7.1.1 条件概率 教学设计
文档属性
| 名称 | 7.1.1 条件概率 教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 101.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-21 12:01:24 | ||
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文档简介
《条件概率》教学设计
本节课内容选自普通高中教科书人教A版数学选择性必修第三册第七章第一节《条件概率与全概率公式》，共2个课时，《7.1.1条件概率》是第一课时.通过本单元的学习，学生需要用数学的眼光看待随机事件的概率，能用概率的一般概念解释具体现象，并通过条件概率和独立性等数学概念分析复杂问题，寻找解决复杂问题的方法.学习过程中蕴含着数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.以下从内容与内容解析、目标与目标解析、教学问题诊断解析、教学过程分析四个方面说明这节课的理解和设计。
内容与内容解析
内容：条件概率，概率的乘法公式.
内容解析：
随机事件的条件概率是概率论的重要概念之一.由条件概率得到两个不独立
事件的概率乘法公式、全概率公式，它们是求很多复杂事件概率的有用工具.结合古典概型，研究随机事件的条件概率，并用它们计算较复杂事件的概率是概率学习的深入和提高.条件概率顾名思义是指一个事件A已经发生的条件下另一个事件B发生的概率.已知事件A发生，试验的样本点属于A，因此A成为新的样本空间，所以条件概率本质上是在缩减的样本空间A上事件AB的概率.条件概率同样具有概率的三条基本性质.通过古典概型得到的条件概率的概念及公式，对于一般随机事件的条件概率都适用，具有普遍意义.
教学重点：条件概率的概念及计算，概率的乘法公式及应用.
目标与目标解析
目标：结合古典概型，了解条件概率与概率的乘法公式，了解条件概率与独立性的关系；能计算简单的随机事件的条件概率。
目标解析：
通过实例引导学生探究发现，由特殊到一般，得到条件概率的定义式
并简单应用.
在验证条件概率定义的过程中，体会条件概率的思想，感受其本质为基本事件范围的缩小，并简单应用.
通过条件概率的发现过程提升学生的数学抽象素养，通过对条件概率定义的验证以及模型的应用提升逻辑推理和数学建模素养.
三、教学问题诊断解析
1. 问题诊断：
由于具体问题中的许多条件概率问题与我们的直觉相悖，因此往往很难迅速得到正确的答案，这就是概率问题不同于其他数学问题之处.因此，学生在学习条件概率概念时可能会产生困惑，对条件概率定义的理解会存在偏差.由于古典概型的条件概率计算总可以通过缩小样本空间转化为非条件概率的计算，因此学生在学习心理上可能会不自觉地拒绝接受条件概率的概念.另外，独立性是概率论中极其重要的概念，独立性的概念可以用条件概率描述，但在实际操作中两个随机独立性的判断往往是基于学生的经验，所以学生容易忽视独立性与条件概率之间的关系.
2. 方法策略：
认识论告诉我们，认识就是在实践—认识—再实践—再认识的过程中不断深化的。此过程并不是一帆风顺的，让学生学会迂回方式在已有知识和经验的基础上主动建构，体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，条件概率定义式的验证与应用其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．
整节课贯穿启发式教学原则，并由此获得成功的体验，激发学生学习数学的兴趣和学好数学的信心，践行 “学会思考，体验过程，学会表达”的理念。
3. 教学重难点：对条件概率中“条件”的正确理解，条件概率与无条件概率的比较.
四、教学过程分析
引导语：我们知道，当两个事件A和B相互独立时，.如果事件A和B不相互独立，如何计算呢？是否也有一个一般的公式呢？下面我们先来看一个相关的问题.
情景导入
问题1：某班级有45名学生，其中男、女生人数及团员的人数如表1所示.
团员 非团员 合计
男生 16 9 25
女生 14 6 20
合计 30 15 45
在班级里随机选择一人做代表：
选到男生的概率是多少？
如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？
师生活动：先由学生尝试自主完成上面的问题，要求学生在每个问题中用符
号表示样本空间和相关的事件，分析是否满足古典概型的条件.
在问题（1）中，随机选择1人做代表，则样本空间包含45个等可能的样本点.设A=“选到团员”，B=“选到男生”.则有,,.根据古典概型知识可知，选到男生的概率.
