2023-2024学年下学期高中数学人教新版（2019）高二同步经典题精练之排列组合（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年下学期高中数学人教新版（2019）高二同步经典题精练之排列组合（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 181.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-20 17:31:37 | ||
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文档简介
2023-2024学年下学期高中数学人教新版（2019）高二同步经典题精练之排列组合
一．选择题（共8小题）
1．同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（ ）
A．32种 B．128种 C．64种 D．256种
2．已知书架上有4本不同的数学书，3本不同的化学书，从中任取3本书．若数学书，化学书每种都取出至少一本，则不同的取法种数为（ ）
A．60 B．180 C．30 D．90
3．8个人排成一排照相，其中甲乙丙三人中任意两人都不相邻的排法种数是（ ）
A． B．
C． D．
4．将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法有（ ）
A．190种 B．160种 C．120种 D．90种
5．将4名志愿者分别安排到A，B，C三个社区进行社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，每名志愿者只能去一个社区，若志愿者甲必须安排到A社区，不同的安排方法有（ ）
A．6 B．9 C．12 D．36
6．7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（ ）种站排方式．
A．672 B．864 C．936 D．1056
7．某高中安排4名同学（不同姓）到甲、乙、丙3个小区参加垃圾分类宣传活动，若每名同学只去一个小区，每个小区至少安排1名同学，其中张同学不去乙小区，则不同的分配方案种数为（ ）
A．36 B．24 C．48 D．12
8．据典籍《周礼 春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音．如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音节，“羽”不为首音节，可以排成不同音序的种数是（ ）
A．36 B．60 C．72 D．78
二．多选题（共4小题）
（多选）9．某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课，且该天上午总共4节课，下列结论正确的是（ ）
A．若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法
B．若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法
C．若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法
D．若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法
（多选）10．3名男生和3名女生站成一排，则下列结论中正确的有（ ）
A．3名男生必须相邻的排法有144种
B．3名男生互不相邻的排法有72种
C．甲在乙的左边的排法有360种
D．甲、乙中间恰好有2人的排法有144种
（多选）11．4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是（ ）（选项中排列数的计算结果均正确）
A．若3个女生必须相邻，则不同的排法有种
B．若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有种
C．若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有种
D．若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有种
（多选）12．现有3名男生2名女生，在某风景点前站成一排拍合照，则（ ）
A．共有60种方法
B．男生不相邻，共有12种方法
C．女生相邻，共有48种方法
D．女生不站两边，共有36种方法
三．填空题（共5小题）
13．2023年杭州亚运会召开后，4位同学到A，B，C三个体育场馆做志愿者服务活动，每个体育场馆至少一人，每人只能去一个体育场馆，则不同的分配方法总数是 ．
14．学校安排甲乙丙丁4名运动员参加4×100米接力赛，其中甲不跑第一棒，则共有 种不同的接力方式．
15．某研究性学习小组有4名男生和2名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少1名女生，则不同的选法种数为 ．
16．2024年第6届U23亚洲杯将在卡塔尔举行．现将甲、乙，丙、丁四名志愿者分配到3个体育馆参加志愿者活动，每个场馆至少有一名志愿者，共有 种分配方案．（用数字作答）
17．“莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺．”这是清代女诗人吴绛雪的一首回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文数”，如232，251152等，那么在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有 个．
四．解答题（共5小题）
18．某商场在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“禄”“寿”“喜”卡各两张，“财”卡三张．每位顾客从卡箱中随机抽取5张卡片，其中抽到“财”卡获得3分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“禄”“寿”“喜”“财”卡片各一张，则额外获得4分．
（1）求顾客甲最终获得7分的不同的抽法种数；
（2）求顾客乙最终获得11分的不同的抽法种数．
19．某校高二年级开设了《数学建模》《电影赏析》《经典阅读》《英语写作》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的．
（1）求三位同学选择的课程互不相同的概率；
（2）若至少有两位同学选择《数学建模》，则三人共有多少种不同的选课种数？
20．（1）已知，计算：；
（2）解方程：．
21．安排6名教师A，B，C，D，E，F到甲、乙、丙三个场馆做志愿者．
（1）有14个相同的口罩全部发给这6名教师，每名教师至少发两个口罩，共有多少种不同的发放方法？
（2）六名教师站一排照相，求A、B不相邻，且C在D的左边（可以不相邻）的概率？
22．盒子里装有六个大小相同的小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6．现从盒子里随机不放回地抽取3次，每次抽取1个小球，按抽取顺序将球上数字分别作为一个三位数的百位、十位与个位数字．
（1）一共能组成多少个不同的三位数？
（2）一共能组成多少个不同的大于500的三位数？
2023-2024学年下学期高中数学人教新版（2019）高二同步经典题精练之排列组合
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（ ）
A．32种 B．128种 C．64种 D．256种
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【答案】C
【分析】分甲和乙都去和甲和乙都不去两类，利用分类计数原理求解．
