6.2.2 排列数-教学设计（表格式）

教学设计
课程基本信息
学科 （数学） 年级 （高二） 学期 (春季)
课题 (排列数（第一课时）)
教学目标
1. 能在排列基础上给出排列数的定义和表示，并能区别排列与排列数。 2. 通过利用计数原理分析和解决具体的排列问题，得到排列数公式，并能利用公式求具体问题的排列数。 3. 通过借助具体问题的分析，提升学生的逻辑推理能力和数学运算能力.
教学内容
教学重点： 1. 排列数公式。
教学难点： 1. 排列数公式的推导和应用。
教学过程
一.公式引入 前面我们学习了排列的概念，那么从n个不同的元素中任取m个（m元素的排列总数是多少呢？我们不妨先从一些特殊的问题开始探究. 问题1： 从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？. 师生活动： 可以分两个步骤： 第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种选法； 第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选，有2种选法. 根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为. 这6种不同的选法如图所示： （位置分析法） 问题2： 从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？ 师生活动： 可以分三个步骤来解决这个问题： 第1步，确定百位上的数字，从1，2，3，4这4个数字中任取1个，有4种方法； 第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法； 第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法. 根据分步乘法计数原理，从1，2，3，4这4个不同的数字中，每次取出3个数字按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排列方法种数为.因而共可得到24个不同的三位数. 如图所示. 由此可写出所有的三位数： 123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432. （位置分析法） 问题3： 以上涉及到的这些具体问题有什么共同特征？ 师生活动： 共同特征：问题1中提炼：从3个不同的元素中任取2个元素的排列总数为6. 问题2中提炼：从4个不同的元素中任取3个元素的排列总数为24. 一般地：从n个不同的元素中任取m个（m不同元素的所有排列个数：排列数定义 排列数的定义和表示：把从 个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，并用符号表示. A是英文arrangement(排列)的第一个字母. 追问:排列数与排列有何区别？ 排列数与排列的区别: 排列：从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，它不是数；排列数是所有排列的个数，它是一个数. 设计意图：结合6.2.1节已解决的问题1、问题2，在排列基础上给出排列数的定义和表示，并与相似的排列概念作对比，为引入排列数公式作铺垫.突出位置分析法，为推导排列数公式作铺垫. 二．公式推导 问题4：一般地，从个不同元素中取出个元素的排列数是多少呢？ 从特殊情况开始探究，请结合2个具体实例说明你的研究思路和结果. 师生活动： 研究思路和结果：1. 假定有排好顺序的两个空位. 2.从3个不同元素中取出2个元素去填空,一个空位填上一个元素. 3.每一种填法就对应一个排列； 4.反之，任何一种排列总可以由这种填法得到. 因此，所有不同填法的种数就是排列数， 同理 问题5：如何从两个特殊排列数推广到 和？ 师生活动： ：教师先引导学生根据前面求排列数的经验,求出排列数,解决问题的关键是：假定有排好顺序的两个空位，从n个不同元素中取出2个元素去填空,一个空位填上一个元素,每一种填法就对应一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到.因此，所有不同填法的种数就是排列数，利用分布乘法计数原理计算填法的种数，得到 . 再让学生按照同样的方法，发现求排列数，可以按依次填3个空位来考虑，得出 . 追问：你能类比求排列数和的方法，求排列数吗 师生活动：教师先引导学生根据前面求排列数和的经验，得到:假定有排好顺序的m个空位，从n个不同元素中取出m个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列.因此，所有不同填法的种数就是排列数.利用分步乘法计数原理计算填法的种数，得到排列数公式. 设计意图:通过利用计数原理求出具体问题的排列数，从特殊到一般，将具体排列数的结果归纳为一般形式，从而得出排列数公式. 三.公式的辨析 问题7：上述排列数公式有什么特点 师生活动：教师引导学生进行以下活动: (1)观察公式的右边，共有几个因数？各因数的大小有什么规律？ 公式的右边是m个连续正整数的连乘积； (2)比较与的大小关系，并说明公式右边的最后一个因数有什么特点 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1). (3)利用排列数公式，计算并由此给出阶乘的概念. 1. 