山东省淄博市临淄区2023—2024 学年度第二学期期中质量检测初四数学试题(图片版含答案)

2023—2024 学年度第二学期期中质量检测
初 四 数 学 试 题
本试卷共 8 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟．考试结束后。
注意事项：
1．答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写
在答题卡和试卷规定位置。
2． 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．非选择题必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题
目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案。严禁使用涂改液、胶带
纸、修正带修改。
4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记。
5．评分以答题卡上的答案为依据。不按以上要求作答的答案无效。
一、 选择题（本题共 10 小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确
的选项填在下面的表中．每小题 4 分， 满分 40 分，错选、不选、多选，均记 0 分．）
1. 某体育场有 10000 个座位，10000 用科学记数法表示为
A．1×104 B． 0.1×105 C．10×104 D．10×103
2．下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
下列运算正确的是 (第 2 题图） 3.
A．a a2＝a3 B．3a－a＝3 C．a4÷a3＝a2 D．（a3）2＝a5
4. 一组数据 3，3，4，6，8，9 的中位数是
A．4 B．5 C．5.5 D．6
x 3 0
5. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是
2x 4 0
A． B．
C． D．
6．如图，直线 a∥b，若∠1＝24°，∠A＝46°，则∠2 的度数为
A．70° B．46° C．40° D．30° (第 6 题图）
初四数学第 1 页（共 8 页）
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k
7. 设点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）是反比例函数 y 图象上的两点，当 x1＜x2＜0 时，
x
y1＞y2，则一次函数 y＝－2x+k 的图象不经过的象限是
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8.甲、乙两人沿着总长度为 10km 的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的 1.2 倍，甲比乙
提前 12 分钟走完全程．设乙的速度为 x km/h，则下列方程中正确的是
10 10 10 10 10 10 10 10
A． 12 B． 0.2 C． 12 D． 0.2
x 1.2x 1.2x x 1.2x x x 1.2x
9．如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 MN，若 AB＝2，BC＝4，
那么线段 MN 的长为
2 5 4 5
A． B． 5 C． D． 2 5
5 5
(第 9 题图） (第 10 题图）
10．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC 为直径，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 E，
点 F 在 BA 的延长线上，AF＝BC. 有如下五个结论：①AD＝CD；②△ABE∽△DBC；
1
③AE×CE＝BE×DE；④AB+BC＝ 2 BD；⑤四边形 ABCD 的面积为 AD2 ，则上列说法
2
中正确的个数为
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
二、填空题（每小题 4分，共 20分）
11. 点 P（－3，3）关于 y 轴对称的点 P′的坐标是 .
12. 因式分解：x3－x2－12x＝ .
13. 如图，按照程序计算，若输出 y 的值是 1，
则输入 x 的值是 ．
(第 13 题图）
初四数学第 2 页 （共 8 页）
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14. 若实数 m，n 分别满足m2 2023m 2024 0 ， n2 2023n 2024 0且 m≠n，则
1 1
的值为 ．
m n
15. 如图，小明同学在观察图案中“◎”“★”的排列方式时，通过研究每个图案中它们
数量的规律，发现第 n 个图案中“★”的个数是“◎”的个数的 2 倍，则 n 的值为
(第 15 题图）
三、解答题（第 16，17，18，19 题每题 10 分；第 20，21 题每题 12 分，第 22，23 题每题 13
分；满分 90 分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本题满分 10 分）
（1）先化简，再求值：(2a－1)(a－1)－(a2－3a) ，其中 a 1 2 ．
4x y 3
（2）解方程组：
2x 5y 3
初四数学第 3 页 （共 8 页）
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17.（本题满分 10 分）
网络技术的发展对学生学习方式产生巨大的影响，某校为了解学生每周课余利用网络
资源进行自主学习的时间，在本校随机抽取若干名学生进行问卷调查，现将调查结果绘制
成如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题.
