2023-2024学年江苏省苏州市张家港市沙洲中学高一（下）段考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省苏州市张家港市沙洲中学高一（下）段考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.式子( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知非零向量的夹角余弦值为，且，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，设，，，，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数图象的一条对称轴为，，且函数在区间上具有单调性，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.如图，在平行四边形中，，，点是的中点，点满足，且，则( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列说法正确的有( )
A. 函数的最大值为
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数图像的一个对称中心为
D. 将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像
10.设，是互相垂直的单位向量，，，下列选项正确的是( )
A. 若点在线段上，则
B. 若，则
C. 当时，与共线的单位向量是
D. 当时，在上的投影向量为
11.直角中，斜边，为所在平面内一点，其中，则( )
A. 的取值范围是
B. 点经过的外心
C. 点所在轨迹的长度为
D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在四边形中，，分别是边，的中点，，则 ______．
13.等边的外接圆的半径为，是的边的中点，是该外接圆上的动点，则的最大值为______．
14.记函数的最小正周期为，若，且是图象的一个最高点，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量与的夹角为，且，．
若与共线，求；
求与的夹角的余弦值．
16.本小题分
如图，在中，，，为线段的垂直平分线，与交与点，为上异于的任意一点，
求的值．
判断的值是否为一个常数，并说明理由．
17.本小题分
已知向量，，设函数．
求函数的最大值，及取得最大值时取值的集合；
求函数的单调减区间；
设，，为锐角三角形的三个内角，若，，求的值．
18.本小题分
已知向量，，函数，，．
当时，求的值；
若的最小值为，求实数的值；
是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
19.本小题分
如图，点，分别是正方形的边、上两点，，，记点为的外心．
若，，，求的值；
若，求的取值范围；
若，若，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
利用诱导公式和两角和的正弦公式求解．
本题考查的知识点：三角函数的诱导公式，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：若，
则，解得，
则，
则．
故选：．
根据向量平行的坐标运算列式解出，即可得出的坐标，即可根据向量的模的坐标运算得出答案．
本题主要考查向量平行的性质，以及向量模公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意，，即，，
因为，故，则．
故选：．
根据垂直向量数量积为，结合数量积的公式求解可得，进而求解即可．
本题主要考查平面向量数量积的公式，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，，
又因为，
所以，
所以．
故选：．
利用向量加减法的运算和数乘运算得出所求解的向量与已知向量之间的关系，注意运算的准确性和向量倍数关系的正确转化．
本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．
利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．
【解答】
解：，
，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，其中，
函数图象的一条对称轴为，
则，解得：，
则，，即，
故，
，且函数在区间上具有单调性，
与关于对称中心对称，
，解得，
则时，．
故选：．
根据辅助角公式得出，即可根据对称轴列式得出的值，即可得出，根据已知得出与关于对称中心对称，即可列式得出，即可得出答案．
本题主要考查了辅助角公式在三角化简求值中的应用，还考查正弦函数性质的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：在平行四边形中，，，点满足，且，
在中，由余弦定理可得：，
即，
则
，
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
由，得，，代入上式得，
又因为、、三点共线，所以，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．
故选：．
，把，代入上式，再根据三点、、共线求得与的关系，然后把转化为关于的函数，可解决此题．
本题考查向量线性运算及基本不等式应用，考查数学运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，
所以函数的最大值为，所以选项正确．
因为函数在区间上单调递增，
所以函数在上单调递减，所以选项不正确．
当时，，所以为对称轴，所以选项不正确．
函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，
所以选项正确．
故选：．
将化简，再根据余弦函数的性质逐项判断即可．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：，是互相垂直的单位向量，