【解答】解：若甲、乙都去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有25种去法；
若甲、乙都不去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有25种去法．
故一共有25+25＝64种去法．
故选：C．
【点评】本题考查排列组合的知识，属于基础题．
2．已知书架上有4本不同的数学书，3本不同的化学书，从中任取3本书．若数学书，化学书每种都取出至少一本，则不同的取法种数为（ ）
A．60 B．180 C．30 D．90
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】对应思想；定义法；排列组合；数学运算．
【答案】C
【分析】根据题意，分为1本数学书，2本化学书和2本数学书，1本化学书，两类情况，结合排列组合，即可求解．
【解答】解：由书架上有4本不同的数学书，3本不同的化学书，
从中任取3本书，若数学书，化学书每种都取出至少一本，
可分为两类：若1本数学书，2本化学书，有种；
若2本数学书，1本化学书，有种，
所以不同的取法种数共有12+18＝30种．
故选：C．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
3．8个人排成一排照相，其中甲乙丙三人中任意两人都不相邻的排法种数是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】计算题；方程思想；转化思想；排列组合；数学运算．
【答案】A
【分析】因为要求不相邻，采用插空法来解，先排列另外五人，有种结果，再在排列好的五人的6个空里，排列甲、乙、丙，有种结果，根据分步计数原理相乘得到结果．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①先排出甲、乙、丙三人外的五人，将5人全排列，有种排法，排好后，有6个空位可选，
②再在排列好的五人的6个空位里，任选3个，排列甲、乙、丙三人，有种结果，
则不同的排法数目有种；
故选：A．
【点评】本题考查排列组合及简单计数问题，考查了插空法的应用，属于基础题．
4．将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法有（ ）
A．190种 B．160种 C．120种 D．90种
【考点】组合及组合数公式
【专题】转化思想；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】C
【分析】先在编号为2，3的盒内分别放入1个，2个球，然后再将剩17个小球，利用隔板法分为三堆放入即可．
【解答】解：先在编号为2，3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，
三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，
有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中，
共有＝120种方法．
故选：C．
【点评】本题考查排列数公式、排列组合知识等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．将4名志愿者分别安排到A，B，C三个社区进行社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，每名志愿者只能去一个社区，若志愿者甲必须安排到A社区，不同的安排方法有（ ）
A．6 B．9 C．12 D．36
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】C
【分析】根据A社区的志愿者人数进行分类讨论，然后由分类加法计数原理求解出结果．
【解答】解：①：若A社区仅有志愿者甲，
则剩余3名志愿者需要分成2组并分配到B，C社区，
此时安排的方法数为种；
②：若A社区还有另外一名志愿者，
则先选出这名志愿者有 种方法，
再将剩余2名志愿者分配到B，C社区有 种方法，
根据分步乘法计数原理可知②的安排方法数为种，
所以一共有6+6＝12种安排方法．
故选：C．
【点评】本题考查了分步乘法计数原理及分类加法计数原理，属基础题．
6．7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（ ）种站排方式．
A．672 B．864 C．936 D．1056
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】分类讨论；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】D
【分析】分甲站在每一排的两端和甲不站在每一排的两端这 两种情况解答即可．
【解答】解：当甲站在每一排的两端时，有4种站法，此时乙的位置确定，剩下的人随便排，有 种站排方式；
当甲不站在每一排的两端时，有3种站法，此时乙和甲相邻有两个位置可选，丙和甲不相邻有四个位置可选，剩下的人随便站，有种站排方式，
故总共有480+576＝1056种站排方式．
故选：D．
【点评】本题考查排列组合与计数原理的综合应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
7．某高中安排4名同学（不同姓）到甲、乙、丙3个小区参加垃圾分类宣传活动，若每名同学只去一个小区，每个小区至少安排1名同学，其中张同学不去乙小区，则不同的分配方案种数为（ ）
A．36 B．24 C．48 D．12
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】分类讨论；定义法；排列组合；数学运算．
【答案】B
【分析】4名同学分配到3个小区，则分组情况为2，1，1，利用元素优先法进行求解即可．
【解答】解：4名同学分配到3个小区，每个小区至少1人，则分组情况为2，1，1．
由于张同学不去乙小区，张同学自己去一个小区有＝2种，其余3人分成1人组和2人组，有＝6种，此时共有2×6＝12种；
张同学分配到2人组且该组不去乙小区有＝12种，
则共有12+12＝24种不同的分配方案．
故选：B．
【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用元素优先法进行计算是解决本题的关键，是中档题．
8．据典籍《周礼 春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音．如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音节，“羽”不为首音节，可以排成不同音序的种数是（ ）
A．36 B．60 C．72 D．78
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】分类讨论；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】D
【分析】分”羽”排在末音节与“羽”不排在末音节两类讨论，可求得答案．
【解答】解：①“羽”排在末音节，另外四个自由排列，有＝24种方法；
②“羽”不排在末音节，也不排在首音节，有种方法，“宫”不为末音节，还有三个位置可选，有种方法，另外三个自由排列，有种方法，
由分步乘法计数原理可得，共有 ＝54种方法；
综上，共有24+54＝78种方法．
故选：D．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课，且该天上午总共4节课，下列结论正确的是（ ）
A．若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法
B．若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法
C．若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法
