2023-2024学年福建省漳州市云霄一中平行班高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省漳州市云霄一中平行班高一（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量，，且，则( )
A. B. C. D.
2. 在中，为边上的中线，为的中点，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量和的夹角为，，，则等于( )
A. B. C. D.
4.在中，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
6.在中，为的中点，为上靠近的三等分点，与交于点，若，，则( )
A. B. C. D.
7.在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则( )
A. B. C. D.
8.如图，为的外接圆的圆心，，，为边的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设向量，，则( )
A. B.
C. D. 与的夹角为
10.已知三个平面向量两两的夹角相等，且，则( )
A. B. C. D.
11.下列命题中正确的是( )
A. 两个非零向量，，若，则与共线且反向
B. 已知，且，则
C. 若，，，为锐角，则实数的取值范围是
D. 若，则为钝角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.点是三角形内一点，若，则： ______．
13.在中，，则的面积最大值为______．
14.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作登鹳雀楼而流芳后世如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处三点共线测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，．
求；
若，求实数的值．
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且满足，．
求外接圆的周长；
若，求的面积．
17.本小题分
如图，已知点是边长为的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边，于点，，设，其中，．
求的值；
求面积的最小值，并指出相应的，的值．
18.本小题分
为加强学生劳动教育，成都石室中学北湖校区将一块四边形园地用于蔬菜种植实践活动经测量，边界与的长度都是米，，．
若的长为米，求的长；
现需要沿实验园的边界修建篱笆以提醒同学们不要随意进入，问所需要篱笆的最大长度为多少米？
19.本小题分
已知，，，
求函数图像的对称轴方程；
设的内角，，所对的边分别为，，，若，且，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：平面向量，，
则，，
，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的运算，以及平面向量基本定理，属于较易题．
根据向量的加法运算法则运算即可得解．
【解答】
解：如图，
，
所以．
故选A．
3.【答案】
【解析】解：向量和的夹角为，，，
．
故选：．
由向量的运算法则及数量积公式求解．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，所以，
由余弦定理可得，，所以．
故选：．
利用余弦定理解三角形即可求得．
本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量是．
故选：．
由投影向量的定义计算即可求得．
本题考查平面向量的投影向量，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的基本定理，向量共线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
由向量共线的性质分别设，，结合条件依次表示出，，对应解出，，即可得到答案．
【解答】
解：如图，
因为、、三点共线，不妨设，即，
同理，由、、三点共线，不妨设，
即，
所以，
所以，解得，，
故，
故选A．
7.【答案】
【解析】解：的面积，
，
，
则，
，
，
，，
．
故选：．
根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．
本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的平行四边形法则、三角形外接圆的性质、数量积运算定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由是边的中点，可得，利用是的外接圆的圆心，可得，同理可得，即可得出结论．
【解答】
解：是边的中点，可得，
是的外接圆的圆心，
，
同理可得，
．
故选C．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了根据向量的坐标求向量模，向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于中档题．
可以求出，从而判断A错误；得出，从而判断B错误，C正确；求出，从而判断D正确．
【解答】
解：，A错误；
，，，B错误，C正确；
，且，
与的夹角为，D正确．
故选CD．
10.【答案】
【解析】解：因为平面向量两两夹角相等，即两两夹角为或．
当两两夹角为时，；
当两两夹角为时，
，
则，
综上，或．
故选：．
由题意得两两夹角为或，当两两夹角为时，利用转化为数量积计算即可．
本题考查平面向量的夹角及数量积运算，属基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于：若两个非零向量，，满足，则与共线且反向，故A正确；
对于：由，得，已知，时，，故时满足，故B错误，
对于：，，
由于为锐角，则，解得，
与不共线，得，即，故C错误；
对于：由，得，
，，，
，，，为钝角三角形，故D正确．
故选：．
利用足，可得向量与共线且反向，判断；，时，，可判断；为锐角，则，与不共线，得，即，可判断；由，得，可得，可判断．
本题考查了平面向量的数量积，向量的运算，以及向量的应用，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：设为中点，由，可得，故为的重心，
则：：，：：，
而，所以，
即：．
故答案为：．
由题意得为的重心，根据重心性质即可求得结论．
本题考查平面向量的线性运算，考查三角形重心性质，属基础题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意得：
由余弦定理得：，
即
所以，当且仅当时取等号，
所以．
故答案为：．
根据解三角形余弦定理以及基本不等式，求解出的最大值，从而解得的面积最大值．
本题主要考查余弦定理以及基本不等式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意，在中，，
在中，可得，，
所以，
由正弦定理，可得，
又在中，．
故答案为：．
先在中求出的长度，然后再求出中的，，利用正弦定理求出，最后在中利用三角函数的定义求出的长度即可．
本题考查解三角形的应用，侧重考查了正弦定理和三角函数的定义，属于中档题．
15.【答案】解：向量，，．
；
，
，
若，则，
解得实数．
【解析】利用向量坐标运算法则直接求解；
利用向量平行的性质直接求解．
本题考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】解：因为，
由正弦定理得，
整理得，
由余弦定理可得，
且，则．
又因为，由正弦定理得外接圆的半径，
所以外接圆的周长为．
在中，，，，
由正弦定理得，
可得，
又因为，可知，
可得，
则，
所以的面积为．
【解析】根据题意利用正、余弦定理可得，再结合正弦定理求外接圆半径；
根据题意利用正弦定理和三角恒等变换求，再结合面积公式运算求解．
本题考查解三角形的应用，属于中档题．
17.【答案】解：延长交与，由是正三角形的中心，得为的中点，
则，由，，
得，又，，三点共线，
所以，即；
是边长为的正三角形，则，，
，
由，则，
，，，解得，
，
设，则，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以当，即时，取得最小值．
【解析】由正三角形的中心的性质，有，又，，三点共线，所以；
面积表示为的函数，通过换元和基本不等式，求最小值．
本题考查平面向量基本定理，考查基本不等式的应用，属中档题．
18.【答案】解：连接，由题意是等边三角形，所以，
在中，由余弦定理得，
，
即，解得含去，
故BC的长为米；
设，，
在中，，
所需篱笆的长度为
，
则当时，所需篱笆的最大长度为米．
【解析】在中，根据余弦定理，即可求得；
设，将所需篱笆的长度表示成关于的函数，利用正弦函数的范围即可求得最大值．
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查解三角形，属中档题．
19.【答案】解：已知，，
则，
由，，可得，，
即函数图像的对称轴方程为，；
由，
则，
又，
即，
即，
又，
由正弦定理可得：，，
即，
又，
则，
即
即的取值范围为．
【解析】由平面向量数量积的运算及三角恒等变换，结合三角函数的性质求解即可；
由正弦定理可得，然后结合三角函数值域的求法求解即可．
本题考查了三角恒等变换，重点考查了正弦定理及三角函数值域的求法，属中档题．
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