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第十八章 平行四边形压轴题模拟训练
一、单选题
1．如图，将矩形沿着、、翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．②③④
【答案】B
【分析】根据折叠的性质和矩形的性质分析判断①；通过点为中点，点为中点，设，，利用勾股定理分析求得与的数量关系，从而判断②；利用勾股定理分析判断和、和的数量关系，从而判断③和④．
【详解】解：由折叠性质可得：，，，
，，，，
，，
，
，故①正确；
设，，则，，
，
在中，，
，
解得：，
，故②错误；
在中，设，则，
，
解得：，
，，
在中，，
，，故③④正确；
综上，正确的是①③④．
故选：B．
【点睛】本题考查矩形与折叠及勾股定理，掌握折叠的性质和勾股定理是解题关键．
2．如图，在平行四边形中，是边上的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到,连接，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，先作辅助线，首先根据垂直条件，求出线段ME、DE长度，然后运用勾股定理求出DE的长度，再根据翻折的性质，当折线，与线段CE重合时，线段长度最短，可以求出最小值.
【详解】
如图，连接EC,过点E作EM CD交CD的延长线于点M.
四边形ABCD是平行四边形，
E为AD的中点，
又 ,
根据勾股定理得：
根据翻折的性质，可得,
当折线，与线段CE重合时，线段长度最短，此时= .
【点睛】本题是平行四边形翻折问题，主要考查直角三角形勾股定理，根据题意作出辅助线是解题的关键.
3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
【答案】B
【分析】设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，证得△ABO≌△MBO（ASA），再证明四边形AMCF是平行四边形，，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB+180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∵AM∥CF，
∴∠AOE＝∠BHC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE＝5，
又∵∠AOE＝90°，
∴BO＝OE＝3，
∴，
在△ABO和△MBO中，
，
∴△ABO≌△MBO（ASA），
∴AO＝OM＝4，
∴AM＝8，
∵AD∥BC，AM∥CF，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴CF＝AM＝8，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
4．如图，在中，，．点C关于的对称点为E，连接交于点F，点G为的中点，连接，，则＝（ ）
A． B． C．16 D．32
【答案】B
【分析】如图，取中点，连接，连接交于，作交的延长线于．构建计算即可
【详解】解：如图，取中点，连接，连接交于，作交的延长线于．
，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，，
．
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、轴对称图形、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线没工作直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，矩形中，，，点E为上一个动点，把沿折叠，点D的对应点为，若落在的平分线上时，的长为( )
A．或2 B．或 C．或 D．或2
【答案】B
【分析】连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．
【详解】如图,连接BD′,过D′作MN⊥AB,交AB于点M,CD于点N,作D′P⊥BC交BC于点P
∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，
∴MD′=PD′，
设MD′=x,则PD′=BM=x，
∴AM=AB BM=7 x，
又折叠图形可得AD=AD′=5，
∴x2+(7 x)2=25，解得x=3或4，
即MD′=3或4.
在Rt△END′中,设ED′=a，
①当MD′=3时,AM=7 3=4,D′N=5 3=2，EN=4 a，
∴a2=22+(4 a)2，
解得a=,即DE=，
②当MD′=4时,AM=7 4=3,D′N=5 4=1，EN=3 a，
∴a2=12+(3 a)2，
解得a=,即DE=.
故选B.
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）, 矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理与折叠问题.解决本题的关键是依据题意分别表示Rt△AMD′ 和Rt△END′的三边，利用勾股定理解直角三角形.
