2024年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校
期中联考高一数学
考试时间：2024年4月15日下午15：00－17：00；试卷满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法法则，再结合虚部的概念即可得到答案．
【详解】由，所以其虚部为．
故选：B．
2. 下列关于平面向量的说法，其中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若且，则
C. 若，则或 D. 若与不共线，则与都是非零向量
【答案】D
【解析】
【分析】通过列举反例，即可逐一推翻A,B,C项，对于D项，可用反证法说明结论正确.
【详解】对于A项，若与是一对相反向量，满足，但，故A项错误；
对于B项，若与一对相反向量，满足且，但，故B项错误；
对于C项，当时，满足，但是不满足或，故C项错误；
对于D项，运用反证法，假设与不都是非零向量，即与中至少有一个是零向量，
则与共线，与题设矛盾，故原命题正确，即D项正确.
故选：D.
3. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的计算公式，即可求解.
【详解】由向量，，可得且，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：C.
4. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求得，再由两角和的余弦公式和倍角公式，化为“齐次式”，代入即可求解.
【详解】因为，可得，
由
.
故选：B.
5. 在中，在边BC上，延长AD到，使得，若（为常数），则PD的长度是（ ）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】设，得到，结合三点共线，得到方程，求得值，即可求解.
【详解】设，则,
因为，所以，
即，
因为三点共线，可得，解得，
所以，因为，所以，
所以的长度为.
故选：B.
6. 若实数x，y满足，，则的最小值为（ ）
A. 2 B. 8 C. 9 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】先把所求式变形，利用常值代换法构造出可以利用基本不等式求解的式子，计算即得.
【详解】由
因，当且仅当时取等号，此时.
由解得，即当，时，的最小值为8.
故选：B.
7. 在中，点E，F分别是线段的中点，点在直线上，若的面积为4，则的最小值是（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用图形将转化成，代入即得，根据的面积为4得，利用进行放缩，由即得最小值.
【详解】
如图，分别过点，作于，于，取中点,连接.
易得，因，，
则，
故①
又的面积为4，因 点E，F分别是线段的中点，易得,
故的面积 ,即得，由图知，,
则由①可得：,当且仅当且时等号成立，
即的最小值是4.
故选：C.
8. 已知定义在上的函数，对任意的且，都有，且函数为奇函数．若锐角的三个内角为，则（ ）
A. B.
C. D. 的符号无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】依题意有图象关于点对称，在上单调递增，锐角中，，则有．
【详解】由题可知，在区间上单调递增，且函数为奇函数，
则，故，
当时，有，即，
又因为图象关于原点对称，则图象关于点对称，
所以，在上单调递增．
，而为锐角三角形，故，则，
所以，即.
故选：A．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线函数为，且经过点，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期 B.
C. 函数在区间上单调递减 D. 函数是奇函数
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意，求得，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意知，某噪声的声波曲线函数为，且经过点，
可得，即，
因为，可得，所以，
对于A中，函数的最小正周期为，所以A正确；
对于B中，因为，所以B不正确；
对于C中，当时，可得，
根据正弦函数的性质，可得在为单调递减函数，所以C正确；
对于D中，由，可得，
此时函数偶函数，所以D不正确.
故选：AC.
10. 已知复数，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D. 若，且，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于B,C,D选项，，可以选设复数的代数形式或者三角形式，利用复数的运算法则和共轭复数的定义运算判断结果；对于A选项，可以考虑举反例说明其错误.
【详解】对于A项，当时，而故A项错误；
对于B项，设其中，
则，则；
而
，故B项正确；
对于C项，设其中，
，则，而，故C项正确；
对于D项，设其中，,依题，不全为零，
则由可得，化简得
，即
因不全为零，不妨设，则有，即,
故得，即，故D项正确.
故选：BCD.
11. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，其中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标，记为，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若对任意的最小值为，则
D. 若对任意的，都有恒成立，则实数
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A：借助向量模长公式计算即可得；对B：借助数量积公式计算即可得；对C：借助向量模长与投影的关系计算即可得；对D：借助模长与数量积的关系，结合三角函数值域计算即可得.
【详解】对A：
，故A正确；
对B：，
即，故B正确；
对C：最小值为可知在方向投影向量的长度为，即，
可得或，故C错误；
对D：两边平方得，
即对，，即，
由于，，
故，解得或，
综上所述，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则__________．
【答案】##0.625
【解析】
【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，即可求解.
【详解】由，平方可得，
所以.
故答案为：.
13. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角_______，若为的内心，且，则__________．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，求得，得到的值，再由三角形内心的性质和向量的线性运算，求得，结合题意，得到，即,进而求得的值，得到答案.
【详解】因为，由正弦定理得，
又因为，
可得，解得，
因为，所以；
如图所示，设，延长交于点，
则，
所以，同理可得，
过点作，
则
又由，所以,
所以，可得，
即，
因为为的外心，设的内切圆的半径为，
可得，
可得，即，
又因为，即，可得，
由正弦定理得,
又因为，可得，因为且，所以，可得，
所以，可得.
故答案为：；.
14. 已知平面向量，，，若存在平面向量，，使得，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量的线性运算，结合模长公式证明，即可得，根据求，结合三点共线求解求解.
【详解】设，，，点在单位圆上，
则，，由，可得：，
作矩形，则．下证：．
设AB，CD交于点，连接OP，因，则，
同理可得：，两式左右分别相加得：
．
即，故．
又，
故的最小值是．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，．
（1）若，求的坐标；
（2）若，求与夹角的余弦值．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）设，代入求值即可；
（2）由，得，利用向量数量积和向量的模，求夹角的余弦.