D．若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】转化思想；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】ABC
【分析】选项A将数学排在后三节，再将其余3个科目全排列即可；选项B采用捆绑法进行求解；选项C采用插空法进行求解；选项D根据先排语数英，再插空，可得结果．
【解答】解：对于A，有种排法，故A正确；
对于B，采用捆绑法，有种排法，故B正确；
对于C，采用插空法，有种排法，故C正确；
对于D，先排语文课、数学课、英语，有1种，再在4个空里选一个，有4种排法，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查排列组合的性质的应用，属于基础题．
（多选）10．3名男生和3名女生站成一排，则下列结论中正确的有（ ）
A．3名男生必须相邻的排法有144种
B．3名男生互不相邻的排法有72种
C．甲在乙的左边的排法有360种
D．甲、乙中间恰好有2人的排法有144种
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】ACD
【分析】A：利用捆绑法分析；B：利用插空法分析；C：先考虑6人全排列，然后甲在乙的左边的排法数占一半，由此求解出结果；D：先选2人与甲乙捆绑在一起，然后再看成3个元素全排列．
【解答】解：对于A：将3名男生捆绑在一起看成一个元素，
所以排法有种，
故A正确；
对于B：将3名男生放入到3名女生形成的4个空位中，所以排法有种，
故B错误；
对于C：3名男生和3名女生全排列，排法有种，
其中甲在乙的左边的排法占总数的，
所以有种排法，
故C正确；对于D：先选2人与甲乙一起看成一个元素，再将此一个元素与剩余2人全排列，
所以有排法种，
故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题．
（多选）11．4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是（ ）（选项中排列数的计算结果均正确）
A．若3个女生必须相邻，则不同的排法有种
B．若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有种
C．若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有种
D．若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有种
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】BCD
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法求解．
【解答】解：对于选项A，若3个女生必须相邻，
则不同的排法有＝720种，
即选项A错误；
对于选项B，若3个女生中有且只有2个女生相邻，
则不同的排法有种，
即选项B正确；
对于选项C，若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，
则不同的排法共有种，
即选项C正确；
对于选项D，若3个女生按从左到右的顺序排列，
则不同的排法有种，
即选项D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题．
（多选）12．现有3名男生2名女生，在某风景点前站成一排拍合照，则（ ）
A．共有60种方法
B．男生不相邻，共有12种方法
C．女生相邻，共有48种方法
D．女生不站两边，共有36种方法
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】BCD
【分析】利用排列数公式及其应用对四个选项逐一分析可得答案．
【解答】解：3名男生2名女生，站成一排拍合照，共有＝5×4×3×2×1＝120种方法，A错误；
若男生不相邻，则2名女生形成三个空，3名男生插空，共有 ＝12种方法，B正确；
若女生相邻，则利用捆绑法，将2名女生作为一个整体与另三名男生形成4个元素自由排，共有 ＝48种方法，C正确；
若女生不站两边，共 ＝36种方法，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题的应用，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
13．2023年杭州亚运会召开后，4位同学到A，B，C三个体育场馆做志愿者服务活动，每个体育场馆至少一人，每人只能去一个体育场馆，则不同的分配方法总数是 36种 ．
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】对应思想；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】36种．
【分析】先选2位同学去同一场馆，再进行排序，即可得解．
【解答】解：由题意知，有2位同学要去同一个场馆，
先选2位同学去同一场馆，再进行排序，共有＝36种不同的分配方法总数．
故答案为：36种．
【点评】本题考查排列组合与计数原理的综合应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
14．学校安排甲乙丙丁4名运动员参加4×100米接力赛，其中甲不跑第一棒，则共有 18 种不同的接力方式．
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】18．
【分析】甲先选择，然后乙丙丁再全排列，根据分步乘法计数原理可得结果．
【解答】解：甲先在第二、三、四棒中选一棒，有种选法，乙丙丁三人选择除甲选择之外的三棒，全排列即可，有种选法，
所以一共有种接力方式．
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
15．某研究性学习小组有4名男生和2名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少1名女生，则不同的选法种数为 16 ．
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】16．
【分析】直接利用组合知识分步计算即可．
【解答】解：由已知可得六名同学选三名同学有种方法，而全选男生的有种方法，
所以至少一名女生的方法有20﹣4＝16种方法．
故答案为：16．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，属于基础题．
16．2024年第6届U23亚洲杯将在卡塔尔举行．现将甲、乙，丙、丁四名志愿者分配到3个体育馆参加志愿者活动，每个场馆至少有一名志愿者，共有 36 种分配方案．（用数字作答）
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】对应思想；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】36．
【分析】根据题意，分2步分析，先将4名志愿者分成3组，由组合数公式可得其分组方法数目，第二步，将分好的三组对应3个不同的场馆，由排列数公式可得其对应方法数目，再由分步计数原理计算即可．
【解答】解：根据题意，先将4名志愿者分成3组，有1种分组方法，
即分成1、1、2的三组，有种方法，
再将分好的三组对应3个不同的场馆，有种情况，
则共有6×6＝36种分配方案．
故答案为：36．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查运算求解能力，属于中档题．
