2023-2024学年广东省潮州市饶平二中高二（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省潮州市饶平二中高二（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，且，则( )
A. B. C. D.
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，且与方向相反，若，则在方向上的投影向量的坐标是( )
A. B. C. D.
4.函数的部分图象可能为( )
A. B.
C. D.
5.已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
6.有种不同的颜色给图中的个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用种颜色，则不同的涂色方法种数为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，且对恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数一般地，阶导数的导数叫做阶导数，函数的阶导数记为，例如的阶导数若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 已知函数在上可导，若，则
B.
C. 已知函数，若，则
D. 设函数的导函数为，且，则
10.某校高二年级安排甲、乙、丙三名同学到，，，，五个社区进行暑期社会实践活动，每名同学只能选择一个社区进行实践活动，且多名同学可以选择同一个社区进行实践活动，则下列说法正确的有( )
A. 如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有种
B. 如果同学甲必须选择社区，则不同的安排方法有种
C. 如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有种
D. 如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有种
11.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，此定理得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个实数使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点现新定义：若满足，则称为的次不动点设函数，若在区间上存在次不动点，则的取值可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且，则 ______．
13.某冬令营计划利用寒假开设甲、乙等六门体验课程，每天一门，连续开设六天，若课程甲、乙排在不相邻的两天，则不同的排法种数有______．
14.已知可导函数的导函数为，，若对任意的，都有，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求函数的极值；
若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．
16.本小题分
如图，四边形是圆柱底面的内接矩形，是圆柱的母线．
证明：在侧棱上存在点，使平面；
在的条件下，设二面角为，，，求三棱锥的体积．
17.本小题分
已知函数是自然对数的底数．
当时，求的极值点；
讨论函数的单调性；
若有两个零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知数列和，其中，，数列的前项和为．
若，求；
若是各项为正的等比数列，，求数列和的通项公式．
19.本小题分
已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
讨论的单调性；
若存在，，且，使得，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设，，，
则，
所以，，
解得，，即，
所以．
故选：．
设，利用复数的四则运算列方程求解即可．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：集合，，
则，
故A．
故选：．
根据已知条件，结合集合的运算，即可求解．
本题主要考查集合的运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意知向量，共线，
故，解得或，
又因为且与方向相反，故，
所以，而，
则在方向上的投影向量是，
即在方向上的投影向量的坐标是．
故选：．
根据向量的共线求得的值，结合与方向相反确定，根据向量的投影向量的定义即可求得答案．
本题主要考查投影向量的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，
由于，排除，；
求导可得：，
当时，，即，故在上单调递减，排除．
故选：．
根据题意，由函数的解析式求出据，排除、，再求出函数的导数，分析单调性排除，即可得答案．
本题考查函数的图象，涉及函数单调性的判断，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：结合导数与单调性的关系及已知函数图象可知，
当和时，函数单调递增，，
当，函数单调递减，，
由可得，或，
解可得，或．
故选：．
结合图象可知，当和时，函数单调递增，，当，函数单调递减，，结合已知不等式可求．
本题主要考查了导数与单调性关系的简单应用，属于基础试题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，分种情况讨论：
用种颜色涂色，有种涂色方法；
用种颜色涂色，有种涂色方法；
故有种涂色方法．
故选：．
根据题意，按使用颜色的数目分种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设，因为恒成立，
等价于，即，
令，则，所以在上为减函数，
所以在在上恒成立，即在上恒成立，
令，，则，
所以函数在上单调递减，在单调递增，
又，，且，
所以，
所以，解得，
故选：．
设，由题意，原问题等价于，令，则，进而可得在上为减函数，则在上恒成立，即从而即可求解．
本题主要考查不等式的恒成立问题，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：，，
，
．
故选：．
可通过求一阶导数和二阶导数找规律，从而得出的阶导数，然后即可得出答案．
本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，，故A错误．
对于，，故B错误．
对于，，若，则即，故C正确．
对于，，故，故，故D正确．
故选：．
根据导数的定义可判断的正误，根据导数的四则运算可判断的正误，根据复合函数的导数的运算规则可判断的正误．
