2023-2024学年北京市怀柔一中高二（下）月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京市怀柔一中高二（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.圆与圆的位置关系是( )
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
3.已知直线：，：若，则实数( )
A. 或 B. C. D. 与
4.在平行六面体中，与的交点为设，，，则下列向量中与相等的向量是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知为双曲线右支上一点，，为双曲线的左右焦点，等于( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆：的左右焦点为，，上下顶点为，，若四边形为正方形，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.“”是“双曲线的渐近线方程为”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项若这五项测试每天进行一项，连续天完成且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
9.已知，异于坐标原点是圆与坐标轴的两个交点，则下列点中，使得为钝角三角形的是( )
A. B. C. D.
10.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，侧面底面，为底面内的一个动点，且满足则点到直线的最短距离为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.在的展开式中，常数项等于______用数字作答
12.从，中选一个数字，从，，中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数共有______个用数字作答
13.探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面其纵断面是抛物线的一部分，正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线：，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程为______．
14.已知曲线：关于曲线有四个结论：
曲线既是轴对称图形又是中心对称图形；
曲线的渐近线方程为，；
当时曲线为双曲线，此时实轴长为；
当时曲线为双曲线，此时离心率为．
则所有正确结论的序号为______．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求的值；
求的值；
求的展开式中含项的系数．
16.本小题分
如图，在三棱柱中平面，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的大小．
17.本小题分
已知圆的圆心坐标为，且经过点．
求圆的标准方程；
若过点作圆的切线与轴交于点，求直线的方程及的面积．
18.本小题分
已知抛物线：经过点．
求抛物线的方程及其准线方程；
设，直线：与抛物线有两个不同的交点，若是以为底边的等腰三角形，求证：直线经过抛物线的焦点．
19.本小题分
已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，点在椭圆上．
求椭圆的方程；
过点的任意直线与椭圆交于、两点，设点、到直线：的距离分别为，若，求的值．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面是等腰三角形，且；在梯形中，，，，，．
Ⅰ求证：面；
Ⅱ求二面角的余弦值；
Ⅲ请问棱上是否存在点到面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：复数，
，
的虚部为．
故选：．
先求出复数，再利用虚部的定义求解．
本题主要考查了复数的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
两圆心之间的距离，两圆相外离．
故选：．
判断圆心距与两圆半径的大小关系，从而可得结论．
本题主要考查圆与圆位置关系的判断，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意两条直线平行，
可得：且，
解得．
故选：．
写出两条直线平行的充要条件，可得的值．
本题考查两条直线平行的性质的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为平行六面体中，与的交点为，，，，
所以．
故选：．
由已知结合空间向量的线性运算求出即可判断．
本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：双曲线，可得，
为双曲线右支上一点，，为双曲线的左右焦点，
．
故选：．
利用双曲线的标准方程，求解实轴长，结合双曲线的定义，求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据椭圆的性质可得，，
因为四边形为正方形，
所以，即，
所以．
故选：．
根据椭圆的几何性质得到，，然后根据四边形为正方形得，化简即可得到椭圆的离心率．
本题考查椭圆的性质，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：若，则，则渐近线方程为，
若渐近线方程为，则，则，
故“”是“双曲线的渐近线方程为“的充分而不必要条件．
故选：．
双曲线渐近线方程为，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可．
本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：若失重飞行安排在第一天则前庭功能安排第二天，则后面三天安排其他三项测试有种安排方法，
此情况跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排第四天安排方案种数相同；
若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第四、第五天有种选择，剩下两种测试全排列，则有种安排方法，
此情况与失重飞行安排在第四天方安排方案种数相同；
若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第一、第五天有种选择，剩下两种测试全排列，则有种安排方法；
故选拔测试的安排方案有种．
故选：．
根据特殊元素“失重飞行”进行位置分类方法计算，结合排列组合等计数方法，即可求得总的测试的安排方案种数．
本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】【分析】
对于圆，可得，，可得直线的方程圆心满足直线的方程，下列点中，使得为钝角三角形，点必须在的内部，经过验证进而得出结论．
本题考查了点及其直线与圆的位置关系、钝角三角形、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【解答】
解：对于圆，
令，解得，；
令，解得，．
不妨取，，
可得直线的方程：，即．
圆心满足直线的方程，
下列点中，使得为钝角三角形，则点必须在的内部．
经过验证，在上，点在的外部，只有点在圆的内部，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：取的中点，连接，
因为侧面是等边三角形，所以，
又侧面底面，且侧面底面，
