BAC和∠ACD的角平分线，
∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠ACD）=×90°=45°，
∴∠AOC=135°；
在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴∠AOB=∠AOC=135°．
故答案为：135°．
点评：本题主要考查等腰三角形的性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形内切圆的意义、三角形内角和定理、直角三角形的性质；难点在于根据题意画图，由于没任何角的度数，需要充分挖掘隐含条件．此类题学生丢分率较高，需注意．
【例4】【解析】由⊙O是△ABC的内切 ( http: / / www.21cnjy.com )圆，⊙O切AB于E，切BC 于D，根据切线长定理得到AB=AC，A，O，D三点共线，求得BD，AD，BE，AE，由勾股定理列方程求解．
解：如图，∵⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切AB于E，切BC 于D，
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∵AB=AC=5，
∴A，O，D三点共线，
∴BD=BC=3，
∴AD==4，
∴BE=BD=3，
∴AE=2，
设三角形内切圆的半径为r，
∴（4-r）2=22+r2，
∴r=cm，
∴三角形内切圆的半径为cm．
故选B．
点评：本题主要考查对三角形的内切圆与内心、切线长定理、切线的性质、勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
练4．【解析】（1）设AB=xcm，则AC=（x+1）cm，根据勾股定理得出方程（x+1）2﹣x2=52，求出x即可；
（2）设内切圆的半径为y，根据三角形面积公式得出S△ABC=×5×12=×5r+×12r+×13r，求出即可．
解：（1）设AB=xcm，则AC=（x+1）cm，
∵在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2﹣AB2=BC2，
∴（（x+1）2﹣x2=52，
解得：x=12，
即AB=12cm，AC=13cm；
（2）连接AO、BO、CO、OD、OE、OF，
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设内切圆的半径为y，根据题意，得S△ABC=×5×12=×5r+×12r+×13r，
解得：r=2，
即所求内切圆的半径为2cm．
点评：本题考查了三角形的面积，三角形的内切圆和内心，勾股定理的应用，用了方程思想．
课后小测答案：
一、选择题
1．【解析】解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC=180°﹣40°=140°，
∵点P是△ABC的内心，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=ACB，
∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=×140=70°，
∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180﹣70=110°．
故选B．
2．【解析】解：∵PA、PB都是⊙O的切线，
∴PA=PB，
∵∠APB=60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴AB=PA=10．
故选A．
3．【解析】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴PB=PA=8，CA=CE，DB=DE，
∴△PCD的周长=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=16．
故选：C．
4．【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD，BE=BF，CG=CF，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°，
∴BC==10，
∴BE+CG=10（cm）．
故选D．
5．【解析】解：如图：连接DO，FO，
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在Rt△ABC，∠C=90°，BC=9cm，AC=12cm，
根据勾股定理AB==15（cm），
四边形OECF中，OD=OF，∠ODC=∠OFC=∠C=90°，
∴四边形OFCD是正方形，
由切线长定理，得：AD=AE，BE=BF，CD=CF，
∴CD=CF=（AC+BC﹣AB），
即r=（9+12﹣15）=3（cm）．
故选：A．
6．【解析】解：设圆心为O，AB与圆相切于点D，连接AO，DO，
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∵△A1B1C1和△ABC都是正三角形，
∴它们的内心与外心重合；
如图：设圆的半径为R；
Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=R；
AO=OD =R，
即AB=2R；
同理可求得：A1B1=R，
∴==，
则△A1B1C1与△ABC的面积的比值为：（） 2=．
故选：C．
7．【解析】解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，
所以四边形的周长=2×（7+10）=34．
故选：B．
8．【解析】解：∵AB=5，AC=3，
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∴BC==4，
∴外接圆半径==2.5，
∵四边形ODCE是正方形，且⊙O是△ABC的内切圆，
∴内切圆半径==1．
故选C．
9．【解析】解：从中选择一个等 ( http: / / www.21cnjy.com )边三角形和其内接圆如图，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切AB于F，切AC于E，切BC于D，连接AD，OB，则AD过O（因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上，也在底边的垂直平分线上），
( http: / / www.21cnjy.com )
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OBC=∠ABC=30°，
∵⊙O切BC于D，
∴∠ODB=90°，
∵OD=1，
∴OB=2，
由勾股定理得：BD==，
∴BC=，
∴S△ABC=BC AD=××3=3．
∴这条花边的面积=100S△ABC=300，
故选C．
二、填空题
10．【解析】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，
∵EF也是⊙O的切线，
∴EA=EQ，FB=FQ，
∴△PEF的周长=PA+PB=10+10=20cm，
∵∠APB=50°，
∴∠AOB=130°，
∴∠EOF=65°．
故答案为：20，65°．
11．【解析】解：根据勾股定理得：AB==10，
设三角形ABC的内切圆O的半径是r，
∵圆O是直角三角形ABC的内切圆，
∴OD=OE，BF=BD，CD=CE，AE=AF，∠ODC=∠C=∠OEC=90°，
∴四边形ODCE是正方形，
∴OD=OE=CD=CE=r，
∴AC﹣r+BC﹣r=AB，
8﹣r+6﹣r=10，
∴r=2，
故答案为：2．
12．【解析】解：∵AD、AE是圆的切线，
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∴AD=AE，
又∵DE∥BC，
∴，
∴AB=AC，BD=CE．
∵AB=8cm，AD=5cm，
∴BD=AB﹣AD=8﹣5=3cm．
∵BD、BF是圆的切线，
∴BF=BD=3cm，
∴BC=2BF=6cm．
∵DE∥BC，
∴，
∴DE===，
∴△ADE的周长是：5+5+=．
故答案是：．
三、解答题
13．【解析】解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，
∴CA=CE，
同理DE=DB，PA=PB，
∴三角形PDE的周长=PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12，
即PA的长为6；
（2）∵∠P=60°，
∴∠PCE+∠PDE=120°，
∴∠ACD+∠CDB=360°﹣120°=240°，
∵CA，CE是圆O的切线，
∴∠OCE=∠OCA=∠ACD；
同理：∠ODE=∠CDB，
∴∠OCE+∠ODE=（∠ACD+∠CDB）=120°，
∴∠COD=180﹣120°=60°．
14．【解析】解：（1）在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
由勾股定理得：AB===5，
即三角形的外接圆的半径长是×5=2.5，
故答案为：2.5．
（2）如图所示：连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
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设内切圆的半径长为r，则OD=OE=OF=r，
由S△OBC+S△OAC+S△OAB=S△ABC，
得：（3r+4r+5r）=×3×4
解得：r=1，
即该三角形内切圆的半径长是1．