本题主要考查了导数的定义及函数的求导公式的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有种，故A正确；
对于，如果同学甲必须选择社区，则不同的安排方法有种，故B错误；
对于，如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有种，故C正确；
对于，甲、乙两名同学必须在同一个社区，第一步，将甲、乙视作一个整体，第二步，两个整体挑选社区，则不同的安排方法共有种，故D错误．
故选：．
对于，根据社区必须有同学选择，由甲、乙、丙三名同学都有种选择减去有种选择求解；对于，根据同学甲必须选择社区，有乙丙都有种选择求解；对于，根据三名同学选择的社区各不相同求解；对于，由甲、乙两名同学必须在同一个社区，捆绑再选择求解；
本题主要考查了排列组合知识，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，若在区间上存在次不动点，
则在区间上有解，
即，
即有解，
令，，则，
令函数，且单调递增，
当时，，
所以在上单调递增，
，
所以为偶函数，
所以在上单调递减，
，，
故，，
则，．
故选：．
由题意可得，在上有解，即有解，然后换元构造函数，利用导数求最值即可．
本题属于新概念题，考查了函数的奇偶性、单调性及导数的综合运用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由，求导得，则，
由，求导得，
所以．
故答案为：．
对给定函数求导，再求出在处的导数值即得．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：先排甲、乙以外的四门体验课程，此时有种，
再用插空法排甲、乙两门体验课程，此时有种，
则不同的排法共有种．
故答案为：．
利用插空法先排其它四门，然后再排甲、乙两门，利用分步乘法公式从而求解．
本题主要考查了排列组合知识，考查了“插空法”的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意对任意的，都有，即，
令，则，即为上的增函数，
而，故，
又，即，得，
即不等式的解集为．
故答案为：．
构造新函数，利用导数结合即可求解不等式．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
15.【答案】解：时，，定义域为，
，
令，解得或舍去，
令，解得，令，解得，
故在处取得极小值，极小值为，
的极小值为，无极大值．
在区间上为减函数，
在区间上，
，
令，只需，
显然在区间上为减函数，
，
．
的取值范围是．
【解析】求定义域，求导，根据导函数求出单调区间，从而得到极值情况；
由题意得在区间上，参变分离，构造函数，求出最小值，得到答案．
本题考查了利用导数研究函数单调性和极值，考查了构造函数解决问题的能力，考查了函数思想，属于中档题．
16.【答案】解：证明：如图，当为侧棱的中点时，有平面，理由如下：
设底面矩形的对角线的交点为，则为的中点，当为侧棱的中点时，
可得，又平面，平面，
平面，
故在侧棱上存在中点，使平面；
的条件下，可知为的中点，
是圆柱的母线，
垂直底面圆，又四边形是圆柱底面的内接矩形，
平面，又平面，
，又，且，
平面，
，，，，又为的中点，
，为正三角形，
，，
过作直线的垂线，垂足点为，连接，平面，
根据三垂线定理可知二面角的平面角为，
又易知，，
又到底面的距离为，
三棱锥的体积为．
【解析】根据三角形中位线性质，线面平行的判定定理，即可证明；
易证平面，过作直线的垂线，垂足点为，连接，则根据三垂线定理可知二面角的平面角为，从而求出的长度，再根据三棱锥的体积公式即可求解．
本题考查线面平行的证明，二面角问题的求解，三棱锥的体积的求解，三垂线定理的应用，属中档题．
17.【答案】解：由题意得当时，，，则，
由得，由得，由得，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值，即极小值点为，无极大值点；
由题意得，，
当时，，即在上单调递增；
当时，由得，由得，由得，
在 上单调递减，在 ，上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在 上单调递减，在 ，上单调递增；
有两个零点，转化为有两个零点，
令，则在上恒成立，
在上单调递增，
有两个零点，转化为有两个零点，
则，，
当时，，即在上单调递增，不可能有两个零点；
当时，由得，由得，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值也是最小值，即，
若，则，此时恒成立，没有零点；
若，则，此时有一个零点；
若，则，
又，，，
由零点存在性定理得在，上各存在一个零点，符合题意；
综上所述，的取值范围为．
【解析】由题意得当时，，，则，利用导数与极值的关系，即可得出答案；
由题意得，，分类讨论，，即可得出答案；
题意转化为转化为有两个零点，令，则在上恒成立，即在上单调递增，有两个零点，即有两个零点，利用导数研究，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，考查转化思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：当时，，从而是等差数列，，
，所以是等比数列，
又，则，
所以．
是各项为正的等比数列，设其首项为，公比为，
由，可得，则，定值
则数列为等差数列，设其首项为，公差为，
由数列的前项和，
可得方程组，整理得，
解得：，，，则，
由，可得，则，
则数列的通项公式为；数列的通项公式为．
【解析】先判定数列和分别为等差和等比数列，进而分别得到其通项公式，从而利用分组求和的方法得到数列的前项和．
利用数列的前项和列出方程组，解之即可求得、、、，进而求得数列和的通项公式．
本题考查数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式求出数列的通项公式，是难题．
19.【答案】解：当时，，，
又，，
在处的切线方程为，即．
，，
令，，
在上单调递增，由，得，
在上单调递减，在上单调递增．
证明：，时，，
，
，
即，
由，得，
即，
，
令，，
设，，，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
下面证明，又，即证，
即证，
即证，
令，，，
在上单调递增，，从而得证，
故，
即，
，
．
【解析】求出，对求导，求出，利用点斜式即可得解；
对求导，利用导数与单调性的关系求解即可；
求出的范围，由，变形可得，令，，，利用导数判断的单调性，再证，即证，令，利用导数导数判断函数的单调性即可得证．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
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