17．“莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺．”这是清代女诗人吴绛雪的一首回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文数”，如232，251152等，那么在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有 225 个．
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】分类讨论；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】225．
【分析】根据给定的信息，确定五位正整数中的“回文数”特征，再分别求出各位上的种数，先用乘法原理求出各类种数，再由加法原理即得．
【解答】解：依题意，五位正整数中“回文数”具有：
万位与个位数字相同，且不为0，千位与十位数字相同，
求有且仅有两位数字是偶数的“回文数”的个数有两类办法：
第一类：万位数字为偶数且不为0有4种，千位选一个奇数有5种，
百位选一个奇数有5种，
不同“回文数”的个数为4×5×5＝100个，
第二类：万位数字为奇数有5种，千位选一个偶数有5种，百位选一个奇数有5种，
不同“回文数”的个数为5×5×5＝125，
由分类加法原理得，
在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有：100+125＝225个．
故答案为：225．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查运算求解能力，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
18．某商场在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“禄”“寿”“喜”卡各两张，“财”卡三张．每位顾客从卡箱中随机抽取5张卡片，其中抽到“财”卡获得3分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“禄”“寿”“喜”“财”卡片各一张，则额外获得4分．
（1）求顾客甲最终获得7分的不同的抽法种数；
（2）求顾客乙最终获得11分的不同的抽法种数．
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】对应思想；定义法；排列组合；数学运算．
【答案】（1）162；
（2）76．
【分析】（1）根据排列组合，结合分类和分步计数原理即可求解；
（2）根据排列组合，结合分类和分步计数原理即可求解．
【解答】解：（1）顾客甲最终获得7分，则需抽中1张“财”卡和4张其他卡，且不能抽齐“福”“禄”“寿”“喜”“财”，
则不同的抽法种数为种．
（2）顾客乙最终获得11分的情况有2种：一种是抽中3张“财”卡和2张其他卡，另一种是抽齐“福”“禄”“寿”“喜”“财”卡，
不同的抽法种数为种．
【点评】本题考查组合的应用，考查分类加法计数原理的应用，是中档题．
19．某校高二年级开设了《数学建模》《电影赏析》《经典阅读》《英语写作》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的．
（1）求三位同学选择的课程互不相同的概率；
（2）若至少有两位同学选择《数学建模》，则三人共有多少种不同的选课种数？
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】分类讨论；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】（1）；
（2）10．
【分析】（1）先计算出三位同学选择课程的选法种数以及三位同学选择的课程互不相同的选法种数，利用古典概型的概率公式可求得结果．
（2）分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学建模》；②三位同学都选择《数学建模》，分别计算出两种情况下不同的选课种数，利用分类加法计数原理可得结果．
【解答】解：（1）三位同学选择课程共有43＝64种情况，三位同学选择的课程互不相同共有种情况，
所以三位同学选择的课程互不相同的概率为．
（2）分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学建模》，共有种不同的情况；
②有三位同学选择《数学建模》共有1种情况，
由分类加法计数原理得总共有9+1＝10种不同的选课种数，
所以三人共有不同的选课种数是10．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想及运算能力，属于中档题．
20．（1）已知，计算：；
（2）解方程：．
【考点】组合及组合数公式
【专题】转化思想；转化法；排列组合；数学运算．
【答案】（1）126；
（2）11．
【分析】（1）根据已知条件，结合组合数公式，即可求解；
（2）根据已知条件，结合组合数、排列数公式，即可求解．
【解答】解：（1）因为，所以m+3m﹣2＝6，解得m＝2，
故＝+＝＝＝；
（2），
则＝，即，所以（x﹣3）（x﹣6）＝40，解得x1＝11，x2＝﹣2（舍去），
所以原方程的解为x＝11．
【点评】本题主要考查排列数、组合数公式，属于基础题．
21．安排6名教师A，B，C，D，E，F到甲、乙、丙三个场馆做志愿者．
（1）有14个相同的口罩全部发给这6名教师，每名教师至少发两个口罩，共有多少种不同的发放方法？
（2）六名教师站一排照相，求A、B不相邻，且C在D的左边（可以不相邻）的概率？
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；排列组合；数学运算．
【答案】（1）21；
（2）．
【分析】（1）分两步完成，第一步，每人先发一个口罩，第二步，将剩余的8个口罩发给6人，每人一个，利用相同元素隔板法即可解决问题；
（2）利用排列知识，求出当A，B不相邻，且C在D的左边时的排法数及六名教师站一排时的排法数，再利用古典概率公式即可求出结果．
【解答】解：（1）因口罩全部相同，且每名教师至少发两个口罩，
分两步完成：第一步，每人先发一个口罩，只有1种发放方法，
第二步，将剩余的8个口罩发给6人，每人一个，共有＝21种不同的发放方法，
所以共有21种不同的发放方法．
（2）当A、B不相邻，且C在D的左边时，有种排法，
又六名教师站一排时，有种排法，
记“A，B不相邻，且C在D的左边（可以不相邻）”为事件E，
所以＝．
【点评】本题主要考查排列、组合及简单的计数问题，概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
22．盒子里装有六个大小相同的小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6．现从盒子里随机不放回地抽取3次，每次抽取1个小球，按抽取顺序将球上数字分别作为一个三位数的百位、十位与个位数字．
（1）一共能组成多少个不同的三位数？
（2）一共能组成多少个不同的大于500的三位数？
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】计算题；整体思想；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】（1）120．
（2）40．
【分析】（1）根据排列数公式求解．
（2）由题意可知百位为5或6，则个位、十位是剩余5个数字中的两个，再根据分步乘法计数原理求解．
【解答】解：（1）因为抽取的三位数各不同，
所以组成三位数的总数为＝6×5×4＝120．
（2）百位为5或6，则个位、十位是剩余5个数字中的两个，
则有＝40个大于500的三位数．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
考点卡片
1．组合及组合数公式
【知识点的认识】
1．定义
（1）组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．