（1）表中的 n＝ ，扇形统计图中 B 组对应的圆心角为 °；
（2）请补全频数分布直方图；
组别 学习时间 x（h） 频数（人数）
（3）该校准备召开利用网络资源进
A 0＜x≤1 8
行自主学习的交流会，计划在 E 组学生中
B 1＜x≤2 24
随机选出两人进行经验介绍，已知 E 组的
C 2＜x≤3 32
四名学生中，七、八年级各有 1 人，九年
D 3＜x≤4 n
级有 2 人，请用画树状图法或列表法求抽
E 4 小时以上 4
取的两名学生都来自九年级的概率．
(第 17 题图）
18.（本题满分 10 分）
根据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，现规定在以下情境中的速度不
得超过 15m/s，在一条笔直公路 BD 的上方 A 处有一探测仪，如平面几何图，AD＝24m，
∠D＝90°，现探测到一辆轿车从 B 点匀速向 D 点行驶，测得∠ABD＝31°，2 秒后到达 C
点，测得∠ACD＝50°．
（1）求 BC 的距离．（结果精确到 1m）
（2）通过计算，判断此轿车是否超速．
(第 18 题图）
初四数学第 4 页（共 8 页）
{#{QQABDBQSU4wgggiwAkAJIaIAACRBg5CrAAQQ1kmCCUEuCQkkIAGCjJCACoEIoAGQAAAHAuMAowAjyAJBFSAABFIA=B}A#A} =}#}
19.（本题满分10分）
m
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y 的图象与一次函数 y＝k(x－2)的图象
x
交于 A，B 两点，其中 A 点坐标为（3，2）.
（1）求反比例函数与一次函数的解析式及 B 点坐标；
m
（2）根据图象直接写出不等式 ＞k(x－2)的解集；
x
（3）若点 C 在 y 轴上，且满足△ABC 的面积为 10，求点
C 的坐标．
(第 19 题图）
20．（本题满分 12 分）
如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是直径，DO⊥BC，延长 DO 到点 E，使得∠B＝∠E，
连接 AD，AE，OA＝2， OE＝4．
（1）求证：AE 是⊙O 的切线；
（2）求 sin CAD ．
(第 20 题图）
初四数学第 5 页（共 8 页）
{#{QQABBDQSU4wgggiwAkAJIaIAACRBg5CrAAQQ1kmCCUEuCQkkIAGCjJCACoEIoAGQAAAHAuMAowAjyAJBFSAABFIA=B}A#A} =}#}
21．（本题满分 12 分）
如图，在以 O 为圆心，1 为半径的四分之一圆弧组成的扇形中，点 P 在弧 AB 上运动
（不与端点 A，B 重合），连接 PO，作 PQ 垂直于半径 OA，垂足为 Q，设∠POA＝∠α．
（1）设 PQ 的长度为 y，y 是角 α的函数吗？请说明理由；
（2）若 Rt△POQ 的面积为 S，请回答下列问题：
①当点 P 在弧 AB 上运动时，随着角 α的逐渐变大，S 的变化规律为
（横线处填“逐渐变大”“逐渐变小”“先变大再变小”“先变小再变大”）；
②求面积 S 关于角 α的表达式，并写出角 α的取值范围；
③当 S 取最大值时，请直接写出角 α的值．
(第 21 题图）
初四数学第 6 页（共 8 页）
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22.（本题满分 13 分）
如图，在边长为 6 的菱形 ABCD 中，∠BCD＝60°，连接 BD，点 E，F 分别是边 AB，
BC 上的动点，且 AE＝BF，连接 DE，DF，EF.
（1）如图①，当点 E 是边 AB 的中点时，求∠EDF 的度数；
（2）如图②，当点 E 是边 AB 上任意一点时，∠EDF 的度数是否发生改变？若不改
变，请证明；若发生改变，请说明理由；
3
（3）若点 P 是线段 BD 上的一个动点，连接 PF，求 PF+ DP 的最小值.