对于问题（2），引导学生分析“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为.此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含的样本点数，可用表2直观表示.根据古典概型知识可知.
表2
团员 非团员 合计
男生 16 16
女生 14 14
合计 30 30
追问：事件A的发生是如何改变样本空间的？是增大样本空间，还是缩小样本空间？
师生活动：教师引导学生思考、交流、总结.
设计意图：通过具体的实例，引入条件概率的直观概念，使学生认识到在事件A发生的条件下，会缩小样本空间，条件概率本质上是在新的样本空间A中事件AB的概率，即.运用图表，能够使学生直观理解有关概念，进行条件概率的计算.
设计意图：通过问题，引导学生发现对于一般的古典概型，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是.
抽象概念
问题3：结合以上两个问题，你能探索条件概率与，，
之间的关系吗？
师生活动：借助图1可知，若已知事件A发生，则A成为样本空间.此时，事件B发生的概率是AB包含样本点数与A包含样本点数的比值，即.因为，
所以在事件A发生的条件下，事件B发生的概率可以通过来计算. 图1
于是，给出一般的条件概率的定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且
，我们称为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
设计意图：由具体实例抽象概括共同特征以形成数学概念机，是数学抽象的重要表现形式，也是重要的数学思想方法，条件概率的定义不再局限于古典概型，对于一般的概率模型都成立，这也是数学概念的一般性的体现。
精微概念（条件概率与独立性的关系，乘法公式）
问题：在以上问题的探究过程中，我们发现与一般不相等.如果与相等，那么事件A与B应满足什么条件？为什么？
师生活动：教师引导学生根据的直观意义，先猜结果，再说明理由.然后师生活动进行交流，教师进行归纳总结.有的学生可能跳过直观猜想的步骤，直接根据条件概率的定义及事件独立性的定义，得出结论，这是教师可要求学生进行直观解释.
直观上看，当事件A与事件B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，这等价于.
事实上，若事件A与B相互独立，即，且，则.反之，若，且，即，所以有，即事件A与B相互独立.因此，当，当且仅当A与B相互独立时，有.
追问：对于任意两个事件A与B，如果已知与，如何计算呢？
师生活动：教师引导学生通过对条件概率公式进行变形，得到计算的公式，即对于任意两个事件A与B，若，则，称此式为概率的乘法公式.同理，若，则.
设计意图：通过对问题的进一步深入探究，得到两事件A，B相互独立的重要条件，并推导出概率的乘法公式.有了条件概率的定义、条件概率与独立性的关系、概率乘法公式，就初步具备了解决较复杂概率问题的能力.
应用新知（条件概率、乘法公式的应用）
例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，
抽出的题不再放回，求：
第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率.
在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.
师生活动：教师先作示范性分析，强调“抽出的题不再放回”的意义，具
体为：如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，由于“抽出的题不再放回”，所以两个事件是不独立的，那么问题（1）就是求积事件的概率，问题（2）就是条件概率.可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率；也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率。
接着，由学生独立完成.在学生完成本例题的解答以后，教师给出完整的解题过程.
变式练习：掷两颗均匀骰子，
问：（1）“第一颗掷出6点的概率是多少？”
（2）“掷出点数之和不小于10”的概率又是多少？
（3）“已知第一颗掷出6点，则掷出点数之和不小于10”的概率呢
师生活动：由学生独立完成并讲解.在学生完成本例题的解答以后，教师给出完整的解题过程.
追问：通过以上的例题解答，请问条件概率一般有几种方法？你认为条件概率有什么性质？
师生活动：学生思考并回答问题，教师进行总结.
（1）求条件概率一般有两种方法：一种是基于样本空间，先计算和，利用条件概率公式求；另一种是根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求就是以A为样本空间计算AB的概率.
（2）条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设，则1）
2）如果B和C是两个互斥事件，则
3）设互为对立事件，则.
设计意图：通过具体问题分清条件概率与积事件概率的联系与区别，归纳求条件概率的两种一般方法，总结条件概率的基本性质.