6．如图，在正方形ABCD中，，E是AD上的一点，且，F，G是AB，CD上的动点，且，，连接EF，FG，BG，当的值最小时，CG的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先推出AE=FT，可得GF=BE=，推出EF+BG的值最小时，EF+FG+BG的值最小，设CG=BT=x，则EF+BG=，欲求的最小值，相当于在x轴上 寻找一点P（x，0），使得点P到M（0，3），N（2，1）的距离和最小．
【详解】如图，过点G作GT⊥AB于T，设BE交FG于R．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°，
∵GT⊥AB，
∴∠GTB=90°，
∴四边形BCGT是矩形，
∴BC=GT，
∴AB=GT，
∵GF⊥BE，
∴∠BRF=90°，
∵∠ABE+∠BFR=90°，∠TGF+∠BFR=90°，
∴∠ABE=∠TGF，
在△BAE和△GTF中，
，
∴△BAE≌△GTF（ASA），
∴AE=FT=1，
∵AB=3，AE=1，
∴BE===，
∴GF=BE=，
在Rt△FGT中，
FG=是定值，
∴EF+FG的值最小时，EF+FG+BG的值最小，
设CG=BT=x，
则EF+BG==，
欲求的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），使得点P到M（0，3），N（2，1）的距离和最小．
如图，作点M关于x轴的对称点M′（0，-3），连接NM′交x轴于P，连接PM，此时PM+PN的值最小．
∵N（2，1），M′（0，-3），
∴直线M′N的解析式为y=2x-3，
∴P（，0），
∴x=时，的值最小．
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题
7．如图，在平行四边形中，，连接，于点，则的长度为 ．
【答案】4
【分析】如图：延长交的延长线于F，连接,，然后根据平行四边形的性质证明可得，然后再说明可得；再根据等腰三角形的性质、等量代换以及可得即；进而得到即可求得．
【详解】解：如图：延长交的延长线于F，连接,
∵四边形是一行四边形,
∴，
∴，
又∵
∴
∴，
又∵, ,
∴，
∴,
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
又∵
∴
∴．
故答案为4．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
8．如图所示，在菱形中，，，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接，在移动的过程中，面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接，作于H，利用菱形的性质得，则可判断和都是等边三角形，再证明得到，，接着判定为等边三角形，即，然后根据垂线段最短判断的最小值，则即可求得面积的最小值．
【详解】解：连接，作于H，如图，
根据运动的特点可知：，
∵四边形为菱形，，
∴，
而，
∴和都是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
而当E点运动到H点时，的值最小，其最小值为，
∴EF的最小值为，
下面推导正三角形的面积公式：
正的边长为u，过顶点x作，V为垂足，如图，
在正中，有，，
∵，∴，，
∴在中，有，
∴正的面积为：，
即等边的最小面积为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
9．已知正方形的边长为12，点P是边上的一个动点，连接，将沿折叠，使点A落在点上，延长交于E，当点E与的中点F的距离为2时，则此时的长为 ．
【答案】2.4或6
【分析】分两种情况讨论：E点在线段上和E点在线段上.接，先根据折叠的性质和HL得到，.设，则，，求出，把用含有x的式子表示出来.中，根据勾股定理列方程求出x即可.
【详解】解：①如图1，当E点在线段上时，连接,
∵四边形是正方形，
∵折叠后，
又
(HL)
∴
设,则，
在Rt中，
解得
②如图2，E点在线段上时，连接,
设,则，
在Rt中
解得
故答案为：2.4或6
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识并根据勾股定理列方程是解题的关键.
10．如图，在中，，．点M，N分别是边的中点，连接，并取的中点，分别记为点E，F，连接，则的长为 ．
【答案】/
【分析】如图，连接交于点G，连接，过点G作于点H，再根据平行四边形的性质以及中的定义可证可得，即；再根据等腰三角形的性质和勾股定理可得、，最后再根据三角形中位线定理即可解答．
【详解】解：如图，连接交于点G，连接，过点G作于点H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点M，N分别是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
∴，
∵，
∴是的中位线，∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形中位线等知识点，灵活应用三角形中位线的性质是解答本题的关键．
11．如图，为正方形的边上一点，为边延长线上一点，且，点为边上一点，且，的周长为8，，与交于点，连接，则的长为 ．
【答案】
【分析】先通过证明△ADE≌△CDF，得DE＝DF，再根据∠BGE＝2∠BFE得出GE＝GF，然后证明△DEG≌△DFG，得出H是EF的中点；取BF的中点M，连接HM，得出HM＝BE，根据△BEG的周长为8，求出HM和CH，由勾股定理求出CH．
【详解】解：连接DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠DAE＝∠DCF＝90°，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE＝DF，