（2）组合数：从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号表示．
2．组合数公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．
3．组合数的性质：
性质1
性质2．
2．排列、组合及简单计数问题
【知识点的认识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
一．选择题（共8小题）
1．同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（ ）
A．32种 B．128种 C．64种 D．256种
2．已知书架上有4本不同的数学书，3本不同的化学书，从中任取3本书．若数学书，化学书每种都取出至少一本，则不同的取法种数为（ ）
A．60 B．180 C．30 D．90
3．8个人排成一排照相，其中甲乙丙三人中任意两人都不相邻的排法种数是（ ）
A． B．
C． D．
4．将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法有（ ）
A．190种 B．160种 C．120种 D．90种
5．将4名志愿者分别安排到A，B，C三个社区进行社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，每名志愿者只能去一个社区，若志愿者甲必须安排到A社区，不同的安排方法有（ ）
A．6 B．9 C．12 D．36
6．7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（ ）种站排方式．
A．672 B．864 C．936 D．1056
7．某高中安排4名同学（不同姓）到甲、乙、丙3个小区参加垃圾分类宣传活动，若每名同学只去一个小区，每个小区至少安排1名同学，其中张同学不去乙小区，则不同的分配方案种数为（ ）
A．36 B．24 C．48 D．12
8．据典籍《周礼 春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音．如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音节，“羽”不为首音节，可以排成不同音序的种数是（ ）
A．36 B．60 C．72 D．78
二．多选题（共4小题）
（多选）9．某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课，且该天上午总共4节课，下列结论正确的是（ ）
A．若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法
B．若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法
C．若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法
D．若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法
（多选）10．3名男生和3名女生站成一排，则下列结论中正确的有（ ）
A．3名男生必须相邻的排法有144种
B．3名男生互不相邻的排法有72种
C．甲在乙的左边的排法有360种
D．甲、乙中间恰好有2人的排法有144种
（多选）11．4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是（ ）（选项中排列数的计算结果均正确）
A．若3个女生必须相邻，则不同的排法有种
B．若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有种
C．若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有种
D．若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有种
（多选）12．现有3名男生2名女生，在某风景点前站成一排拍合照，则（ ）
A．共有60种方法
B．男生不相邻，共有12种方法
C．女生相邻，共有48种方法
D．女生不站两边，共有36种方法
三．填空题（共5小题）
13．2023年杭州亚运会召开后，4位同学到A，B，C三个体育场馆做志愿者服务活动，每个体育场馆至少一人，每人只能去一个体育场馆，则不同的分配方法总数是 ．
14．学校安排甲乙丙丁4名运动员参加4×100米接力赛，其中甲不跑第一棒，则共有 种不同的接力方式．
15．某研究性学习小组有4名男生和2名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少1名女生，则不同的选法种数为 ．
16．2024年第6届U23亚洲杯将在卡塔尔举行．现将甲、乙，丙、丁四名志愿者分配到3个体育馆参加志愿者活动，每个场馆至少有一名志愿者，共有 种分配方案．（用数字作答）
17．“莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺．”这是清代女诗人吴绛雪的一首回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文数”，如232，251152等，那么在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有 个．
四．解答题（共5小题）
18．某商场在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“禄”“寿”“喜”卡各两张，“财”卡三张．每位顾客从卡箱中随机抽取5张卡片，其中抽到“财”卡获得3分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“禄”“寿”“喜”“财”卡片各一张，则额外获得4分．
（1）求顾客甲最终获得7分的不同的抽法种数；
（2）求顾客乙最终获得11分的不同的抽法种数．
19．某校高二年级开设了《数学建模》《电影赏析》《经典阅读》《英语写作》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的．
（1）求三位同学选择的课程互不相同的概率；
（2）若至少有两位同学选择《数学建模》，则三人共有多少种不同的选课种数？
20．（1）已知，计算：；
（2）解方程：．
21．安排6名教师A，B，C，D，E，F到甲、乙、丙三个场馆做志愿者．
（1）有14个相同的口罩全部发给这6名教师，每名教师至少发两个口罩，共有多少种不同的发放方法？
（2）六名教师站一排照相，求A、B不相邻，且C在D的左边（可以不相邻）的概率？
22．盒子里装有六个大小相同的小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6．现从盒子里随机不放回地抽取3次，每次抽取1个小球，按抽取顺序将球上数字分别作为一个三位数的百位、十位与个位数字．
（1）一共能组成多少个不同的三位数？
（2）一共能组成多少个不同的大于500的三位数？
2023-2024学年下学期高中数学人教新版（2019）高二同步经典题精练之排列组合
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（ ）
A．32种 B．128种 C．64种 D．256种
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【答案】C
【分析】分甲和乙都去和甲和乙都不去两类，利用分类计数原理求解．
【解答】解：若甲、乙都去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有25种去法；
若甲、乙都不去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有25种去法．
故一共有25+25＝64种去法．
故选：C．
【点评】本题考查排列组合的知识，属于基础题．