全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列叫做n个元素的一个全排列 . 全排列数为: 2.阶乘：正整数1到n的连乘积称为n的阶乘，用表示, 即， 规定 设计意图：通过辨析公式，把握公式的特点，以便更好地记忆公式，加深对公式的理解.并给出全排列和阶乘的概念. 四.公式的应用 例3. 计算：(1) ;　 (2) ;　 (3) 　　(4) . 师生活动：教师引导学生思考: (1)利用排列数公式求各排列数时，和的值分别是多少 右边的因数分别有几个 最后一个因数是几 （2）如何求 ？ 师生共同计算出结果: ;， 即 问题8：观察这两个结果，从中发现它们的共性了吗 能否将它进行推广 师生活动：推广得到公式，并加以证明. 排列数公式的连乘形式 排列数公式的阶乘形式 设计意图：通过利用公式求排列数，以把握公式的结构，加深对公式的理解，并通过对所求结果共性的归纳总结，得到排列数公式的另一种形式. 追问：能否以现实生活为背景，以例3的或或为所研究问题的方法数，编几道应用题？（分4个小组讨论，每组一个代表发言） 师生活动：可能得到如下应用题 （1）从个同学中任选出3个人站一排拍照，有多少种不同的排法？（） （2）一个火车站有7股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放3列不同的火车，共有多少种不同停放方法（） （3）个人排成一列，其中甲乙丙丁4人从矮到高顺序不变，有多少种不同的排法？（） （4）从7人中选出3个人排第一排，剩下4个人排第二排，有多少种不同的排法？（） 注意：多排采用单排法 设计意图： 数学来源于生活，用于生活，通过自己编题更加理解公式和巩固公式，提高分析和解决问题的能力，发展数学运算和数学建模的素养. 例4．用这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 追问：（1）这是不是一个排列问题 是 师生活动： （1）分析：在这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素. 一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题. （2）解题思路：引导学生分别①按“百位数字不能是0” ②“0是否出现及出现的位置” ③“用从10个数中取出3个数的排列数减去其中百位是0的排列数”， 给出三种解法，其中前两种是直接法，第三种是间接法. 解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成： 第1步，确定百位上的数字，可以从这9个数字中取出1个，有种取法； 第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法. 根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为： 解法2：如图所示，符合条件的三位数可以分成三类： 第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1~9这9个数字中取出3个，有种取法， 第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有种取法，第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法.根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为 解法3：从0~9这10个数字中选取3个的排列数为,其中0在百位上的排列数为， 它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数， 即所求三位数的个数为 追问：根据例4，你能归纳出求排列问题的一般步骤吗？ 步骤:①判断排列问题;②根据计数原理给出用排列数符号表示的运算式子；③利用排列数公式求出结果. 追问：根据例4，你能总结排列问题的一般方法吗？ 方法归纳：带有限制条件的排列问题：“特殊”优先原则 位置分析法：以位置为主，优先考虑特殊位置. 直接法 元素分析法：以元素为主，优先考虑特殊元素. 间接法：先不考虑限制条件，计算出来所有排列数，再从中减去全部不符合条件的排列数，从而得出符合条件的排列数 设计意图：通过应用公式解决问题，及时巩固排列数公式，形成解决排列问题的一般方法. 变式1：用这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是偶数有多少种？ 变式2：用这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是奇数有多少种？ 五．课堂小结 教师引导学生回顾本节课学习的主要内容，并让学生回答下列问题: 1.提出一个排列问题，并结合问题说明排列与排列数的区别 例如：问题1中，甲乙是一个排列，排列数为6 2.排列数公式是如何推导的 从特殊到一般，利用位置分析法得到 3.解决排列问题有哪些方法 (1)直接法：①位置分析法，②元素分析法 (2)间接法 4.应用排列数公式时需要注意什么 连乘形式和阶乘形式选择， 设计意图：通过问题形式，明确排列数的概念，回顾排列数公式的推导，总结解决排列问题的一般方法. 六．作业
配套作业
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