【多媒体导学案】人教版数学九年级上册第24章第11课时《正多边形和圆》（教师版）

一、学习目标 1．掌握正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆、中心、半径、中心角、边心距等；2．掌握正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距、中心角之间的等量关系；3．会画圆内接正多边形.
二、知识回顾 1．正多边形的概念 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.　　请举出一些正多边形：　　正方形、正六边形、正八边形.　　所有的正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形又是中心对称图形.2．矩形、菱形是正多边形吗？为什么？　 不是.因为矩形的各角虽然相等，但是各边不相等； 菱形的各边虽然相等，但是各角不相等.　　什么是正n边形？　 如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.　　
三、新知讲解 1．正多边形和圆的相关概念①正n边形的外接圆：　　把一个圆的圆周分 ( http: / / www.21cnjy.com )为n等份，顺次连接各分点所得的图形　　，即为圆的内接正n边形，这个圆叫做这个正n边形的　　外接圆　　.②正多边形的中心：　　正多边形的外接圆的圆心　　叫做正多边形的中心． ③正多边形的半径：　　正多边形的外接圆的半径　　叫做正多边形的半径．④正多边形的中心角：　　正多边形每一边所对的圆心角　　叫做正多边形的中心角．⑤正多边形的边心距：　　中心到正多边形的一边的距离　　叫做正多边形的边心距．2．常见正ｎ边形的边数、内角、中心角、半径、边长、边心距、周长和面积的相关数据边数n内角An中心角半径R边长an边心距rn周长Cn面积Sn360°120°R 490°90°R 6120°60°RR6R 3．利用圆画正多边形利用圆可以画出正多边形，具体画法如下：把圆n(n≥3)等分，依次连接各分点可以画出正n边形，或过各分点作圆的切线画出正n边形. 常用的画正n边形的工具有量角器、直尺和圆规.（1）用量角器等分圆，可在圆内用量角器画一个的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对的弧的等弧即可.（2）用直尺和圆规作正多边形，只限于某些特殊边数的正n边形，如正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形等.
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！1．已知等边三角形的边长求半径【例1】（2013秋 嘉兴期中）若等边三角形的边长为4，则此三角形外接圆的半径为 ．总结：已知等边三角形的边长求半径，一般需要 ( http: / / www.21cnjy.com )作两条辅助线——半径和弦心距，构造直角三角形，利用直角三角形中30°的角对应的直角边等于斜边的一半及结合勾股定理求解.练1．边长为a的等边三角形的外接圆半径是 ，其外心到一边的距离是 ．2．由正六边形的半径求边心距、半径、面积【例2】半径为4的正六边形的边心距为 ，中心角等于 度，面积为 ．总结：正六边形的半径就是正六边形外接圆的半径，其等于正六边形的边长.正六边形的中心角是正六边形每一边所对的圆心角，其等于60°正六边形的面积等于6个小正三角形的面积和.练2．正六边形的边长a，半径R，边心距r的比a：R：r= ．3．已知圆的半径求圆内接正方形的边长、边心距、面积【例3】（2014 武汉模拟）半径为3的圆内接正方形的边心距等于 ．总结：结合正方形的性质、垂径定理、勾股定理等知识解答.练3．已知正方形ABCD的边心距OE=cm，求这个正方形外接圆⊙O的面积． ( http: / / www.21cnjy.com )4．画圆内接正多边形【例4】试分别按要求画出下面圆O的内接正多边形． ( http: / / www.21cnjy.com )总结：利用圆可以画出正多边形，具体画法如下：（1）用量角器等分圆.先在圆内用量角器画一个的圆心角，再在圆上依次截取这个圆心角所对的弧的等弧即可n等分圆，依次连接各分点可以画出正n边形，或过各分点作圆的切线画出正n边形.（2）用直尺和圆规作正多边形.只限于某些特殊边数的正n边形，如正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形等.练4．（2003 台州）画出你喜欢的三个不同的圆内接正多边形（画图工具不限，但要保留画图痕迹）. ( http: / / www.21cnjy.com )
五、课后小测 一、选择题1．（2015 顺义区一模）若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是（ ）A．30° B．60° C．90° D．120°2．（2009 上海）下列正多边形中，中心角等于内角的是（ ）A．正六边形 B．正五边形 C．正四边形 D．正三边形3．（2015 西宁）一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（ ）A．12mm B．12mm C．6mm D．6mm4．（2015 宝坻区二模）正n边形的一个外角为60°，外接圆半径为4，则它的边长为（ ）A．4 B．2 C．4 D．2二、填空题5．（2011 南汇区模拟）若正多边形的中心角为20°，那么它的边数是 ．6．（2000 福建）一个正多边形的中心角为36°，则它的边数是 ．7．（2010秋 沧州校级期中）一个正多边形的中心角等于45°，它的边数是 ．8．（2013 奉贤区二模）正多边形的中心角为72度，那么这个正多边形的内角和等于 度．三、解答题9．已知AB是的⊙O内接正十边形的一边，AC是⊙O的内接正十五边形的一边，求以BC为边的内接正多边形的中心角的度数．10．已知正六边形的半径为r，求正六边形的边长、边心距和面积．11．如图所示，求半径为2的圆内接正方形的边心距与面积． ( http: / / www.21cnjy.com )
典例探究答案：
【例1】【分析】根据正三角形的每个内角为60°和三角形外接圆的相关知识解答．
【解答】解：因为等边三角形的边长为4，
所以AD=2，
又因为∠DAO=∠BAC=60°×=30°，
所以OD=OA，
根据勾股定理：AO2= OD2+AD2，解得：
AO=．
故答案为：.
