19.2.1 正比例函数的概念
导学案
一、教学目标：
1.理解正比例函数的概念；
2.会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题.
二、教学重、难点：
重点：正确理解正比例函数的概念.
难点：根据己知条件写出正比例函数解析式.
三、教学过程：
知识精讲
思考：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.
(1)圆的周长 l 随半径 r 的变化而变化；________.
(2)铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量 m(单位:g)随它的体积 V(单位:cm3)变化而变化；________.
(3)每本练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h(单位:cm)随这些练习本的本数 n 的变化而变化；________.
(4)冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度 T(单位:℃)随冷冻时间 t(单位:min)的变化而变化.________.
认真观察以上出现的四个函数有什么共同特点？
正如函数 y=300t 一样，上面这些函数都是常数与自变量的积的形式.
问题1：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题：
(1)乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时(结果保留小数点后一位)？
(2)京沪高铁列车的行程 y(单位：km)与运行时间 t(单位：h)之间有何数量关系？
(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已 经过了距离始发站1100km的南京南站？
典例解析
例1.判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？
（1）y=3x; （2）y=2x+1; （3）y=-
（4）y=（5）y=πx； （6）y=-x.
【针对练习】下列式子，哪些y是x的正比例函数？如果是，请你指出正比例系数k的值．
(1)y＝－0.1x； (2)y ＝(3)y＝2x2；
(4)y2＝4x (5)y＝－4x＋3； (6)y＝2（x－x2 ）＋2x2.
例2.已知，当为何值时，是的正比例函数？
问题2.已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15L．所使用的汽油为5元/ L ．
（1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程 x（km）之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数；
（2）计算该汽车行驶220 km所需油费是多少？
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
四、课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
五、总结反思,拓展升华（优秀的人往往都在默默地努力）19.2.1 正比例函数的概念
教学设计
一、教学目标：
1.理解正比例函数的概念；
2.会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题.
二、教学重、难点：
重点：正确理解正比例函数的概念.
难点：根据己知条件写出正比例函数解析式.
三、教学过程：
知识精讲
思考：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.
(1)圆的周长 l 随半径 r 的变化而变化；________.
(2)铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量 m(单位:g)随它的体积 V(单位:cm3)变化而变化；________.
(3)每本练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h(单位:cm)随这些练习本的本数 n 的变化而变化；________.
(4)冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度 T(单位:℃)随冷冻时间 t(单位:min)的变化而变化.________.
认真观察以上出现的四个函数有什么共同特点？
(1) l=2πr (2) m=7.8V (3) h=0.5n (4) T=-2t
正如函数 y=300t 一样，上面这些函数都是常数与自变量的积的形式.
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：(1)k是常数，且k≠0；(2)自变量x的次数是1；(3)自变量x的取值范围是一切实数；(4)y=kx，则称y与x成正比例；反之，若y与x成正比例，则可设y=kx.
问题1：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题：
(1)乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时(结果保留小数点后一位)？
(2)京沪高铁列车的行程 y(单位：km)与运行时间 t(单位：h)之间有何数量关系？
(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已 经过了距离始发站1100km的南京南站？
解：(1)京沪高铁列车全程运行时间约需1318÷300≈4.4(h)
(2)京沪高铁列车的行程 y是运行时间 t 的函数，函数解析式为：y=300t (0≤t≤4.4)
(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h的行程，是当 t =2.5时函数 y=300t 的值，即
y=300×2.5=750(km)这时列车尚未到达距始发站1100km的南京南站.
典例解析
例1.判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？
（1）y=3x; （2）y=2x+1; （3）y=- （4）y=（5）y=πx； （6）y=-x.
解：（1）是正比例函数，比例系数为3；
（2）不是正比例函数；
（3）是正比例函数，比例系数为-；
（4）不是正比例函数；
（5）是正比例函数，比例系数为π；
（6）是正比例函数，比例系数为-；
【针对练习】下列式子，哪些y是x的正比例函数？如果是，请你指出正比例系数k的值．
(1)y＝－0.1x； (2)y ＝(3)y＝2x2； (4)y2＝4x
(5)y＝－4x＋3； (6)y＝2（x－x2 ）＋2x2.
解：(1)是正比例函数，正比例系数是-0.1
(2)是正比例函数，正比例系数是
(3)不是正比例函数
(4)不是正比例函数
(5)不是正比例函数
(6)是正比例函数，正比例系数是2
例2.已知，当为何值时，是的正比例函数？
解：由题意得，，
解得
∴当时，是的一次函数．
【针对练习】若是关于的正比例函数，求该正比例函数的解析式．
解：∵是关于的正比例函数，
∴，
解得．
∴该正比例函数的解析式为．
问题2.已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15L．所使用的汽油为5元/ L ．
（1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程 x（km）之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数；
（2）计算该汽车行驶220 km所需油费是多少？
解：（1）y=5×15x÷100，
即 y=x(x≥0)，y是x的正比例函数.
（2）当x=220时，
y=×220=165
答：该汽车行驶220 km所需油费是165元．
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
四、课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
五、总结反思,拓展升华（优秀的人往往都在默默地努力）
六、课堂板书19.2.1 正比例函数
精准作业
课前诊断
下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.