，且，
对选项：点在线段上，
，
，
解得或舍去，选项正确；
对选项：，
，，选项正确；
对选项：，，
，与共线的单位向量是：
，选项错误；
对选项：，，
又由选项分析可知，在上的投影向量为：
，选项正确．
故选：．
对：根据向量共线分析运算；对：根据向量垂直运算求解；对：根据单位向量分析运算；对：根据投影向量分析运算．
本题考查向量数量积的性质与定义，投影向量的定义，化归转化思想，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：由，又斜边，则，则，A正确；
若为中点，则，故，又，
所以，，共线，故在线段上，轨迹长为，又是的外心，B正确，C错误；
由上，则，
又，则，当且仅当等号成立，
所以，D正确．
故选：．
由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断；若为中点，根据已知有，，共线，即可判断、；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，结合基本不等式求范围判断．
本题考查了平面向量数量积的运算和性质的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：在四边形中，，分别是边，的中点，
则，，
则，
则，
又，
则，
则．
故答案为：．
由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算求解．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：如图，设等边的外心为，
圆的半径为，且是的中点，
、、三点共线，且，
，
，
当时，取得最大值，为．
故答案为：．
设等边的外心为，易知、、三点共线，且，再由，结合数量积的运算法则，求解即可．
本题考查平面向量的应用，熟练掌握平面向量的线性运算和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：函数的最小正周期为，
则，由，得，
，
是图象的一个最高点，
则且，则，
，取，可得，
故，
则．
故答案为：．
由周期范围求得的范围，由图像最高点求解与值，可得函数解析式，则可求．
本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．
15.【答案】解：由与共线，
则，
又，不共线，
则，
即；
已知向量与的夹角为，且，，
则，
由题意可得：，
又，
则与的夹角的余弦值为．
【解析】由与共线，则，然后求解即可；
由与的夹角的余弦值为，然后结合平面向量数量积运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的夹角的运算，属基础题．
16.【答案】解：法：由已知可得，，
的值为一个常数为为线段的垂直平分线，与交与点，为上异于的任意一点，
，
故：
解法：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立直角坐标系，可求，
此时，，
设点坐标为，
，
常数．
【解析】法一：由题意及图形，可把向量用两个向量的表示出来，再利用数量积的公式求出数量积；
将向量用与表示出来，再由向量的数量积公式求数量积，根据其值的情况确定是否是一个常数；
法二：由题意可以以所在直线为轴，所在直线为轴建立坐标系，得出各点的坐标，由向量坐标的定义式求出的坐标表示，由向量的数量积公式求数量积；
设点坐标为，表示出向量的坐标再由向量的数量积坐标表示公式求数量积即可
本题考查向量在几何中的应用，本题采用了二种解法，一是基向量法，一是向量的坐标表示，解题的关键是建立坐标系与设定其向量
17.【答案】解：因为向量，，
所以，
当时，函数取最大值为，
此时，，解得，，
故函数的最大值为，取得最大值时取值的集合为．
由知，，
令，，解得，，
所以函数的单调减区间．
因为，，为锐角三角形的三个内角，且，
所以，
由，可得，即，
由于，所以，故，解得，
所以，
即．
【解析】由平面向量数量积运算和三角函数恒等变换得，进而求最大值和取值的集合；
令，，解不等式即可得到单调减区间；
由题意以及同角三角函数基本关系可得，再由前面所求可得，代入，计算可得答案．
本题考查解三角形，考查三角函数的恒等变换和同角三角函数基本关系以及平面向量的知识，属于中档题．
18.【答案】解：
，
当时，，
则；
因为，，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以，
令，则，
则，对称轴，
当，即时，
当时，函数取得最小值，则，此时不存在满足；
当，即时，
当时，函数取得最小值，则，此时满足；
当，即时，
当时，函数取得最小值，则，此时不存在满足．
综上所述：若的最小值为，则实数．
令，可得或，
所以方程或在上有四个不同的实根，
所以，解得，即，
即实数的取值范围是．
【解析】本题考查由余弦型函数的值域或最值求参，余弦型、正切型函数的零点，向量线性运算的坐标表示，向量模的坐标表示，向量数量积的坐标运算，三角恒等变换的综合应用，二次函数的最值，属于困难题．
利用向量数量积的坐标运算，结合两角和的余弦公式，即可求出求的值．
求出，令，分、、三种情况讨论，利用二次函数的性质求出的最小值，即可求出实数的值．
由得到方程的根，根据余弦函数的值域，即可求出实数的取值范围．
19.【答案】解：以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系．，，
所以．
设，，，
则，．，
由于，根据对勾函数的性质可知．
；．
设，，则这两个式子为，
化简得
解得
所以，
设，，
令，
所以由对勾函数的性质得，
所以当时，即点与点重合时，取到最大值．
【解析】建立平面直角坐标系，根据向量数量积的坐标运算求得的值．
设，求得关于的表达式，进而求得的取值范围．
设，，将表示为关于，的表达式，求得的取值范围，进而求得的最大值．
本题考查平面向量数量积有关问题、平面向量的基本定理，属于中档题．．
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