2023-2024学年浙江省丽水市五校高中发展共同体高一（下）联考数学试卷（4月份）（含解析）

2023-2024学年浙江省丽水市五校高中发展共同体高一（下）联考数学试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，，，则等于( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，是虚数单位，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.在中，，，，则角的值为( )
A. B. C. D.
4.已知复数，是虚数单位，若，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，则与向量方向相反的单位向量是( )
A. B.
C. D. 或
6.已知三条边上的高分别为，，，则最小内角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知圆的半径为，弦的长为，为圆上一动点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.在中，已知，，若，分别是的三等分点，其中靠近点，记，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知非零复数，，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知的三个内角分别是，，，则下列结论一定成立的是( )
A.
B.
C. “”是“”成立的充分不必要条件
D. 一定能构成三角形的三条边
11.在中，角，，的对边分别为，，，已知，分别在边，上，且的重心在上，又，设，为相应三角形的面积，则以下正确的是( )
A. B. 的最小值为
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数为纯虚数，是虚数单位，则 ______．
13.已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量的坐标是______．
14.四边形中，与交于点，已知，且是的中点，，又，则四边形的面积是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量满足．
求向量与夹角的余弦值；
求的值．
16.本小题分
在中，已知角，，的对边分别是，，，且．
求角的大小；
若，求的面积．
17.本小题分
如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且相交于点设．
若，试用向量表示；
若，求实数的值．
18.本小题分
在锐角中，已知角，，所对的边分别为，，，且．
求角的大小；
求的取值范围．
19.本小题分
设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：．
试求解下列问题：
已知向量满足，求的值；
在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值；
已知向量，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故选：．
利用减法的三角形法则可得答案．
本题考查向量的减法及其几何意义，属基础题．
2.【答案】
【解析】解：由，得．
复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限．
故选：．
利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面内对应的点的坐标即可．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为在中，，，，
所以由正定理得：，
由于，
所以．
故选：．
根据正弦定理即可求解．
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：复数，
则，即，解得，
所以复数的虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的概念，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的概念，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：与向量方向相反的单位向量为：．
故选：．
可知与向量方向相反的单位向量为，然后根据向量的坐标即可得解．
本题考查了单位向量的定义，向量坐标的数乘运算，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意，不妨设的三边，，上对应的高的长度分别为，，，
由三角形的面积公式可得：，解得：，
设，
则，，，可得为三角形最小边，为三角形的最小内角，
由余弦定理可得：．
故选：．
不妨设的三边，，上对应的高的长度分别为，，，由三角形的面积公式可得，设，可得，，，可得为三角形的最小内角，由余弦定理即可计算得解．
本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：以为原点建立平面直角坐标系，如图所示：
设，，，，
所以，，
所以，
，
时，取得最小值为，
时，取得最大值为，
所以的取值范围是
故选：．
以为原点建立平面直角坐标系，设，，，，利用坐标表示向量，求出的模长取值范围即可．
本题考查了平面向量的数量积与模长计算问题，也考查了数形结合思想，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：据题意，建立如图所示坐标系，设，则，
由，，分别是的三等分点，
可得，，，，，
则，
，
，
故．
故选：．
建立直角坐标系，设，求得，，，的坐标，利用向量数量积的坐标运算求得，，，比较大小即可．
本题考查平面向量数量积运算，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，令，，，故A错误；
对于，令且，不同时为，
则，
，
，故C错误；
对于，结合复数模的性质可知，，故C正确；
对于，令，，
则，，
，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合特殊值法，以及共轭复数的定义，复数模的性质，即可求解．
本题主要考查复数的概念，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，若，则，
故“”是“”的充分条件，
若，则，所以，
当时，不成立，
故“”是“”的不必要条件，
综上：“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于，由正弦定理可得：：，
不妨设，
则，
故，且，
所以，故D正确．
故选：．
对于，根据三角形内角和定理，三角函数的诱导公式分析可得结论；
对于，根据三角形内角和定理，三角函数的诱导公式分析可得结论；
对于，利用二倍角公式与正弦定理，由，可得，反之不成立，可得结论；
对于，根据正弦定理边化角，结合三角形三边满足的关系即可求解．
本题考查的知识要点：正弦定理，三角函数恒等变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项，设的重心为，由题意可知，，，三点共线，
所以存在使得，则，
又，所以，
化简得，故A正确；
对于选项，，
又因为，即，，
所以，
因为，当且仅当时等号成立，所以，
所以的最小值为，故B正确；
对于，，因为，所以，即，
又因为，
，
，
所以，
所以，故D正确，C错误．
故选：．
对于，设的重心为，由题意可知，，，三点共线，，化简判断；对于，，，结合，判断；对于，，借助向量表示得，化简，判断，．
本题考查了三角形的面积公式、基本不等式和向量数量积公式，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：复数为纯虚数，
则，解得，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合纯虚数的定义，复数模公式，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，复数模公式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，
则，
，，
则，即，解得，
故向量在向量上的投影向量的坐标是：．
故答案为：．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，所以．
由，得，整理得，所以，
可得，设，
则，
而，
，
由两边平方，得，即，
化简整理，得，解得或，
当时，，即，
可得，，不符合题意，舍去．
当时，同理可得，即，可得舍负．
所以，结合为中点，可得，
因此，四边形的面积．
故答案为：．
根据同角三角函数的平方关系算出，然后以向量为基底表示出，利用平面向量的数量积与夹角公式列式算出，进而可得，再根据三角形的面积公式算出，结合为中点算出四边形的面积．
本题主要考查平面向量的线性运算、向量的数量积与夹角公式、同角三角函数的基本关系与三角形的面积公式等知识，属于中档题．
15.【答案】解：设与的夹角为，
因为，所以，
又，所以，
所以，
所以向量与夹角的余弦值为．
，，，
则，
所以．
【解析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解；
将平方并开方，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
16.【答案】解：由，以及正弦定理可得：，
即，
即，又在中，，所以，
又，所以；
由余弦定理，
得，由得，
所以的面积．
【解析】根据正弦定理可得角；根据余弦定理可得，代入面积公式即可．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于基础题．
17.【答案】解：因为是的中点，
所以，
设，
因为，
所以，
即，
由共线，得，解得，
所以，
所以，
综上所述，，．
，
因为，
所以，
解得．
【解析】根据平面向量的基本定理，结合平面向量的线性运算法则，求解即可；
用基底分别表示出，，再由，可得关于的方程，解之即可．
本题考查平面向量的运算，熟练掌握平面向量的线性运算和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：因为，
由余弦定理，及正弦定理得
．
所以，又，
所以，
所以；
，
因为，所以，
所以．
【解析】由已知结合正弦定理及余弦定理先进行化简，再由和差角公式及同角基本关系化简可求，进而可求；
结合余弦定理对所求式子进行分离变形，然后结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：由已知，得，
所以，即，
又，所以，
所以；
设，则，，
所以，
从而，
所以，
又，
所以；
由可得：，
因为
，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值的最小值是．
【解析】根据条件求得，再根据新运算的定义求解即可；
根据向量的坐标表示求得和的坐标，求得两向量的模其夹角的正弦值，利用新运算定义求解；
利用新运算的定义将表示成关于的式子，利用三角变换及基本不等式求其最小值．
本题考查平面向量的坐标运算，属中档题．
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