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【点评】解答此题要明确两点：
（1）正多边形的中心和外接圆圆心重合；
（2）正三角形每个内角都相等．
练1．【分析】根据题意画出图形，连接OB、OC、过O作OD⊥BC于D，再根据等边三角形的性质和解直角三角形解答即可．
【解答】解：如图所示，△ABC是等边三角形，BC=a，
连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，
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则∠BOC==120°，∠BOD=∠BOC=60°，BD=，
由勾股定理OB2=OD2+BD2，其中OD=OB（在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
解得：OB=a，OD=a，
故答案为：a，a．
【点评】本题考查了解直角三角形，等边三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质，三角形的外接圆与外心的应用，此题比较简单，解答此题的关键是根据题意画出图形，利用等边三角形及直角三角形的性质解答．
【例2】【分析】解答本题主 ( http: / / www.21cnjy.com )要分析出正多边形的内切圆的半径就是正六边形的边心距，即为每个边长为4的正三角形的高，从而构造直角三角形即可解．中心角利用360÷6即可求解；然后利用三角形的面积公式即可求解正六边形的面积．
【解答】解：边长为4的正六边形可以分成六个边长为4的正三角形，
而正六边形的边心距即为每个边长为4的正三角形的高，
∴正六边形的边心距等于，
∴中心角为：360°÷6=60°，
∴正六边形的面积为6××4×2=24．
故答案为：2，60°，24．
【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌 ( http: / / www.21cnjy.com )握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算．
练2．【分析】经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C．连接OA，则在直角△OAC中，∠AOB=．OC是边心距r，OA即半径R．AB=2AC=a．
根据三角函数即可求解．
【解答】解：圆内接正六边形可分成六个全等的等边三角形，这样的等边三角形的边长与原正六边形的边长相等，
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等边三角形的高与正六边形的边心距相等，
等边三角形的高是它的边长的倍，
所以a：R：r=2：2：．
故答案为：2：2：．
【点评】本题考查了圆内接正六边形的 ( http: / / www.21cnjy.com )边长，半径，边心距的关系，正多边形的计算一般要经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为解直角三角形．
【例3】【分析】根据题意首先求出OE的长，即可解决问题．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
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∴∠OBE=45°；
∵OE⊥BC，
∴BE=CE；
∵∠OBE=45°，∴OE=BE；
由勾股定理：OE2+BE2=OB2，即2OE2=9，
∴OE=，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆内接正方形的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合运用能力提出了一定的要求．
练3．【分析】连接OC、OD，根据圆O是正方形ABCD的外接圆和正方形的性质得到∠0DE=∠ADC=45°，求出∠DOE=∠ODE=45°，得出OE=DE=，根据勾股定理求出OD=2，根据圆的面积公式求出即可．
【解答】解：连接OC、OD，
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∵圆O是正方形ABCD的外接圆，
∴O是对角线AC、BD的交点，
∴∠0DE=∠ADC=45°，
∵OE⊥CD，
∴∠OED=90°，
∴∠DOE=180°﹣∠OED﹣ODE=45°，
∴OE=DE=，
由勾股定理得：OD==2，
∴这个正方形外接圆⊙O的面积是π 22=4π，
答：这个正方形外接圆⊙O的面积是4π．
【点评】本题主要考查对正多边形与圆，正方形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出OE=DE是解此题的关键．
【例4】【分析】根据圆内接正多边形的性质分别画出圆内接正方形、正八边形、正六边形及正三角形即可．
【解答】解：如图所示：
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【点评】此题主要考查了正多边形和圆的关系，熟知圆内接正多边形的性质是解答此题的关键．
练4．【分析】根据圆内接正多边形的性质分别画出圆内接正方形、正八边形及正三角形即可．
【解答】解：如图所示：
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【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知圆内接正多边形的性质是解答此题的关键．
课后小测答案：
一、选择题
1．【分析】根据正多边形的外角和是360°求出正多边形的边数，再求出其中心角．