平面，
所以平面，
故以为原点，以，所在的直线为轴，轴，以过点平行与的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，
因为底面边长为，
则，设，
则
，因为，所以，即，即动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
点到直线，即为圆上的点到直线的距离，所以点到直线的最短距离，
故选：．
建立空间直角坐标系，设，根据，即可得到，从而得到动点的轨迹方程，点到直线，即为圆上的点到直线的距离，即可得解；
本题考查了空间中的距离的最值问题，考查了空间中的动点轨迹问题，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：展开式的通项公式是
令得
故展开式的常数项为
故答案为
利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数为得到常数项．
本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
12.【答案】
【解析】解：要使组成无重复数字的三位数为偶数，则从，中选一个数字为个位数，有种可能，
从，，中选两个数字为十位数和百位数，有种可能，
由分步乘法计数原理可知，这个无重复数字的三位数为偶数的个数为个．
故答案为：．
利用分步乘法计数原理，结合排列组合知识求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：设入射光线与抛物线交于点，反射光线与抛物线交于点，
如图，
则，可得，因为，
所以直线的方程为，
联立，消去整理得，
可设，显然和是该方程的两个根，
则，所以，故．
故光线从点到经过的总路程为
．
故答案为：．
根据题意，求出直线的方程，即可求出的值，再根据抛物线的性质即可求出光线从点到经过的总路程．
本题考查了抛物线的方程和性质，考查了运算求解能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：曲线：，
可得，时，方程为；，时，方程为；
，时，；，时，方程为，
作出曲线的图象，如右图：
可得曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故正确；
可得曲线的渐近线方程为，，故正确；
当时，曲线为双曲线，且在第一、三象限，关于直线对称，可得交点为，，
则实轴长为，故错误；
当时，曲线为双曲线，由两条渐近线垂直，可得双曲线为等轴双曲线，则离心率为，故正确．
故答案为：．
讨论，的符号，去绝对值，可得曲线的方程，画出曲线的图象，结合图象可判断；由双曲线的性质可判断．
本题考查曲线与方程的关系，以及双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
15.【答案】解：令，整理得．
令，可得，
令，可得，
两式相加除以，可得．
直接根据的展开式的通项公式，
可得的展开式中含项的系数为．
【解析】直接利用关系式求出结果；
在所给的等式中，分别令，，可得两个式子，再把两式相加除以，可得的值．
由题意，直接根据的展开式的通项公式，求得的展开式中含项的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，解题关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题．
16.【答案】证明：平面，平面，
，
，，平面，，
，四边形是正方形，则，
，平面．
建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图：
，
，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，，得，令，得，，则，
设直线与平面所成的角为，
则，，
则，即直线与平面所成角的大小为．
【解析】根据线面垂直的判定定理进行证明即可．
建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
本题主要考查线面垂直的判定以及线面角的计算，建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解是解决本题的关键，是中档题．
17.【答案】解：根据题意，设圆的方程为，
因为在圆上，所以，可得，圆的标准方程为；
由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
直线的斜率，因为直线与圆相切，所以，可得，
因此，直线的方程为，取，得点的坐标为，
因为为直角三角形，，且，
所以的面积为．
【解析】根据题意，利用待定系数法设出圆的标准方程，代入点坐标算出半径，可得圆的标准方程；
首先利用点斜式设出直线的方程，然后利用直线与圆相切的性质求出的斜率，得到直线的方程，进而算出的面积．
本题主要考查直线的方程、圆的方程及其应用、直线与圆的位置关系等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题．
18.【答案】解：因为抛物线：经过点，所以，即，
所以抛物线的方程为，准线方程为．
证明：设，，则的中点，
联立，消去整理得，
由，得，
，，
则，所以，
因为是以为底边的等腰三角形，所以，即，
又因为，，，
则，所以，解得，
所以：，经过抛物线的焦点．
【解析】由抛物线经过点可求出，即可求出抛物线的方程及其准线方程；
联立直线方程和抛物线方程，消元后运用根与系数的关系，结合等腰三角形底边的中线和底边垂直，转化为斜率之间的关系，列式计算可求出，进而得证．
本题主要考查抛物线的方程与性质，考查联立直线和抛物线方程解决综合问题，考查等腰三角形的性质，考查转化思想和数学运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：由题意，，即，
因为点在椭圆上，所以
解得，，
所以椭圆的标准方程为：；
当直线的斜率为时，
可设，则，
所以，，，，
因为若，即，
解得，
同理，当，时，则，，，，
因为，
即，解得；
当直线的斜率不为时，设直线的方程为，设，，
联立，整理可得，恒成立，
，，
因为，所以，
即，
可得．
综上所述：当时，．
【解析】由长轴长与短轴长的关系，可得，的关系，将点的坐标代入椭圆的方程，可得，的关系，进而求出，的值，进而求出椭圆的方程；
分直线的斜率为时，可设，的坐标，由题意可得的值；当斜率不为时，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由，可得，进而求出的表达式，整理可得的值．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
20.【答案】证明：，平面，平面，
平面．
解：是直角梯形，，，，，，
，又，到的距离为，
平面平面，到平面的距离为．
以为原点，以，，及平面过的垂线为坐标轴建立空间坐标系如图所示：
，，，，
，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，，
，，
令，可得，，
，．
由图形可知二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为．
解：假设棱上存在点到面的距离为，设，
，，
点到平面的距离，，
棱上是存在点到面的距离为，．
【解析】由即可得出平面；
建立空间坐标系，求出平面和平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小；
设，用表示点到平面距离，求解可得的值．
本题考查了线面平行的判定，二面角的计算，考查空间向量在立体几何值的应用，属于中档题．
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