数学人教A版(2019)必修第二册8.3.1多面体的表面积与体积 课件（共34张ppt）

(共34张PPT)
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 多面体的表面积和体积
教学目标与重难点
教学目标：
掌握利用给定的图形、条件计算多面体（棱柱、棱锥、棱台）的表面积与体积的方法，培养直观想象与数学运算能力
教学重点：
棱柱、棱锥、棱台的体积计算公式
棱锥、棱台中高、侧棱长与侧面斜高的关系
教学难点：组合体表面积与体积的求法
案例分析
尚老板现要制作一个长、宽、高分别为60 cm、40 cm、20 cm的封闭空心瓦楞纸箱，他至少需要购买面积为多大的纸板？
多面体的表面积
多面体是若干个平面图形围成的空间几何体，其表面积是围成多面体各个面的面积之和。
多面体的表面积【例1-a】
如图，四面体P-ABC各棱长均为，求它的表面积.
解：四面体P-ABC由四个边长均为的正三角形围成
则四面体的表面积
确定各个表面的情况
计算各个表面的面积，再相加
多面体的表面积【例1-b】
如图，正四棱台-的上、下底面边长分别为3、5，侧棱长为，求它的表面积.
解：正四棱台-小正方形、1个大正方形、4个全等的等腰梯形围成
其上底面积
下底面积
而侧面梯形的上底、下底、腰的长度分别为3、5、
多面体的表面积【例1-b】
可过作AB的垂线，垂足为M，可知
则侧面高
则正四棱台的表面积
多面体的表面积【变式1-a】
如图，四面体P-ABC中，PA=AB=AC=2且这三条棱两两垂直，求它的表面积.
解：四面体P-ABC由四个三角形围成，且其中三个为直角三角形，由勾股定理求得，第四个面为正三角形
则四面体的表面积
多面体的表面积【变式1-b】
如图，正六棱锥P-ABCDEF的底面边长为，侧棱长为，求它的表面积.
解：正六棱锥P-ABCDEF由七个面围成，包含1个边长为2的正六边形，6个全等的等腰三角形
正六边形ABCDEF可以切割为6个正三角形
故底面积
多面体的表面积【变式1-b】
过点作PMAB于M，故=BM=1
故侧面积
综上，表面积= +
多面体的表面积【变式1-c】
三棱锥P-ABC中，PA=BC=4，PB=AC=5，PC=AB=6，求它的表面积.
解：三棱锥P-ABC由四个全等的三角形围成
故
则
表面积
多面体的表面积——方法小结
多面体表面积计算的一般方法：
根据实际问题所给条件，绘制相应的直观图（给出图形则可跳过本步骤）；
准确地判断多面体各个表面的形状，确定各类平面图形面积计算中所需要的数据；
计算每个平面图形的面积（可能需要用到正弦/余弦定理），而后将结果相加.
实践活动
将整齐摆放的一摞草稿纸向一侧推动，使其倾斜。
每一张草稿纸的面积大小改变了吗？
这一摞草稿纸的厚度改变了吗？
这一摞草稿纸的外观形状改变了吗？
草稿纸所占空间的大小发生变化了吗？
多面体的体积
通过实践活动中的探索与思考，我们可以认为，在两个底面大小和底面距离都不变的情况下，棱柱的体积不变。
我们之前学过的长方体的体积计算公式如下：
体积=长宽高
其中“长宽”等于长方体的底面积，故该公式可以改写为
体积=底面积高
多面体的体积
结合以上事实，类比于长方体的体积公式，我们可以提出棱柱的体积公式：
其中是棱柱的底面积，是棱柱的高（过一个底面内一点作另一个底面的垂线，这一点与垂足之间的距离称为高），特殊地，直棱柱的侧棱与底面垂直，其所有侧棱的长度均等于高。
多面体的体积
研究表明，棱锥的体积公式为：
其中是棱锥的底面积，是棱锥的高（过顶点作底面的垂线，顶点与垂足之间的距离称为高），特殊地，正棱锥的顶点与底面正多边形中心的连线就是它的高。
在底面积和高相同的情况下，棱柱的体积为棱锥的3倍。
多面体的体积
棱台可以视为一个大棱锥截去一个小棱锥得到的几何体，因此我们借助棱锥体积公式，推出了棱台体积的计算公式：
其中、分别是棱台的两个底面积，是棱台的高（与棱柱的高作法相同，即过一个底面内一点作另一个底面的垂线，这一点与垂足之间的距离称为高）。
计算过程中容易遗漏！
多面体的体积【例2-a】
某直四棱柱的所有棱长均为3，且底面四边形的一个内角大小为，求其体积.