【小问1详解】
由，设，，，
，或．
【小问2详解】
，，
，，
，．
设与的夹角为，则．
与的夹角的余弦值为．
16. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由余弦定理得到，再根据题干中的关系可以得到，进而得到角的大小；
（2）根据得到，从而确定的值，由得到，由正弦定理得到，从而由面积公式得到的面积．
【小问1详解】
在中，由余弦定理得，又，则，
而，则．
【小问2详解】
因为，所以，所以，从而，
，
由正弦定理，则，
因此.
17. 已知向量，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求函数的解析式；
（2）若，且函数在区间上单调，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，化简得到，结合题意，求得，得到，进而求得函数的解析式；
（2）解法一：根据题意得到，结合或，即可求解；
解法二：由（1）知，求得函数的单调区间为，根据题意，得到，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
由向量，
则
，
因为的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，可得，
所以，所以.
【小问2详解】
解法一：由（1）知，
因为，则，
又因为，可得，所以，
则或，
解得或，所以的取值范围．
解法二：由（1）知，
令，解得，
所以函数的单调区间为，
因为函数在区间上单调，
则满足，可得，
解得，
由于，所以或，
当时；当时，，
所以实数的取值范围.
18. 如图，在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为BC边上一点，已知，，．
（1）若AD平分，求AD的长；
（2）若D为BC边中点，E，F分别为AB边及AC边上一点（含端点）．且，，，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）求角平分线的长度用等面积法，即，用三角形面积公式分别表示三个三角形的面积，由等式关系得到AD与b，c的关系，从而得到AD的长；
（2）根据为BC中点，由平面向量加法法则得到，用基底表示和，得到，结合转化为关于的二次函数，根据和二次函数单调性，得到二次函数的取值范围即为的取值范围.
【小问1详解】
中，，
因此，
即．
【小问2详解】
由为BC中点得，
故
又，在上单调递增；
因此时，；时，．
即．
19. 阅读以下材料并回答问题：
①单位根与本原单位根：在复数域，对于正整数，满足的所有复数称为次单位根，其中，满足对任意小于的正整数，都有，则称这种复数为次本原单位根．例如，时，存在四个4次单位根，，因为，，因此只有两个4次本原单位根；
②分圆多项式：对于正整数，设次本原单位根为，则多项式称为次分圆多项式，记为；例如；
回答以下问题：
（1）直接写出6次单位根，并指出哪些为6次本原单位根（无需证明）；
（2）求出，并计算，由此猜想的结果，（将结果表示为的形式）（猜想无需证明）；
（3）设所有12次本原单位根在复平面上对应的点为，两个4次本原单位根在复平面上对应的点为，复平面上一点所对应的复数满足，求的取值范围．
【答案】（1）6次单位根为，6次本原单位根为和
（2），，猜想
（3）
【解析】
【分析】（1）求出的解，写出6次单位根及6次本原单位根.
（2）依次求出，进而求解，再猜想得出结论.
（3）求出12次单位根，并确定其本原单位根，求出，进而求出的表达式及范围.
【小问1详解】
的解为，
所以6次单位根为，
而，所以6次本原单位根为和．
【小问2详解】
，
又；，，
因此，
猜想．
【小问3详解】
设12次单位根分别为，其中，
则不难发现：为12次本原单位根，和为4次本原单位根，
其余的根分别为1，2，3，6次本原单位根，
因此，
，
又，
又，且，于是，
所以．2024年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校
期中联考高一数学
考试时间：2024年4月15日下午15：00－17：00；试卷满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 复数的虚部是（ ）
A B. C. D.
2. 下列关于平面向量说法，其中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若且，则
C. 若，则或 D. 若与不共线，则与都是非零向量
3. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A B. C. D.
4. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，在边BC上，延长AD到，使得，若（为常数），则PD的长度是（ ）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
6. 若实数x，y满足，，则的最小值为（ ）
A. 2 B. 8 C. 9 D. 12
7. 在中，点E，F分别是线段的中点，点在直线上，若的面积为4，则的最小值是（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
8. 已知定义在上的函数，对任意的且，都有，且函数为奇函数．若锐角的三个内角为，则（ ）
A. B.
C. D. 的符号无法确定
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线函数为，且经过点，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数最小正周期 B.
C. 函数在区间上单调递减 D. 函数是奇函数
10. 已知复数，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D. 若，且，则
11. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，其中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标，记为，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若对任意的最小值为，则
D. 若对任意的，都有恒成立，则实数
三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则__________．
13. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角_______，若为的内心，且，则__________．
14. 已知平面向量，，，若存在平面向量，，使得，则的最小值是__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，．
（1）若，求的坐标；
（2）若，求与夹角的余弦值．
16. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
17. 已知向量，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求函数的解析式；
（2）若，且函数在区间上单调，求的取值范围．
18. 如图，在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为BC边上一点，已知，，．
（1）若AD平分，求AD的长；
（2）若D为BC边中点，E，F分别为AB边及AC边上一点（含端点）．且，，，求的取值范围．
19. 阅读以下材料并回答问题：
①单位根与本原单位根：在复数域，对于正整数，满足的所有复数称为次单位根，其中，满足对任意小于的正整数，都有，则称这种复数为次本原单位根．例如，时，存在四个4次单位根，，因为，，因此只有两个4次本原单位根；
②分圆多项式：对于正整数，设次本原单位根为，则多项式称为次分圆多项式，记为；例如；
回答以下问题：
（1）直接写出6次单位根，并指出哪些为6次本原单位根（无需证明）；
（2）求出，并计算，由此猜想的结果，（将结果表示为的形式）（猜想无需证明）；
（3）设所有12次本原单位根在复平面上对应的点为，两个4次本原单位根在复平面上对应的点为，复平面上一点所对应的复数满足，求的取值范围．