【解答】解：∵正多边形的一个外角为60°，
∴正多边形的边数为=6，
其中心角为=60°．
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形和圆，熟悉正多边形的性质和外角和是解题的关键．
2．【分析】正n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，则它的内角是等于，n边形的中心角等于，根据中心角等于内角就可以得到一个关于n的方程，解方程就可以解得n的值．
【解答】解：根据题意，得=，
解得：n=4，即这个多边形是正四边形．
故选：C．
【点评】本题比较容易，考查正多边形的中心角和内角和的知识，也可以对每个结果分别进行验证．
3．【分析】理解清楚题意，此题实际考查的是一个直径为24mm的圆内接正六边形的边长．
【解答】解：已知圆内接半径r为12mm，
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则OB=12，
∴BD=12×=6，
则BC=2×6=12，
可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正六边形的边长最大．
故选A．
【点评】此题所求结果比较新颖，要注意题目问题的真正含义，即求圆内接正六边形的边长．
4．【分析】首先根据外角的度数求出正多边形的边数，正六边形的半径外接圆与边长相等求解．
【解答】解：∵正n边形的一个外角为60°，
∴n=360°÷60°=6，
∵正六边形的外接圆半径与边长相等，
∴正六边形的边长为4．
故选A．
【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，正六边形的半径与边长相等，是需要熟记的内容．
二、填空题
5．【分析】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：由题意可得：
360°÷20°=18，
则它的边数是18．
【点评】根据多边形中心角的个数与边数之间的关系解题，本题是一个基本的问题．
6．【分析】一个正多边形的中心角都相等，且所有中中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：由题意可得：
边数为360°÷36°=10，
则它的边数是10．
【点评】根据多边形中心角的个数与边数之间的关系解题，本题是一个基本的问题．
7．【分析】根据正n边形的中心角是即可求解．
【解答】解：正多边形的边数是：=8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了正多边形中心角的计算方法，是需要熟记的内容．
8．【分析】先根据周角等于360°求出边数，再根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵正多边形的中心角为72度，
∴边数为：360°÷72°=5，
∴这个正多边形的内角和=（5﹣2） 180°=540°．
故答案为：540．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，熟记正多边形中心角的定义求出边数的是解题的关键．
三、解答题
9．【分析】如图，首先求出∠AOB、∠AOC的度数，进而求出∠BOC的度数即可解决问题．
【解答】解：如图，
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∵AB是的⊙O内接正十边形的一边，
AC是⊙O的内接正十五边形的一边，
∴∠AOB=，∠AOC==24°，
当点在外时，∠BOC=36°+24°=60°；
当点C在上时，∠BOC=36°﹣24°=12°；
即以BC为边的内接正多边形的中心角的度数为60°或12°．
【点评】该题以正多边形和圆为载体，以正多边形和圆的性质的考查为核心构造而成；灵活运用有关定理来分析、判断是解题的关键．
10．【分析】首先根据题意画出图形 ( http: / / www.21cnjy.com )，易得△OBC是等边三角形，继而可得正六边形的边长为r，然后由勾股定理求得边心距，又由S正六边形=6S△OBC求得答案．
【解答】解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，
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∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=×360°=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=OC=r，
∴它的边长是r；
∴BH=BC=r，
∴OH==r，
即边心距为r；
∴S正六边形=6S△OBC=6××r×r=r2．
【点评】此题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
11．【分析】根据题意首先求出OE、BE的长，即可解决问题．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∴∠OBE=45°；
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而OE⊥BC，∴BE=CE=OE；
而OB=2，，
∴2OE2=2OE2==2
∴OE=BE=，
∴BC=2，
故半径为2的圆内接正方形的边心距与面积分别为，8．
【点评】该题主要考查了圆内接正方形的性质及其 ( http: / / www.21cnjy.com )应用问题；解疑的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合运用能力提出了一定的要求．