2023-2024学年江苏省扬州市江都中学高二（下）联考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省扬州市江都中学高二（下）联考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.空间四边形中，，，，点为中点，点为靠近的三等分点，则等于( )
A. B.
C. D.
2.已知直线的方向向量为，平面的法向量为若，则的值为( )
A. B. C. D.
3.名男生和名女生排成一排，其中女生甲不排两端的不同排法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.已知向量，满足，，向量在向量上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数在区间上单调递增，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知实数，，，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.若函数与函数有相等的极小值，则实数( )
A. B. C. D.
8.长方体中，，，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某班准备举行一场小型班会，班会有个歌唱节目和个语言类节目，现要排出一个节目单，则下列说法正确的是( )
A. 若个歌唱节目排在一起，则有种不同的排法
B. 若歌唱节目与语言类节目相间排列，则有种不同的排法
C. 若个语言类节目不排在一起，则有种不同的排法
D. 若前个节目中必须要有语言类节目，则有种不同的排法
10.若函数既有极大值也有极小值，则( )
A. B. C. D.
11.已知正方体的边长为，点，，分别是棱，，的中点，下列说法正确的有( )
A.
B. 平面
C. 平面截正方体的截面面积为
D. 到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.正方体中，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为______．
13.已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是______．
14.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在正方体中，为的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知空间三点，，．
求以和为邻边的平行四边形的面积；
试判别点与点，，是否共面？请说明理由．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，四边形为正方形，四边形为菱形，且，平面平面，点为棱的中点．
求证：；
棱上是否存在异于端点的点，使得二面角的余弦值为？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知曲线在处的切线过点．
试求，满足的关系式；用表示
讨论的单调性；
证明：当时，．
19.本小题分
三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：若，则称为空间向量与的叉乘，其中，，为单位正交基底以为坐标原点、分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，已知，是空间直角坐标系中异于的不同两点．
若，，求；
证明：．
记的面积为，证明：．
证明：的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的倍．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意，．
故选：．
利用向量的加减法规则，运算即可得出结果．
本题考查空间向量的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：直线的方向向量为，平面的法向量为，
因为，所以，即，；
所以，解得，，，所以．
故选：．
根据得出，由此列方程组求出、，再计算的值．
本题考查了空间向量的应用问题，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：依题意首先将女生甲排到除两端外的三个位置中的一个位置，有种排法，
其余名同学全排列，有种排法，
按照分步乘法计数原理可知一共有种排法．
故选：．
首先排好女生甲，再将其余人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：设和之间的夹角为，
因为向量在向量上的投影向量为，
所以，所以，
所以．
故选：．
设和之间的夹角为，根据向量在向量上的投影向量为求出即可求解．
本题考查平面向量的数量积与夹角，投影向量，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：对函数求导可得，，
依题意，在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，
易知当时，，
则函数在上单调递减，
则．
故选：．
对函数求导，根据题意可得在上恒成立，设，利用导数求出函数的最大值即可得解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由已知，
则，即为直线上的点，
为函数上的点，
则，
设与相切，
因为，
则，可得，所以切点为，则，
则切点到直线的距离为，
所以最小值为．
故选：．
将的最小值转化为直线上的点与函数上的点间距离最小值的平方，由导数的几何意义求函数的切线，从而得解．
本题考查了转化思想、导数的几何意义，属于中档题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数根据极值或极值点求参，是中档题．
利用“对勾函数”的单调性求得的极小值，可得的极小值，然后结合导数求极值可得的值．
【解答】
解：由，利用“对勾函数”的单调性，可知其极小值为；
则函数有极小值为，
由，得，
当时，恒成立，函数在定义域内单调递减，无极小值；
当时，由，得，由，得，
的单调减区间为，单调增区间为．
函数的极小值为，解得．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：以为原点建立空间直角坐标系，必有，，，
，设，
则，，
由题意得，故，得，故，
故，，
易知面的法向量，
，，，
所以，，
因为，
所以，，
则，
若最大，由二次函数性质得当时，
且此时，显然A正确．
故选：．
建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求出正弦值，再求正切值即可．
本题考查用空间向量的方法求线面角的正切值，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：选项，若个歌唱节目排在一起，则有种情况，
将个歌唱节目看为一个整体，和个语言类节目进行排列，则有种情况，
综上，共有种情况，A错误；
选项，歌唱节目与语言类节目相间排列，
则歌唱类节目在两端和最中间，语言类放在歌唱类节目的之间，则有种情况，B正确；
选项，若个语言类节目不排在一起，则采用插空法，先安排歌唱类节目，有种情况，
再将语言类节目插入到个节目形成的个空格中，有种，
综上，共有种情况，C正确；
选项，前个节目都是语言类节目，此时后个为歌唱类节目，有种情况，