2．已知书架上有4本不同的数学书，3本不同的化学书，从中任取3本书．若数学书，化学书每种都取出至少一本，则不同的取法种数为（ ）
A．60 B．180 C．30 D．90
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】对应思想；定义法；排列组合；数学运算．
【答案】C
【分析】根据题意，分为1本数学书，2本化学书和2本数学书，1本化学书，两类情况，结合排列组合，即可求解．
【解答】解：由书架上有4本不同的数学书，3本不同的化学书，
从中任取3本书，若数学书，化学书每种都取出至少一本，
可分为两类：若1本数学书，2本化学书，有种；
若2本数学书，1本化学书，有种，
所以不同的取法种数共有12+18＝30种．
故选：C．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
3．8个人排成一排照相，其中甲乙丙三人中任意两人都不相邻的排法种数是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】计算题；方程思想；转化思想；排列组合；数学运算．
【答案】A
【分析】因为要求不相邻，采用插空法来解，先排列另外五人，有种结果，再在排列好的五人的6个空里，排列甲、乙、丙，有种结果，根据分步计数原理相乘得到结果．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①先排出甲、乙、丙三人外的五人，将5人全排列，有种排法，排好后，有6个空位可选，
②再在排列好的五人的6个空位里，任选3个，排列甲、乙、丙三人，有种结果，
则不同的排法数目有种；
故选：A．
【点评】本题考查排列组合及简单计数问题，考查了插空法的应用，属于基础题．
4．将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法有（ ）
A．190种 B．160种 C．120种 D．90种
【考点】组合及组合数公式
【专题】转化思想；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】C
【分析】先在编号为2，3的盒内分别放入1个，2个球，然后再将剩17个小球，利用隔板法分为三堆放入即可．
【解答】解：先在编号为2，3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，
三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，
有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中，
共有＝120种方法．
故选：C．
【点评】本题考查排列数公式、排列组合知识等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．将4名志愿者分别安排到A，B，C三个社区进行社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，每名志愿者只能去一个社区，若志愿者甲必须安排到A社区，不同的安排方法有（ ）
A．6 B．9 C．12 D．36
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】C
【分析】根据A社区的志愿者人数进行分类讨论，然后由分类加法计数原理求解出结果．
【解答】解：①：若A社区仅有志愿者甲，
则剩余3名志愿者需要分成2组并分配到B，C社区，
此时安排的方法数为种；
②：若A社区还有另外一名志愿者，
则先选出这名志愿者有 种方法，
再将剩余2名志愿者分配到B，C社区有 种方法，
根据分步乘法计数原理可知②的安排方法数为种，
所以一共有6+6＝12种安排方法．
故选：C．
【点评】本题考查了分步乘法计数原理及分类加法计数原理，属基础题．
6．7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（ ）种站排方式．
A．672 B．864 C．936 D．1056
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】分类讨论；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】D
【分析】分甲站在每一排的两端和甲不站在每一排的两端这 两种情况解答即可．
【解答】解：当甲站在每一排的两端时，有4种站法，此时乙的位置确定，剩下的人随便排，有 种站排方式；
当甲不站在每一排的两端时，有3种站法，此时乙和甲相邻有两个位置可选，丙和甲不相邻有四个位置可选，剩下的人随便站，有种站排方式，
故总共有480+576＝1056种站排方式．
故选：D．
【点评】本题考查排列组合与计数原理的综合应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
7．某高中安排4名同学（不同姓）到甲、乙、丙3个小区参加垃圾分类宣传活动，若每名同学只去一个小区，每个小区至少安排1名同学，其中张同学不去乙小区，则不同的分配方案种数为（ ）
A．36 B．24 C．48 D．12
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】分类讨论；定义法；排列组合；数学运算．
【答案】B
【分析】4名同学分配到3个小区，则分组情况为2，1，1，利用元素优先法进行求解即可．
【解答】解：4名同学分配到3个小区，每个小区至少1人，则分组情况为2，1，1．
由于张同学不去乙小区，张同学自己去一个小区有＝2种，其余3人分成1人组和2人组，有＝6种，此时共有2×6＝12种；
张同学分配到2人组且该组不去乙小区有＝12种，
则共有12+12＝24种不同的分配方案．
故选：B．
【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用元素优先法进行计算是解决本题的关键，是中档题．
8．据典籍《周礼 春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音．如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音节，“羽”不为首音节，可以排成不同音序的种数是（ ）
A．36 B．60 C．72 D．78
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】分类讨论；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】D
【分析】分”羽”排在末音节与“羽”不排在末音节两类讨论，可求得答案．
【解答】解：①“羽”排在末音节，另外四个自由排列，有＝24种方法；
②“羽”不排在末音节，也不排在首音节，有种方法，“宫”不为末音节，还有三个位置可选，有种方法，另外三个自由排列，有种方法，
由分步乘法计数原理可得，共有 ＝54种方法；
综上，共有24+54＝78种方法．
故选：D．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课，且该天上午总共4节课，下列结论正确的是（ ）
A．若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法
B．若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法
C．若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法
D．若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】转化思想；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】ABC
【分析】选项A将数学排在后三节，再将其余3个科目全排列即可；选项B采用捆绑法进行求解；选项C采用插空法进行求解；选项D根据先排语数英，再插空，可得结果．
