2023-2024学年山东省枣庄三中高一（下）质检数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年山东省枣庄三中高一（下）质检数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数，则在复平面内，对应的点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知，，则与平行的单位向量为( )
A. B. 或
C. 或 D.
3.设为单位向量，，当，的夹角为时，在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.在中，若，则该三角形一定是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不能确定
5.不解三角形，下列三角形中有两解的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
6.设单位向量，，，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.若是边长为的等边三角形，是边的中点，为线段上任意一点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图，是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为米的监测塔，若某科研小组在坝底点测得，沿着坡面前进米到达点，测得，则大坝的坡角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是( )
A. B. 复数的虚部为
C. 若复数为纯虚数，则 D.
10.设是所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A. 若，则是边的中点
B. 若，则在边的延长线上
C. 若，则是的重心
D. 若，则的面积是面积的
11.已知锐角三个内角，，的对应边分别为，，，且，则下列结论正确的是( )
A. 的面积最大值为 B. 的取值范围为
C. D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，一，，，若，则 ______．
13.在中，已知，，，则边上的中线长为______．
14.如图所示，圆是的外接圆，，，，若，则的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数和它的共轭复数满足．
Ⅰ求；
Ⅱ若是关于的方程的一个根，求复数的模．
16.本小题分
已知，，．
求向量与所成角的余弦值；
若，求实数的值．
17.本小题分
如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点设，．
用，表示，；
求的余弦值．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，．
求；
若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．
19.本小题分
中，，，是角，，所对的边，已知，且．
若的外接圆半径为，求的面积；
若，在的边，上分别取，两点，使沿线段折叠到平面后，顶点正好落在边上，求此情况下的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
利用复数代数形式的乘除运算化简即可得对应的点的坐标，则答案可求．
【解答】
解：由；
则在复平面内，对应的点的坐标是：．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题着重考查了向量的坐标运算、向量模的公式和单位向量等知识，属于基础题．
先求出的模，再利用平行的单位向量公式加以计算，可得所求的单位向量的坐标．
【解答】
解：，，
，
，
则与平行的单位向量为，
化简得，．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
则在上的投影向量为，
故选：．
由平面向量数量积运算，结合投影向量的概念求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了投影向量的概念，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：中，，
由正弦定理得，
所以，
即，
所以，
所以该三角形为等腰三角形．
故选：．
由已知结合正弦定理，诱导公式及和差角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了正弦定理，诱导公式及和差角公式在三角形形状判断中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：对选项A，，为钝角，即为锐角，只有一解，故选项A错误，
对选项B，，为锐角，为锐角，只有一解，故选项B错误，
对选项C，，为直角，为钝角，无解，故选项C错误，
对选项D，，为锐角，可为锐角或钝角，有两角，故选项D正确．
故选：．
根据已知条件，利用三角形大边对大角的性质，依次求解．
本题考查了三角形大边对大角的性质，需要学生熟练掌握该性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，，为单位向量，，
所以，当且仅当、、方向都相同时，等号成立，
如图所示，作出，，，
当时，以、为邻边作平行四边形，
则，且四边形为菱形，
由，可得、、三点共线，且为等边三角形，，
所以，此时．
综上所述，，的取值范围是．
故选：．
根据单位向量的定义与性质，结合向量的加法法则，算出的最大值和最小值，可得答案．
本题主要考查向量的基本概念、向量的加法运算法则及其应用等知识，考查了概念的理解能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为是边长为的等边三角形，是边的中点，为线段上任意一点，
故AG，且，，
所以．
故选：．
根据正三角形的性质和数量积的定义，将转化为，则问题即可解决．