前个节目中有个是语言类，有个是歌唱类，
则种情况，剩余的个节目进行全排列，则有种情况
则共有种情况，
综上，有种不同的排法，D正确．
故选：．
选项，采用捆绑法进行求解；选项，利用排列知识进行求解；选项，采用插空法进行求解；选项，分两种情况，前个节目都是语言类节目和前个节目中有个是语言类节目，分别求出排法后相加即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：函数定义域为，
且，
由题意，方程即有两个正根，设为，，
则有，，，
，，
，即．
故选：．
将函数有极大、极小值问题转化为导函数对应的方程有两个不等正实根来处理．
本题考查函数极值的基础知识，属简单题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查线面垂直的判定和性质，点到平面的距离的求法，以及正方体的对称性，考查推理能力和运算能力，属于中档题．
求得截面为正六边形，由等边三角形的面积公式和正六边形的性质可判断；由正方体的对称性和线面垂直的判定可判断．
【解答】
解：由点，，分别是棱，，的中点，
记，，的中点分别为，，，
结合平面的基本性质可得截面为正六边形，
且边长为，故截面面积为，故C正确；
由于，不垂直于，则不垂直于，即有不垂直于平面，故B错误；
由正方体的对称性可得对角线平面，且平面过的中点，
可得到平面的距离为，故D正确；
由正六边形可得，故A正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：令正方体棱长为，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，
故，，
设直线与直线所成角为，则．
故答案为：．
令正方体棱长为，构建空间直角坐标系并确定相关点坐标，应用空间向量夹角的坐标公式求两直线夹角余弦值．
本题考查异面直线所成角的求法，考查空间向量的应用，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：由题可得：，则，，
设，则，
所以，，，则，
所以，，
所以
，
故当时，取得最小值，此时的坐标为．
故答案为：．
设，根据题设，，进而有，利用向量数量积的坐标表示及二次函数性质求取得最小值时对应参数值，即可得结果．
本题考查向量数量积的坐标表示和二次函数的最值求法，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：令，，所以单调递增，
因为，所以，
可得，所以，所以恒成立，
即求，令，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，可得．
故答案为：．
根据恒成立，可得到含有，的不等式，再进行分离变量，将“恒成立”转化为求函数的最大值或最小值，最后得出的范围．
本题考查了利用函数的单调性求最值解决参数问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中通过变形构造函数，利用单调性解决问题是答题的关键．
15.【答案】Ⅰ证明：连接交于点，连接，
在正方形中，．
因为为的中点，
所以
因为平面，平面，
所以平面．
Ⅱ解：不妨设正方体的棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
所以所以即
令，则，，
于是．
设直线与平面所成角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．

【解析】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的向量求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
Ⅰ连接交于点，连接，证明，然后证明平面．
Ⅱ不妨设正方体的棱长为，建立空间直角坐标系求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线与平面所成角的正弦值即可．
16.【答案】解：由题意知，，，
所以，
又，所以．
所以以为邻边的平行四边形的面积为．
由题意，，，，
假设存在实数，，使得，
则，解得．
所以，即与是共面向量，
所以点与点，，共面．
【解析】由空间向量的数量积求出夹角，再由模长公式求出，，求解；
由空间向量共面定理求解即可．
本题考查了空间向量的数量积与共面定理应用问题，是基础题．
17.【答案】证明：取棱的中点，连接，，，
且，
为等边三角形，
，
四边形为正方形，且，分别是，的中点，
，
，，平面，
平面，
平面，
．
解：平面平面，平面平面，且，面，
平面，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则点，，，，
则，
设平面的一个法向量为，
则由及，得，
取，则平面的一个法向量为，
假设棱上除端点外存在点满足题意，
令 ，得，
而，
设平面的一个法向量为，
则由及得，，
取，则平面的一个法向量为，
由，整理得，
解得，
点为棱的三等分点靠近端．
【解析】首先证明平面，然后由线面垂直可以得证；
根据题目中的已知条件找到两两垂直的三条棱，然后建立空间直角坐标系，表示出相关点的坐标，假设点存在，设出点的坐标，求出平面和平面的法向量，结合空间向量的夹角公式列出方程，解方程即可确定点的位置．
本题主要考查直线与直线垂直的证明，二面角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：由，得，则，，
故曲线在处的切线方程为，即，
由题意得，即，
即，满足的关系式为；
由知，定义域为，，
当时，，在上单调递减；
当时，由，得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
证明：由得，
要证明，即证，即证，
令，则，
令，则，令，则，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
即恒成立，
即当时，．
【解析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出曲线的切线方程，即可求得答案；
分类讨论的取值范围，根据导数与函数单调性的关系，即可得答案；
结合得，故要证明，即证，由此构造函数，求出其最小值，说明最小值大于恒成立，即可证明结论．
本题考查了导数的几何意义的应用、函数单调性的讨论以及不等式的证明，解答的关键是将不等式的证明问题转化为构造新函数，求解函数的最值问题，即可解决，属于中档题．
19.【答案】解：，，
又，其中，，
．
用向量叉乘定义、行列式展开法则，得：
，
即．
证明：，是空间直角坐标系中异于的不同两点，
为单位正交基底，
以为坐标原点、分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，，
的面积为，
则，
将与，与，与互换，则，
．
证明：，
，
要证明，需证明，
需证明．
，，，
，
，
又，，，
，
则成立，
当的面积为时，．
证明：，
，
，
的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的倍．
【解析】利用向量的叉乘的定义逐项分析即得．
利用数量积公式求得，则有 可知，借助叉乘公式，利用分析法即可证得结果．
由，化简可得，即可得出结果．
本题考查行列式展开法则、向量叉乘等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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