【解答】解：对于A，有种排法，故A正确；
对于B，采用捆绑法，有种排法，故B正确；
对于C，采用插空法，有种排法，故C正确；
对于D，先排语文课、数学课、英语，有1种，再在4个空里选一个，有4种排法，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查排列组合的性质的应用，属于基础题．
（多选）10．3名男生和3名女生站成一排，则下列结论中正确的有（ ）
A．3名男生必须相邻的排法有144种
B．3名男生互不相邻的排法有72种
C．甲在乙的左边的排法有360种
D．甲、乙中间恰好有2人的排法有144种
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】ACD
【分析】A：利用捆绑法分析；B：利用插空法分析；C：先考虑6人全排列，然后甲在乙的左边的排法数占一半，由此求解出结果；D：先选2人与甲乙捆绑在一起，然后再看成3个元素全排列．
【解答】解：对于A：将3名男生捆绑在一起看成一个元素，
所以排法有种，
故A正确；
对于B：将3名男生放入到3名女生形成的4个空位中，所以排法有种，
故B错误；
对于C：3名男生和3名女生全排列，排法有种，
其中甲在乙的左边的排法占总数的，
所以有种排法，
故C正确；对于D：先选2人与甲乙一起看成一个元素，再将此一个元素与剩余2人全排列，
所以有排法种，
故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题．
（多选）11．4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是（ ）（选项中排列数的计算结果均正确）
A．若3个女生必须相邻，则不同的排法有种
B．若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有种
C．若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有种
D．若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有种
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】BCD
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法求解．
【解答】解：对于选项A，若3个女生必须相邻，
则不同的排法有＝720种，
即选项A错误；
对于选项B，若3个女生中有且只有2个女生相邻，
则不同的排法有种，
即选项B正确；
对于选项C，若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，
则不同的排法共有种，
即选项C正确；
对于选项D，若3个女生按从左到右的顺序排列，
则不同的排法有种，
即选项D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题．
（多选）12．现有3名男生2名女生，在某风景点前站成一排拍合照，则（ ）
A．共有60种方法
B．男生不相邻，共有12种方法
C．女生相邻，共有48种方法
D．女生不站两边，共有36种方法
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】BCD
【分析】利用排列数公式及其应用对四个选项逐一分析可得答案．
【解答】解：3名男生2名女生，站成一排拍合照，共有＝5×4×3×2×1＝120种方法，A错误；
若男生不相邻，则2名女生形成三个空，3名男生插空，共有 ＝12种方法，B正确；
若女生相邻，则利用捆绑法，将2名女生作为一个整体与另三名男生形成4个元素自由排，共有 ＝48种方法，C正确；
若女生不站两边，共 ＝36种方法，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题的应用，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
13．2023年杭州亚运会召开后，4位同学到A，B，C三个体育场馆做志愿者服务活动，每个体育场馆至少一人，每人只能去一个体育场馆，则不同的分配方法总数是 36种 ．
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】对应思想；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】36种．
【分析】先选2位同学去同一场馆，再进行排序，即可得解．
【解答】解：由题意知，有2位同学要去同一个场馆，
先选2位同学去同一场馆，再进行排序，共有＝36种不同的分配方法总数．
故答案为：36种．
【点评】本题考查排列组合与计数原理的综合应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
14．学校安排甲乙丙丁4名运动员参加4×100米接力赛，其中甲不跑第一棒，则共有 18 种不同的接力方式．
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】18．
【分析】甲先选择，然后乙丙丁再全排列，根据分步乘法计数原理可得结果．
【解答】解：甲先在第二、三、四棒中选一棒，有种选法，乙丙丁三人选择除甲选择之外的三棒，全排列即可，有种选法，
所以一共有种接力方式．
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
15．某研究性学习小组有4名男生和2名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少1名女生，则不同的选法种数为 16 ．
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】16．
【分析】直接利用组合知识分步计算即可．
【解答】解：由已知可得六名同学选三名同学有种方法，而全选男生的有种方法，
所以至少一名女生的方法有20﹣4＝16种方法．
故答案为：16．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，属于基础题．
16．2024年第6届U23亚洲杯将在卡塔尔举行．现将甲、乙，丙、丁四名志愿者分配到3个体育馆参加志愿者活动，每个场馆至少有一名志愿者，共有 36 种分配方案．（用数字作答）
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】对应思想；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】36．
【分析】根据题意，分2步分析，先将4名志愿者分成3组，由组合数公式可得其分组方法数目，第二步，将分好的三组对应3个不同的场馆，由排列数公式可得其对应方法数目，再由分步计数原理计算即可．
【解答】解：根据题意，先将4名志愿者分成3组，有1种分组方法，
即分成1、1、2的三组，有种方法，
再将分好的三组对应3个不同的场馆，有种情况，
则共有6×6＝36种分配方案．
故答案为：36．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查运算求解能力，属于中档题．
17．“莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺．”这是清代女诗人吴绛雪的一首回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文数”，如232，251152等，那么在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有 225 个．
