6.3 二项式定理 课时过关练（含解析）

6.3二项式定理 课时过关练
一、单选题
1.在 的展开式中，含 项的系数是
A． B． C． D．
2．已知的展开式中,二项式系数和为32,各项系数和为243,则( )
A.2 B.3 C. D.
3.设，化简（ ）
A． B． C． D．
4．在的展开式中,x的系数为( )
A.-50 B.-35 C.-24 D.-10
5.二项式 的展开式中只有第 项的二项式系数最大，则展开式中 的指数为整数的项的个数为
A． B． C． D．
6．今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是( )
A.星期二 B.星期三 C.星期四 D.星期五
7设 ，且 ，若 能被 整除，则
B． C． D．
8．展开式中,的系数为( )
A. B.320 C. D.240
二、多选题
9.若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（ ）
A．
B．各项二项式系数和为128
C．二项式系数最大项有2项
D．第4项与第5项系数相等且最大
10．已知,则( )
A. B.
C. D.
三、填空题
11.若二项式展开式中各项系数之和为，则___________.（用数字作答）
12在 的二项展开式中， 的系数为 ．（用数字作答）
13.已知，则__________．
14. 的展开式中 项的系数为 ．
解答题
15．设 ．
(1) 求 ．
(2) 求 ．
(3) 求 ．
16.已知的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中所有的有理项.
17. 用二项式定理证明：
(1) 能被 整除．
(2)求9192被100除所得的余数．
18.已知在 的展开式中，第 项为常数项．
(1) 求 ；
(2) 求含 项的系数；
(3) 求展开式中所有的有理项．
参考答案
一、单选题
1. 【答案】D
【解析】 的展开式的第 项为 ，
令 ，
所以 ．
故 项的系数为 ．
2．【答案】A
解析：展开式二项式系数和为32,则:,故.
则各项系数和为,据此可得:.
本题选择A选项.
3.【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以，
故，
故选：B.
4．【答案】A
解析：的展开式中,含x的项是4个因式中任取1个因式选择x,另外3个因式中选择常数项相乘积的和,则的展开式中,
含x的项为,
所以x的系数为-50.
5. 【答案】D
【解析】根据 的展开式中只有第 项的二项式系数最大，得 ，
所以 的展开式的通项为 ，
要使 的指数是整数，需 是 的倍数，
所以 ，
所以 的指数是整数的项共有 项．
6．【答案】C
解析：因为，
所以被7除所得的余数为1，故经过天后是星期四，故选C.
7. 【答案】D
【解析】将复杂的整除问题转化为二项式展开问题．
因为 ，
所以 ，
又因为 能被 整除，
所以只需 能被 整除，
因为 ，，
所以 ，故选D．
8．【答案】A
解析：因为,
所以通项公式为:,
令,所以,
设二项式的通项公式为:,
令,所以,
因此项的系数为:,
故选:A.
二.多选题
9. 【答案】BC
【解析】由题意，的二项展开式共有8项，可得，所以A错误；
根据二项式展开式二项式系数和的性质，可得二项式系数的和为，所以B正确；
根据展开式中二项式系数的性质，可得中间项的二项式系数最大，即第4和第5项的二项式系数最大，所以C正确；由展开式的第4项为，第5项为，所以展开式中第4项与第5项系数不相等，所以D错误.故选：BC.
10．【答案】ACD
解析：因为,
令可得,
令可得①,
所以,故A正确;
令可得②,
①-②得,故B错误;
①②得,
又展开式的通项为（且）,
所以当r为奇数时展开式系数为负数,当r为偶数时展开式系数为正数,
即,,,,,,,,,,,
所以
,故C正确;
将两边对求导可得：
,
再令可得,故D正确;
故选：ACD.
三、填空题
11.【答案】
【解析】令，则二项式展开式中各项系数和为，解得：.
故答案为：.
12.【解析】 的二项展开式的通项公式为 ，
由 得，，，
所以系数为 ．
13.【答案】9
【解析】
故，，
所以，
故答案为9.
14. 【答案】
【解析】 的通项公式 ， 为偶数．
当 时，，此时 展开式的常数项为 ，
当 时，，此时 展开式的 的系数为 ，
所以 的展开式中 项的系数为 ．
四、解答题
15. 【答案】
(1) 令 ，得 ．
(2) 令 得，，
而由（）知 ，
两式相加，得 ．
(3) 令 得 ，得 ．
16．【答案】（1）
（2）,,
解析：（1）展开式中第项为,
所以前三项系数的绝对值依次为,,,
依题意有,,即,
整理得,解得（舍去）或.
由二项式系数的性质可知,展开式中第5项的二项式系数最大,
即.
（2）由（1）知,,
又,,由,得,
故展开式中的有理项为：,,.
17．【解析】(1)因为
显然括号内的数为正整数，所以，原式能被 整除．
(2)9192＝(100－9)92＝C·10092－C·10091·9＋C·10090·92－…＋C992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．
∵992＝(10－1)92＝C·1092－C·1091＋…＋C·102－C·10＋1，前91项能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，故9192被100除可得余数为81．
18. 【答案】
(1) 利用通项确定 的值，进而根据指定项的特征求解．
通项公式为 ．
因为第 项为常数项，所以 时，有 ，解得 ．
(2) 令 ，得 ，
所以 项的系数为 ．
(3) 由题意知， 令 ，
则 ，即 ，因为 ，且 ，
所以 应为偶数，所以 ，即 ，
所以第 项，第 项与第 项为有理项，它们分别为 ，，．