解：根据题目所给条件，可绘制如下的直观图，并有该棱柱的底面为边长为3的菱形，侧棱长（高）也是3
连接BD，可以发现底面被分为两个正三角形
故棱柱体积
多面体的体积【例2-b】
在棱长为4的正方体-中，E为的中点，分别求四棱锥E- 、三棱锥E-的体积.
解：根据题目所给条件，可绘制如下的直观图
在正方体中，侧棱与底面ABCD垂直
故四棱锥E- 的高即是EB
棱锥体积
多面体的体积【例2-b】
在三棱锥E-中，以为底面，需要过顶点E作底面的垂线来求棱锥的高，而在正方体中，过底面的点向作垂线可得正方体的高，故正方体的高就是三棱锥E-的高
棱锥体积
多面体的体积【例2-c】
公园中的水泥路障可近似视为正四棱台，其上表面边长为20 cm，下表面边长为40 cm，高40 cm，求其体积.
解：棱台的上、下表面面积分别为
、
故体积为
多面体的体积【变式2-a】
已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，求三棱锥D-ACD1的体积.
解：三棱锥D-ACD1若以ACD1为底面，则D到底面ACD1的距离计算较为困难，故采用ACD为底面，顶点D1到底面的距离即线段DD1的长度
故体积为
多面体的体积【变式2-b】
如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱=8，若水平放置侧面时，水面恰好过AC、BC、、的中点，那么当底面ABC水平放置时，水面高为多少
解：设底面ABC中，=a，AB边上的高为h
则水面恰好位于三角形的中位线处
则容器中水的体积为
设当底面ABC水平放置时，水面高为，则
解得=6
多面体的体积——方法小结
多面体体积计算的一般方法：
根据实际问题所给条件，绘制相应的直观图（给出图形则可跳过本步骤）；
判断需要计算几何体的类别，确定底面与高（三棱锥因其特殊性，存在四种底面和高的组合可供选择，要尽量采用面积和垂线长度计算较简便的方案，以提高正确率）；
根据公式进行计算。
重难点突破【例3】
正四棱锥-ABCD的底面边长为，所有侧面的面积之和为，求该棱锥的体积.
解：正四棱锥的四个侧面为全等的等腰三角形，故侧面的高PE同时也是中线，可知，解得
将底面中心O与、E分别连接，由正四棱锥性质可知
= ，
故体积为
重难点突破【变式3】
已知四棱锥的侧棱长均为3，底面是边长为2的正方形，求该四棱锥的体积.
解：作出底面对角线、，其交点为底面中心H
由正四棱锥性质可知该四棱锥的高为PH
且= ，
故体积为
重难点突破——方法小结1
棱柱、棱锥、棱台的高与底面垂直，即和底面内的任意直线垂直（具体内容在“8.6空间直线、平面的垂直”学习），在求多面体的表面积、体积时，可以构造合适的直角三角形帮助计算。
重难点突破【例4-a】
如图所示，一个薄壁漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5 m，公共面ABCD是边长1 m的正方形，则这个漏斗的容积是多少？
解：图中几何体是两部分的组合，其体积等于两部分之和
故体积为
重难点突破【例4-b】
已知正方体-的棱长为，则
（1）判断三棱锥的形状
（2）求三棱锥的体积
解:（1）三棱锥共有六条棱
且
故三棱锥为棱长为的正四面体
重难点突破【例4-b】
（2）三棱锥可以视为
从正方体-上切下
四个相同的三棱锥
、 -ABC、 、 -ACD
故三棱锥的体积为
重难点突破【变式4】
如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，截下一个三棱锥D′-A′DC，求三棱锥D′-A′DC的体积与剩余部分的体积的比值
设AB=a,AD=b,DD′=c,
则长方体ABCD-A′B′C′D′的体积V=abc.
因为=,
又S△A′DD′=bc,且三棱锥C-A′DD′的高为CD=a,
所以=S△A′DD′·CD=abc.
则剩余部分的几何体体积V剩=abc-abc=abc.
故∶V剩=abc∶abc=1∶5.
重难点突破——方法小结2
在求几何体的体积时，如果碰到了图形复杂、难以计算的情况，可以考虑以下方法：
将其切割为若干个可求体积的简单几何体（a、b、c、d、...），然后将各部分体积相加，得到整体的体积（a+b+c+d+...）；
将其视为一个更大的规则几何体（X）上切去若干部分（a、b、c、d、...）后形成的结果，计算补上的各部分与补全后完整几何体的体积，最后相减得到结果（X-a-b-c-d-...）
课堂总结
多面体的表面积是围成多面体各个面的面积之和。
棱柱的体积公式：
棱锥的体积公式为：
棱台体积的计算公式：