2
(第 22 题图）
初四数学第 7 页（共 8 页）
{#{QQABBDQSU4wgggiwAkAJIaIAACRBg5CrAAQQ1kmCCUEuCQkkIAGCjJCACoEIoAGQAAAHAuMAowAjyAJBFSAABFIA=B}A#A} =}#}
23.（本题满分 13 分）
已知抛物线 y＝ax2+bx－3（a≠0）与 x 轴交于点 A（－1，0），点 B（3，0），与 y 轴
交于点 C.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，若直线 BC 下方的抛物线上有一动点 M，过点 M 作 y 轴平行线交 BC 于
N，过点 M 作 BC 的垂线，垂足为 H，求△HMN 周长的最大值；
（3）若点 P 在抛物线的对称轴上，点 Q 在 x 轴上，是否存在以 B，C，P，Q 为顶点
的四边形为平行四边形，若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）将抛物线向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位，得到一个新的抛物线，问在
y 轴正半轴上是否存在一点 F，使得当经过点 F 的任意一条直线与新抛物线交于 S，T 两点
1 1
时，总有 为定值？若存在，求出点 F 坐标及定值，若不存在，请说明理由．
FS 2 FT 2
备用图 1 备用图 2
(第 23 题图）
初四数学第 8 页 （共 8 页）
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2023—2024 学年度第二学期期中质量检测
初四数学试题参考答案
友情提示： 解题方法只要正确，可参照得分.
一、选择题（本题共 10 小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的
选项填在下面的表中．每小题 4 分，满分 40 分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记
0 分．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A B D A C D B C
二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
3 2023
11. （3，3）； 12. x（x－4）（x+3）； 13. ； 14. ； 15. 11．
4 2024
15 题解析：∵第 n 个图案中“◎”的个数为 3n，
n(n 1)
第 n 个图案中“★”的个数为 ，
2
n(n 1)
∴由题意得： ＝2×3n ，解得：n＝11 .
2
三、解答题（第 16，17，18，19 题每题 10 分；第 20，21 题每题 12 分，第 22，23 题每题 13
分；满分 90 分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本题满分 10 分）
解：（1）(2a－1)(a－1)－(a2－3a)
＝2a2－3a+1－a2+3a
＝a2+1 …….….3 分
∵ a 1 2
∴原式 a2 1 （1 2）2 1 4 2 2 …….….5 分
4x y 3①
（2）
2x 5y 3②
由①得： y 4x 3③，
把③代入②得：2x 5 4x 3 3，
解得： x 1， …….….8 分
初四数学答案第 1 页 （共 8 页）
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把 x 1代入③得 y 4 1 3 1，
x 1
∴方程组的解为 …….….10 分
y 1
17.（本题满分 10 分）
解：（1）8÷10%＝80，n＝15%×80＝12， …….….2 分
24
B 组对应的圆心角＝ ×360°＝108°， …….….4 分
80
（2）如图所示：
(第 17 题图）
…….….6 分
（3）画树状图为：
…….….9 分
共 12 种可能，抽取的两名学生都来自九年级的有 2 种可能，
∴ 2 1P（两个学生都是九年级） ，
12 6
答：抽取的两名学生都来自九年级的概率为 1 ．…….….10 分
6
18.（本题满分 10 分）
解：（1）∵在 Rt△ABD 中，AD＝24m，∠B＝31°，
AD 24
∴tan31°＝ ，即 BD＝ ＝40m， …….….3 分
BD 0.6
∵在 Rt△ACD 中，AD＝24m，∠ACD＝50°，
AD 24
∴tan50°＝ ，即 CD＝ ＝20m， …….….6 分
CD 1.2