(1)圆的周长 l 随半径 r 的变化而变化；________.
(2)铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量 m(单位:g)随它的体积 V(单位:cm3)变化而变化；________.
(3)每本练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h(单位:cm)随这些练习本的本数 n 的变化而变化；________.
(4)冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度 T(单位:℃)随冷冻时间 t(单位:min)的变化而变化.________.
必做题
1.（1） 比例系数为-3的正比例函数的解析式是________.
（2）如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k必须满足________.
（3）如果y=kxk-1，是y关于x的正比例函数，则k =____.
（4）如果y=3x+k-4， 是y关于x的正比例函数，则k=_____.
2. 已知y与x+2成正比例，当x=4时， y=12.
(1)写出y与x之间的函数解析式;
(2)求当x=5时，y的值;
(3)求当y=36时，x的值.
思考题
1. 如图，△ABC的边AB=8cm， 当AB边上的高从小到大变化时，△ABC的面积也随之变化.
(1)设AB边上的高为h (cm)，请写出△ABC的面积S (cm2)与高h(cm)的关系式和h的取值范围;
(2)用表格表示当h由5cm变到15cm时(每次增加2cm)，S的对应值;
(3)当h每增加2cm时，S如何变化
参考答案
课前诊断
(1) l=2πr (2) m=7.8V (3) h=0.5n (4) T=-2t
必做题
解：（1）y=3x
k≠1
（3）2
（4）4
2. 解:(1)设y=k (x+2)
∵当x=4时，y=12
∴k×(4+2)=12， 解得k=2
∴y=2 (x+2)=2x+4
(2)当x=5时，y=2×5+4=14
(3)当y= 36时， 2x+4=36， 解得x=16
思考题
1. 解: (1)S= · AB · h=×8 · h=4h
即S与h之间的关系式是S=4h(h>0)
解: (2)列表格如下:
(3)由(2)可看出，当h每增加2cm时，S增加8cm2.(共15张PPT)
人教版八年级下册
19.2.1 正比例函数
1.理解正比例函数的概念；
2.会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题.（重点、难点）
学习目标
下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.
(1)圆的周长 l 随半径 r 的变化而变化；________.
(2)铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量 m(单位:g)随它的体积 V(单位:cm3)变化而变化；________.
(3)每本练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h(单位:cm)随这些练习本的本数 n 的变化而变化；________.
(4)冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度 T(单位:℃)随冷冻时间 t(单位:min)的变化而变化.________.
l=2πr
m=7.8V
h=0.5n
T=-2t
问题2 认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是函数、常量和自变量．
这些函数解析式有什么共同点？
2，π
r
l
7.8
V
m
h
T
t
0.5
-2
n
函数=常数×自变量
y
k
x
＝
这些函数解析式都是常数与自变量的积的形式！
新知探究一
正比例函数的概念
新知探究一
正比例的概念
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
正比例函数的概念
为什么
强调 k ≠ 0？
注: 正比例函数的结构特征
①等号右边是一次单项式，比例系数k≠0
②两个变量x、y的指数都是1
探究新知
问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题：
解：乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，需要的时间大约为：
(1)乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时(结果保留小数点后一位)？
1318÷300≈4.4 (h)
(2)京沪高铁列车的行程 y(单位：km )与运行时间 t(单位：k )之间有何数量关系？
y=300t(0≤t≤4.4)
(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已经过了距始发站1100km的南京南站？
300×2.5=750 (km)
所以京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，还没经过南京南站.
因为750<1100，
例1.判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？
是，3
不是
是，π
不是
是，
是，
下列式子，哪些y是x的正比例函数？如果是，请你指出正比例系数k的值．
(1)y＝－0.1x； (2)y ＝(3)y＝2x2； (4)y2＝4x
(5)y＝－4x＋3； (6)y＝2（x－x2 ）＋2x2.
解：(1)是正比例函数，正比例系数是-0.1
(2)是正比例函数，正比例系数是
(3)不是正比例函数
(4)不是正比例函数
(5)不是正比例函数
(6)是正比例函数，正比例系数是2
2.(1)若 是正比例函数，则m= ；
(2)若 是正比例函数，则m= ；
-2
-1
解 ： m-2≠0，
|m|-1=1，
∴ m=-2.
解： m-1≠0，
m2-1=0，
∴ m=-1.
巩固练习一
新知探究二
解: (1)设正比例函数解析式是 y=kx，
把 x =－4， y =2 代入上式，得－4k=2，
∴所求的正比例函数解析式是 y= ；
(2)当 x=6 时， y = -3.
问题3：若正比例函数的自变量x等于－4时，函数y的值等于2.
(1)求正比例函数的解析式；
(2)求当x=6时函数y的值.
设
代
求
写
待定系数法
解得 k= ，
求正比例函数的解析式
1.已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15L．所使用的汽油为5元/ L ．
(1) 写出汽车行驶途中所耗油费y(元)与行程 x(km)之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数；
(2) 计算该汽车行驶220 km所需油费是多少？
解: (1)
(2) 当x=220时
答：该汽车行驶220 km所需油费是165元．
，y是x的正比例函数.
新知探究三
正比例函数的实际应用
课堂总结
见精准作业单
作业布置
谢谢观看