本题考查数量积的定义和几何意义，同时考查了正三角形的性质，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了解三角形的应用问题，涉及正弦定理，诱导公式，考查分析问题与解答问题的能力，是基础题．
在中由正弦定理求得的值，在中由正弦定理求得，再利用诱导公式求出的值．
【解答】
解：因为，，所以；
在中，由正弦定理得，
解得米；
在中，由正弦定理得，
所以；
又，所以，
所以．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：因为，A正确；
复数的虚部为，不正确；
若，则，，不正确；
设，，所以，
，D正确．
故选：．
根据复数的运算可得，，的正误，根据复数虚部的概念可知的正误．
本题主要考查了复数的概念及性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，，，即，
则是边的中点，故A正确；
对于，由得，所以，
则在边的延长线上，故B错误；
对于，设的中点为，则，
，故C正确；
对于，由知，，
，故D错误．
故选：．
根据题意，结合平面向量的线性运算对选项一一判断即可．
本题考查平面向量的线性运算，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：选项，由余弦定理得，即，
所以，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
此时为锐角三角形，满足要求，
故，解得，故，A错误；
选项，由正弦定理得，
所以，
，
因为为锐角三角形，所以，，
解得，
则，，，B正确；
选项，，C正确；
选项，，
由选项可知，所以，
故，D正确．
故选：．
选项，由余弦定理和基本不等式求出面积的最大值；选项，由正弦定理得到，结合平面向量数量积公式得到，根据为锐角三角形得到，从而得到的取值范围；选项，由正弦定理和正弦和角公式可得；选项，变形得到，由，求出答案．
本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，以及向量数量积的定义、正弦函数的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：向量，一，，，
，
，
解得，，
则．
故答案为：．
利用平面向量坐标运算法则直接求解．
本题考查代数式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
中，由条件利用余弦定理求得的值，中，再由余弦定理求得中线的值．
【解答】
解：中，已知，，，设的中点为，则为边上的中线长．
中，由余弦定理可得
．
中，由余弦定理可得
，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：是外心，如图，
，
，
同理，，
又，
；
联立方程解得，
，
，，
故
，
当且仅当时，等号成立；
故答案为：．
是外心，作图辅助，从而可得，；从而可得，从而化简利用基本不等式求最大值．
本题考查了平面向量与三角形的综合应用及数形结合的思想应用，同时考查了基本不等式的应用．
15.【答案】解：设，
则，
，
，解得，
．
是关于的方程的一个根，
也是关于的方程的一个根，
由韦达定理可得，，解得，
，
，
复数的模为．
【解析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的相等性准则，即可求解．
根据已知条件，结合韦达定理，求出，，再结合复数的运算法则，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于中档题．
16.【答案】解：，，，
设向量与所成角为，则，
向量与所成角的余弦值为；
，，
又，，解得．
【解析】由已知可得的坐标，再由平面向量数量积求夹角公式求解；
由已知求得与的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求值．
本题考查平面向量的坐标运算，训练了利用数量积求两个向量的夹角，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：，，，，．
，，
为的中点，
．
根据题意，，，，
，
，
，
．
【解析】根据向量的线性运算求解即可．
利用向量的数量积运算可求出，进而可求出，的值，从而根据向量夹角的余弦公式即可求解．
本题考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：因为，
所以由正弦定理得：，
即，
即，
所以，
因为，所以，
所以，即，
又因为，所以；
因为点是上的点，平分，且，
所以，
因为，
所以，
化简得：，所以，当且仅当时取等号，
解得：，当且仅当时取等号，
所以，
所以面积的最小值为．
【解析】利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，化简已知等式，可得，结合同角的三角函数关系，即可求得答案；
利用面积相等，即，推出，利用基本不等式结合三角形面积公式，即可求得答案．
本题考查利用正、余弦定理，三角恒等变换知识，三角形的面积公式解三角形，属于中档题．
19.【答案】解析：因为，即，由正弦定理可得，
因为，所以，即，
因为，所以，则，
所以，所以，即；
因为三角形的外接圆半径为，又由正弦定理可得，
再由余弦定理得，，即，
整理得，解得或舍，
所以；
因为顶点正好落在边上，设为点，又，，所以为等边三角形，即，
如图，设，则，，
所以在中，由余弦定理得，
整理得，
设，，所以，
由于，故，
由均值不等式可得，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
【解析】由正弦定理及角的范围可得角的大小，再由外接圆的半径可得边的值，由余弦定理可得边的大小，代入三角形的面积工作可得它的值；
设，则，，由余弦定理可得与的关系，再由均值不等式可得的最小值．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，均值不等式的应用，属于中档题．
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