∵∠BGE＝2∠BFE，∠BGE＝∠BFE＋∠GEF，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴GE＝GF，
在△DEG和△DFG中，
，
∴△DEG≌△DFG（SSS），
∴DE=DF，即DG垂直平分EF，
∴EH＝HF，
∴H为EF的中点，
又∵△BEG的周长为8，
∴BE＋GB＋GE＝8，
∴BE＋GB＋GF＝8，
∴BE＋BC＋CF＝8，
∵CF＝AE，
∴BA＋CB＝8，
∴BC＝BA＝4，
取BF的中点M，连接HM，
∵H为EF的中点，
∴HM为△BEF中位线，
∴HM＝BE，HM∥AB，
∴∠HMC=∠B=90°，
∵AB＝4，AE＝1，
∴BE＝3，
∴HM＝3×=，
∵BF＝BC＋CF＝5，
∴MF＝BF＝，
∴CM＝MF CF＝-1=，
∴CH＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
12．如图，平行四边形中，于点E，，，， 则的长为 ．
【答案】
【分析】设，则，由，可得，，则，，则为的中点，延长，交于点，结合平行四边形的性质可证得，，进而可得，，，则，进而求得，可得，即，可知垂直平分，得，由勾股定理可得，的中点，连接，则，，由三角形中位线的性质可得，由勾股定理可得，即可求解．
【详解】解：设，则，
∵，则，
∴，则，
又∵，
∴，则为的中点，
延长，交于点，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，，，则，
则，
∴，
即：，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
在中，由勾股定理可得：，
取的中点，连接，则，，
∵，则为的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理可得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定及性质，等角对等边，三角形的中位线定理，勾股定理等知识点，添加辅助线构造全等三角形和直角三角形是解决问题的关键．
13．如图，四边形中，，，在边上，且，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】延长至，使得，证明，进而根据已知条件得出，可得，过点作于点，则是矩形，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长至，使得，
∵，
∴
又∵
∴
∴，
∵
设，则，
∵，
∴
∵
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∵
∴
∴，
过点作于点，则是矩形，
∴，
∴，
∵，则
在中，
∴
∴
∵
∴
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
14．已知，如图，已知菱形的边长为6，，点E，F分别在的延长线上，且，G是的中点，连接，则的长是 ．
【答案】
【分析】取的中点，连接，过点作于点，过点作于点，分别求出的长，利用勾股定理即可得出结果．
【详解】解：∵菱形的边长为6，，
∴，
∴，
∴，
取的中点，连接，则：，
∵G是的中点，
∴，
∴，
过点作于点，过点作于点，
则，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，含30度的直角三角形．解题的关键是添加辅助线，构造特殊图形．
三、解答题
15．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图，在中，是边上的中线，那么和是“友好三角形”，并且．
应用：如图，在矩形中，，，点E在上，点F在上，，与交于点O．
（1）求证：和是“友好三角形”；
（2）连接，若和是“友好三角形”，求四边形的面积．
探究：在中，，，点D在线段上，连接，和是“友好三角形”，将沿所在直线翻折，得到，若与重合部分的面积等于面积的，请直接写出的面积．
【答案】应用：（1）见详解（2）48 探究：2或
【分析】应用：（（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得，即可证得和是友好三角形；
（2）和是“友好三角形”，即可得到是的中点，则可以求得、的面积，根据即可求解．
探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形是平行四边形，求出和推出，根据三角形面积公式求出即可；②求出高，再求出△的面积，即可求出的面积．
【详解】应用：（1）证明：四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
和是友好三角形．
（2）解：和是友好三角形，
，，
与是友好三角形，
，，
在与中，
，
，
，
，
；
探究：
解：分为两种情况：如图1所示，
．
，
沿折叠和重合，
，
△与重合部分的面积等于面积的，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
过作于，
，，
，
即和重合，
，
由勾股定理得：，
的面积是，
如图2所示，
．
，
沿折叠和重合，
，
与重合部分的面积等于面积的，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
过作于，
，，
，
；
即的面积是2或．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形性质和判定、全等三角形的判定与性质、三角形的面积的计算、勾股定理、含角的直角三角形的性质；本题难度较大，综合性强，需要进行分类讨论才能得出结果．
16．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，．