初四数学答案第 2 页 （共 8 页）
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∴BC＝BD－CD＝40－20＝20m，
则 BC 的距离为 20m； …….….7 分
（2）根据题意得：20÷2＝10m/s＜15m/s，
∴此轿车没有超速． …….….10 分
19.（本题满分 10 分）
m
解：（1）∵点 A（3，2）在反比例函数 y ，和一次函数 y＝k(x－2)上；
x
m
∴ 2 ，2＝k(3－2)，解得 m＝6，k＝2；
3
6
∴反比例函数的解析式为 y＝ ， …….….1 分
x
∴一次函数的解析式为 y＝2x－4； …….….2 分
∵点 B 是一次函数与反比例函数的另一个交点，
6
∴ ＝2x－4，解得 x1＝3，x2＝－1；
x
∴B 点的坐标为（－1，－6）； …….….3 分
（2）x＜－1 或 0＜x＜3; …….….5 分 (第 19 题图）
（3）设 y＝2x－4 与 y 轴的交点为 M，则点 M 的坐标为（0，－4），
设 C 点的坐标为（0，yc），
1
由题意知 ×3×|yc－(－4)|+ ×1×|yc－(－4)|＝10， …….….7 分
2
解得|yc+4|＝5，
当 yc+4≥0 时，yc+4＝5，解得 yc＝1，
当 yc+4≤0 时，yc+4＝－5，解得 yc＝－9，
∴点 C 的坐标为（0，1）或（0，－9）． …….….10 分
20．（本题满分 12 分）
解：（1）∵在△ODB 和△OAE 中
B E ， DOB AOE ，
∴△ODB ∽△OAE， …….….2 分
∴ OAE ODB，
∵OD⊥BC，
∴ ODB 90 ，
∴ OAE 90
∴AE 是⊙O 的切线； …….….4 分
（2）由第（1）问知△ODB ∽△OAE， (第 20 题图）
初四数学答案第 3 页 （共 8 页）
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OD OB OD 2
∴ ，即 ，
OA OE 2 4
∴OD＝1， …….….6 分
在 Rt△ODB 中，由勾股定理得：OD2 DB2 OB2 ，
∴ DB OB2 OD2 22 12 3 ．
∵ OD⊥BC，OD 经过⊙O 的圆心，
∴CD DB 3 ， …….….9 分
∵O，D 分别是 AB，BC 的中点，
∴AC＝2OD＝2，
2
∴在 Rt△ACD 中， AD AC2 CD2 22 3 7 ，…….….11 分
CD 3 21
∴ sin CAD ． …….….12 分
AD 7 7
21．（本题满分 12 分）
解：（1）是．
∵对于变量 α 的每一个值，PQ 的长度 y 都有唯一确定的值与之对应，
∴y 是 α 的函数； …….….3 分
（2）①先变大再变小 …….….5 分
②在 Rt△POQ 中，
∵OQ＝OP cosα＝cosα ， PQ＝OP sinα＝sinα ；
1 1
∴S＝ OQ PQ＝ cos sin ； …….….8 分
2 2
0°＜∠α＜90°； …….….10 分 (第 21 题图）
③当 S 取最大值时，∠α＝45°． …….….12 分
理由：设点 C 为 OP 的中点，连结 QC，过点 Q 作 OP 的垂线，垂足为 H，连结
QH．
∵点 C 为 OP 的中点，PQ⊥OQ
∴OC＝CQ
1 1
∵S＝ PO HQ≤ PO CQ
2 2
∴当点 P 运动到弧 AB 的中点，使得 HQ 与 CQ 重合时，S 的值最大
此时，HQ＝HO，HQ⊥OH，
∴△OHQ 为等腰直角三角形。
初四数学答案第 4 页 （共 8 页）
{#{QQABDBQSU4wgggiwAkAJIaIAACRBg5CrAAQQ1kmCCUEuCQkkIAGCjJCACoEIoAGQAAAHAuMAowAjyAJBFSAABFIA=B}A#A} =}#}
∴∠α＝45°．
22.（本题满分 13 分）
解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，边长为 6，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6, ∠BCD＝∠BAD＝60°,
∴△ABD，△BCD 是等边三角形， …….….2 分
∵点 E 是边 AB 的中点，AE＝BF，
∴点 F 是边 BC 的中点，
∴∠ADE＝∠BDE＝∠BDF＝∠CDF＝30°，
∴∠EDF＝∠BDE+∠BDF＝60°； …….….4 分
（2）∠EDF 的度数不改变，
证明：△ABD，△BCD 是等边三角形，
∴AD＝BD，∠DAB＝∠DBC＝60°，
∵AE＝BF，
∴△ADE≌△BDF（SAS）， …….….6 分