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】分类讨论；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】225．
【分析】根据给定的信息，确定五位正整数中的“回文数”特征，再分别求出各位上的种数，先用乘法原理求出各类种数，再由加法原理即得．
【解答】解：依题意，五位正整数中“回文数”具有：
万位与个位数字相同，且不为0，千位与十位数字相同，
求有且仅有两位数字是偶数的“回文数”的个数有两类办法：
第一类：万位数字为偶数且不为0有4种，千位选一个奇数有5种，
百位选一个奇数有5种，
不同“回文数”的个数为4×5×5＝100个，
第二类：万位数字为奇数有5种，千位选一个偶数有5种，百位选一个奇数有5种，
不同“回文数”的个数为5×5×5＝125，
由分类加法原理得，
在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有：100+125＝225个．
故答案为：225．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查运算求解能力，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
18．某商场在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“禄”“寿”“喜”卡各两张，“财”卡三张．每位顾客从卡箱中随机抽取5张卡片，其中抽到“财”卡获得3分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“禄”“寿”“喜”“财”卡片各一张，则额外获得4分．
（1）求顾客甲最终获得7分的不同的抽法种数；
（2）求顾客乙最终获得11分的不同的抽法种数．
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】对应思想；定义法；排列组合；数学运算．
【答案】（1）162；
（2）76．
【分析】（1）根据排列组合，结合分类和分步计数原理即可求解；
（2）根据排列组合，结合分类和分步计数原理即可求解．
【解答】解：（1）顾客甲最终获得7分，则需抽中1张“财”卡和4张其他卡，且不能抽齐“福”“禄”“寿”“喜”“财”，
则不同的抽法种数为种．
（2）顾客乙最终获得11分的情况有2种：一种是抽中3张“财”卡和2张其他卡，另一种是抽齐“福”“禄”“寿”“喜”“财”卡，
不同的抽法种数为种．
【点评】本题考查组合的应用，考查分类加法计数原理的应用，是中档题．
19．某校高二年级开设了《数学建模》《电影赏析》《经典阅读》《英语写作》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的．
（1）求三位同学选择的课程互不相同的概率；
（2）若至少有两位同学选择《数学建模》，则三人共有多少种不同的选课种数？
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】分类讨论；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】（1）；
（2）10．
【分析】（1）先计算出三位同学选择课程的选法种数以及三位同学选择的课程互不相同的选法种数，利用古典概型的概率公式可求得结果．
（2）分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学建模》；②三位同学都选择《数学建模》，分别计算出两种情况下不同的选课种数，利用分类加法计数原理可得结果．
【解答】解：（1）三位同学选择课程共有43＝64种情况，三位同学选择的课程互不相同共有种情况，
所以三位同学选择的课程互不相同的概率为．
（2）分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学建模》，共有种不同的情况；
②有三位同学选择《数学建模》共有1种情况，
由分类加法计数原理得总共有9+1＝10种不同的选课种数，
所以三人共有不同的选课种数是10．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想及运算能力，属于中档题．
20．（1）已知，计算：；
（2）解方程：．
【考点】组合及组合数公式
【专题】转化思想；转化法；排列组合；数学运算．
【答案】（1）126；
（2）11．
【分析】（1）根据已知条件，结合组合数公式，即可求解；
（2）根据已知条件，结合组合数、排列数公式，即可求解．
【解答】解：（1）因为，所以m+3m﹣2＝6，解得m＝2，
故＝+＝＝＝；
（2），
则＝，即，所以（x﹣3）（x﹣6）＝40，解得x1＝11，x2＝﹣2（舍去），
所以原方程的解为x＝11．
【点评】本题主要考查排列数、组合数公式，属于基础题．
21．安排6名教师A，B，C，D，E，F到甲、乙、丙三个场馆做志愿者．
（1）有14个相同的口罩全部发给这6名教师，每名教师至少发两个口罩，共有多少种不同的发放方法？
（2）六名教师站一排照相，求A、B不相邻，且C在D的左边（可以不相邻）的概率？
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；排列组合；数学运算．
【答案】（1）21；
（2）．
【分析】（1）分两步完成，第一步，每人先发一个口罩，第二步，将剩余的8个口罩发给6人，每人一个，利用相同元素隔板法即可解决问题；
（2）利用排列知识，求出当A，B不相邻，且C在D的左边时的排法数及六名教师站一排时的排法数，再利用古典概率公式即可求出结果．
【解答】解：（1）因口罩全部相同，且每名教师至少发两个口罩，
分两步完成：第一步，每人先发一个口罩，只有1种发放方法，
第二步，将剩余的8个口罩发给6人，每人一个，共有＝21种不同的发放方法，
所以共有21种不同的发放方法．
（2）当A、B不相邻，且C在D的左边时，有种排法，
又六名教师站一排时，有种排法，
记“A，B不相邻，且C在D的左边（可以不相邻）”为事件E，
所以＝．
【点评】本题主要考查排列、组合及简单的计数问题，概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
22．盒子里装有六个大小相同的小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6．现从盒子里随机不放回地抽取3次，每次抽取1个小球，按抽取顺序将球上数字分别作为一个三位数的百位、十位与个位数字．
（1）一共能组成多少个不同的三位数？
（2）一共能组成多少个不同的大于500的三位数？
【考点】排列、组合及简单计数问题
【专题】计算题；整体思想；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】（1）120．
（2）40．
【分析】（1）根据排列数公式求解．
（2）由题意可知百位为5或6，则个位、十位是剩余5个数字中的两个，再根据分步乘法计数原理求解．
【解答】解：（1）因为抽取的三位数各不同，
所以组成三位数的总数为＝6×5×4＝120．
（2）百位为5或6，则个位、十位是剩余5个数字中的两个，
则有＝40个大于500的三位数．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
考点卡片
1．组合及组合数公式
【知识点的认识】
1．定义
（1）组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．
（2）组合数：从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号表示．
2．组合数公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．
3．组合数的性质：
性质1
性质2．
2．排列、组合及简单计数问题
【知识点的认识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．