(1)如图1，点为线段上一点，若，求点的坐标；
(2)如图2，点在线段上，是直线上的两个动点且，是轴上任意一点，连接，求的最小值；
(3)在（2）的条件下，当取最小值时，为直线上一动点，是平面内任意一点，当四点构成的四边形是以为边的菱形时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为或或或．
【分析】（1）作于，由求得，从而得出，进一步得出结果；
（2）作点关于的对称点，将点沿的方向移动单位至，作于，交于，作于，交于，作于，则最小，最小为：，利用直角三角形的性质和勾股定理，进一步得出结果；
（3）由（2）得：，，从而得出，，根据勾股定理求得，进而得出坐标，进而得出点坐标，同样另外两点．
【详解】（1）解：如图1，
作于，
由得，
，
，
，
；
（2）解：如图2，
作点关于的对称点，将点沿的方向移动单位至，作于，交于，作于，交于，作于，
则最小，最小为：，
，，
，
，，，
，
，，，
∴，
，
，
的最小值为：；
（3）解：如图3，
，，
∴，
由勾股定理得，
由（2）得：，，
，
，
、、、四点构成的四边形是以为边的菱形，
，
，，
，，，，
，，
，，，，
∴点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．
17．如图①所示，是某公园的平面示意图，、、、分别是该公园的四个入口，两条主干道、交于点，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：
(1)若，，，公园的面积为 ；
(2)在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道、、，其中点在上，点在上，且（点与点、不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香，求种植郁金香区域的面积；
(3)若将公园扩大，此时，，，修建（2）中的绿道每千米费用为10万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)万元
【分析】（1）根据平行四边形的性质求得、，作辅助线，从而求得，则可求得答案；
（2）根据已知条件可得，从而的值转化为求的值即可；
（3）由题意可知为定值，从而将沿MN向下平移2km至，连接交于点，此时点N位于处，此时即为取最小值，过M作于点G，先判定四边形和四边形均为平行四边形，再得出是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得的长，则最短的绿道长度可得，从而费用的最小值可求得．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，，
，，
在中，过点作于点，如图：
，，，
，
，
，
；
公园的面积为；
故答案为：．
（2）解：连接、，如图：
在中，，
，
，
，，，
，
，
．
种植郁金香区域的面积为．
（3）解：将沿向下平移至，连接交于点，此时点位于处，
此时即为取最小值，过作于点，如图：
，，
为的中位线，
，
四边形和四边形均为平行四边形，
，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，
由勾股定理得：，
，
、、和的最小值为：，
投入资金的最小值为：万元．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理及等边三角形的判定与性质等知识点在最值问题中的综合运用，本题难度略大．
18．（1）图形分析：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，D，E分别为AB，AC的中点，则CD+DE＝ ．
（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB＝AC＝4，∠CAB＝90°，CD＝6，E为AD中点，求BE的最大值．
（3）实际应用：某市“三河口”地区存在着丰富（足够开发利用）的湿地资源，河务部门准备设计筹建如图③所示的四边形ABCD湿地观光公园，拟设计CD＝8公里，AB＝BC，且∠CBA＝90°，BCAD，据实际情况，∠ADC＜90°，观光入口确定在边CD的中点E处，BE建为绿色观光道路，建设观光道路每公里花费1.5万元．为满足游客的观光体验，河务部门设想让绿色观光道路取得最长，但筹措到的建设资金只有15万元，在满足上述设计条件下，河务部门是否可实现自己的设想？请通过计算说明理由．
【答案】（1）6；（2）3＋2；（3）河务部门可实现自己的设想，理由见解析．
【分析】（1）由三角形中位线定理和直角三角形的性质可求CD＝4，DE＝2，即可求解；
（2）由勾股定理可求BH的长，由三角形中位线定理可求EH的长，当点E，点H，点B三点共线时，BE有最大值，即可求解．
（3）先证四边形ABCM是正方形，可得AB＝BC＝CM＝AM，∠BCM＝90°，由“ASA”可证△BCN≌△MCD，可得CN＝CD，可求BE的最大值，即可求解．
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝8，
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴CD＝AB＝4，DE＝BC＝2，
∴CD＋DE＝6，
故答案为：6；
（2）如图，取AC的中点H，连接EH，BH，
∵点H是AC的中点，
∴AH＝2，
∴，
∵点H是AC的中点，点E是AD的中点，
∴EH＝CD＝3，
∴当点E，点H，点B三点共线时，BE有最大值为3＋2；
（3）河务部门可实现自己的设想，理由如下：
如图，过点C作CM⊥AD于M，CN⊥CD交AB于N，取CN的中点P，连接BP，PE，DN，
∵BCAD，∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵CM⊥AD，
∴∠ABC＝∠BAD＝∠CMA＝90°，
∴四边形ABCM是矩形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCM是正方形，
∴AB＝BC＝CM＝AM，∠BCM＝90°，
∵CN⊥CD，
∴∠NCD＝90°＝∠BCM，
∴∠BCN＝∠DCM，
又∵∠ABC＝∠CMD＝90°，
∴△BCN≌△MCD（ASA），
∴CN＝CD＝8（公里），
又∵∠NCD＝90°，
∴DN＝（公里），
∵点P是CN的中点，点E是CD的中点，∠ABC＝90°，
∴PE＝DN＝4（公里），BP＝CN＝4（公里），
∴当点P，点B，点E三点共线时，BE有最大值为（4＋4）公里，
∵1.5×（4＋4）＜15，
∴河务部门可实现自己的设想．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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第十八章 平行四边形压轴题模拟训练
一、单选题
1．如图，将矩形沿着、、翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．②③④
2．如图，在平行四边形中，是边上的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到,连接，则的最小值为( )
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
4．如图，在中，，．点C关于的对称点为E，连接交于点F，点G为的中点，连接，，则＝（ ）
A． B． C．16 D．32
5．如图，矩形中，，，点E为上一个动点，把沿折叠，点D的对应点为，若落在的平分线上时，的长为( )
A．或2 B．或 C．或 D．或2
6．如图，在正方形ABCD中，，E是AD上的一点，且，F，G是AB，CD上的动点，且，，连接EF，FG，BG，当的值最小时，CG的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，在平行四边形中，，连接，于点，则的长度为 ．
8．如图所示，在菱形中，，，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接，在移动的过程中，面积的最小值为 ．
9．已知正方形的边长为12，点P是边上的一个动点，连接，将沿折叠，使点A落在点上，延长交于E，当点E与的中点F的距离为2时，则此时的长为 ．
10．如图，在中，，．点M，N分别是边的中点，连接，并取的中点，分别记为点E，F，连接，则的长为 ．
11．如图，为正方形的边上一点，为边延长线上一点，且，点为边上一点，且，的周长为8，，与交于点，连接，则的长为 ．
12．如图，平行四边形中，于点E，，，， 则的长为 ．
13．如图，四边形中，，，在边上，且，若，，则的长为 ．
14．已知，如图，已知菱形的边长为6，，点E，F分别在的延长线上，且，G是的中点，连接，则的长是 ．
三、解答题
15．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图，在中，是边上的中线，那么和是“友好三角形”，并且．
应用：如图，在矩形中，，，点E在上，点F在上，，与交于点O．
（1）求证：和是“友好三角形”；
（2）连接，若和是“友好三角形”，求四边形的面积．
探究：在中，，，点D在线段上，连接，和是“友好三角形”，将沿所在直线翻折，得到，若与重合部分的面积等于面积的，请直接写出的面积．
16．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，．
(1)如图1，点为线段上一点，若，求点的坐标；
(2)如图2，点在线段上，是直线上的两个动点且，是轴上任意一点，连接，求的最小值；
(3)在（2）的条件下，当取最小值时，为直线上一动点，是平面内任意一点，当四点构成的四边形是以为边的菱形时，请直接写出点的坐标．
17．如图①所示，是某公园的平面示意图，、、、分别是该公园的四个入口，两条主干道、交于点，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：
(1)若，，，公园的面积为 ；
(2)在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道、、，其中点在上，点在上，且（点与点、不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香，求种植郁金香区域的面积；
(3)若将公园扩大，此时，，，修建（2）中的绿道每千米费用为10万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值．
18．（1）图形分析：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，D，E分别为AB，AC的中点，则CD+DE＝ ．
（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB＝AC＝4，∠CAB＝90°，CD＝6，E为AD中点，求BE的最大值．
（3）实际应用：某市“三河口”地区存在着丰富（足够开发利用）的湿地资源，河务部门准备设计筹建如图③所示的四边形ABCD湿地观光公园，拟设计CD＝8公里，AB＝BC，且∠CBA＝90°，BCAD，据实际情况，∠ADC＜90°，观光入口确定在边CD的中点E处，BE建为绿色观光道路，建设观光道路每公里花费1.5万元．为满足游客的观光体验，河务部门设想让绿色观光道路取得最长，但筹措到的建设资金只有15万元，在满足上述设计条件下，河务部门是否可实现自己的设想？请通过计算说明理由．
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