∴∠ADE＝∠BDF，
∴∠EDF＝∠ADB＝60°； …….….8 分
（3）如图，过点 P 作 PG⊥AD 于点 G，连接 PF，过点 F 作 FG′⊥AD 于点 G′，交 BD 于
点 P′，
∵∠ADB＝60°，
3
∴GP＝DP sin60°＝ DP，
2
3
∴PF+ DP＝ PF+GP， …….….10 分
2
∴当点 F，P，G 三点共线，且 FG⊥AD 时，PF+GP 有最小值，最小值为 FG′的长，
过点 D 作 DH⊥BC 于点 H，
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴DH＝ FG′，
3
∴PF+ DP 的最小值即为 DH 的长，
2
∵DH⊥BC，△BDC 是等边三角形，
∴DH＝ CD sin60°＝ 3 3 ，
(第 22 题图）
3
∴PF+ DP 的最小值为3 3 . …….….13 分
2
23.（本题满分 13 分）
初四数学答案第 5 页 （共 8 页）
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解：（1）∵A（－1，0），B（3，0）在抛物线 y ax2 bx 3（a≠0）上，
a b 3 0
∴
9a 3b 3 0
a 1
解得：
b 2
∴抛物线的表达式为：y＝x2－2x－3； …….….3 分
（2）∵抛物线的表达式为：y＝x2－2x－3
∴C（0，－3）
设直线 BC 的解析式为 y＝kx+n，
∵B（3，0），C（0，－3）
3k n 0 k 1
∴ 解得：
n 3 n 3
∴直线 BC 的解析式为 y＝x－3 …….….4 分
设 M（m，m2 2m 3），其中 0＜m＜3，
则 N（m，m－3）
MN＝m－3－（m2 2m 3）＝ m2 3m
∵OB＝OC＝3
∴∠OCB＝45°
∵MN∥y 轴
∴∠MNH＝∠OCB＝45°
2
∴ HM HN MN …….….5 分
2
2 2
∴△HMN 的周长 l＝（ 1）MN
2 2
＝ ( 2 1)( m2 3m)
＝ ( 2 1)m2 3( 2 1)m
3 9 2 9
当m 时， l …….….6 分
2 最大值 4
（3）存在
由题意知，抛物线的对称轴为直线 x 1，
初四数学答案第 6 页 （共 8 页）
{#{QQABBDQSU4wgggiwAkAJIaIAACRBg5CrAAQQ1kmCCUEuCQkkIAGCjJCACoEIoAGQAAAHAuMAowAjyAJBFSAABFIA=B}A#A} =}#}
B（3，0），C（0，－3）
设点 P 坐标为（1，s），点 Q 坐标为（t，0）
①当 BC 为对角线时，
3 0 1 t

0 3 s 0
s 3
∴
t 2
(第 23 题图）
∴Q（2，0） …….….7 分
②当 BP 为对角线时，
3 1 0 t

0 s 3 0
s 3
∴
t 4
∴Q（4，0） …….….8 分 (第 23 题图）
③当 BQ 为对角线时，
3 t 1 0

0 0 s 3
s 3
∴
t 2
∴Q（－2，0） …….….9 分
(第 23 题图）
综上所述，Q 点的坐标为（2，0），（4，0），（－2，0）
（4）当抛物线 y＝x2－2x－3 向左平移 1 个单位，向上平移 4 个单位后，得到新的抛物线
y＝(x+1)2－2(x+1)－3+4，即 y＝x2 …….….10 分
设 ST 的解析式为 y＝kx+b，点 S 坐标为（x1，y1），点 T 坐标为（x2，y2），则 F（0，b）
y kx b

y x
2
∴ x2 kx b 0
∴ x1 x2 k ， x1x2 b
初四数学答案第 7 页 （共 8 页）
{#{QQABDBQSU4wgggiwAkAJIaIAACRBg5CrAAQQ1kmCCUEuCQkkIAGCjJCACoEIoAGQAAAHAuMAowAjyAJBFSAABFIA=B}A#A} =}#}
FS 2 x 21 (y1 b)
2 x 21 k
2x 21 (1 k
2 )x 21 …….….11 分
同理， FT 2 (1 k 2 )x 22
2
1 1 1 1 1 1 (x1 x2 ) 2x
2
1x2 1 k 2b
∴ ( ) [ ] ( ) ….….12
FS2 FT 2 1 k2 x2 2 2
分
1 x2 1 k (x1x )
2
2 1 k
2 b2
1 1 1
当b 时， 4
2 FS2 FT 2
1 1 1
∴定点 F（0， ）， 的值为 4. …….….13 分
2 FS 2 FT 2
初四数学答案第 8 页 （共 8 页）
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