例2 已知3张奖券中只有一张有奖，甲、乙、丙3名同学依次无放回地各抽一张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？
师生活动：本例题由学生自主完成，教师引导学生关注“中奖的概率与抽奖的次序有关吗？”这个问题的本质是计算甲、乙、丙中奖的概率.如果概率相等，那么与抽奖次序无关；如果概率不相等，那么与抽奖次数有关.
追问：如果是放回随机抽样，中奖的概率与抽奖的次序有关吗？获奖的情况会有什么改变？
师生活动：教师引导学生与放回随机抽样中奖的概率进行比较，得出结论：在抽奖问题中，无论是放回还是不放回，中奖的概率都与抽奖的次序无关.
设计意图：通过一个简单的具体问题，把对问题的判断转化成概率的计算问题，根据概率计算的结果作出正确的判断.这个问题虽然可以利用古典概型概率公式求解，安排在本节的意图是让学生体会用乘法公式计算概率，具有解题思路清晰，运算量小等优点.
总结提升
教师引导学生回顾本节课的学习过程，并让学生回答以下问题：
什么是条件概率？条件概率与积事件的概率有什么关系？
对于随机事件A，B，请你说一说“事件A，B同时发生”与“在事件
A发生的条件下，事件B发生”的区别，这两个事件的概率有什么关系？哪个概率较大？
求条件概率一般有几种方法？
条件概率有哪些性质？如何运用条件概率的性质求较复杂事件的概
率？
设计意图：通过以上4个问题，梳理本节课的核心内容和主要方法，使学生能在整体上把握条件概率的含义，能运用条件概率的知识进行概率计算.
布置作业
教科书第48页练习1，2题，习题7.1第1，2，3，6，9，10题
设计意图：考查学生对条件概率概念的了解，以及对条件概率与积事件的区别与联系的了解.
本节课内容选自普通高中教科书人教A版数学选择性必修第三册第七章第一节《条件概率与全概率公式》，共2个课时，《7.1.1条件概率》是第一课时.通过本单元的学习，学生需要用数学的眼光看待随机事件的概率，能用概率的一般概念解释具体现象，并通过条件概率和独立性等数学概念分析复杂问题，寻找解决复杂问题的方法.学习过程中蕴含着数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.以下从内容与内容解析、目标与目标解析、教学问题诊断解析、教学过程分析四个方面说明这节课的理解和设计。
内容与内容解析
内容：条件概率，概率的乘法公式.
内容解析：
随机事件的条件概率是概率论的重要概念之一.由条件概率得到两个不独立
事件的概率乘法公式、全概率公式，它们是求很多复杂事件概率的有用工具.结合古典概型，研究随机事件的条件概率，并用它们计算较复杂事件的概率是概率学习的深入和提高.条件概率顾名思义是指一个事件A已经发生的条件下另一个事件B发生的概率.已知事件A发生，试验的样本点属于A，因此A成为新的样本空间，所以条件概率本质上是在缩减的样本空间A上事件AB的概率.条件概率同样具有概率的三条基本性质.通过古典概型得到的条件概率的概念及公式，对于一般随机事件的条件概率都适用，具有普遍意义.
教学重点：条件概率的概念及计算，概率的乘法公式及应用.
目标与目标解析
目标：结合古典概型，了解条件概率与概率的乘法公式，了解条件概率与独立性的关系；能计算简单的随机事件的条件概率。
目标解析：
通过实例引导学生探究发现，由特殊到一般，得到条件概率的定义式
并简单应用.
在验证条件概率定义的过程中，体会条件概率的思想，感受其本质为基本事件范围的缩小，并简单应用.
通过条件概率的发现过程提升学生的数学抽象素养，通过对条件概率定义的验证以及模型的应用提升逻辑推理和数学建模素养.
三、教学问题诊断解析
1. 问题诊断：
由于具体问题中的许多条件概率问题与我们的直觉相悖，因此往往很难迅速得到正确的答案，这就是概率问题不同于其他数学问题之处.因此，学生在学习条件概率概念时可能会产生困惑，对条件概率定义的理解会存在偏差.由于古典概型的条件概率计算总可以通过缩小样本空间转化为非条件概率的计算，因此学生在学习心理上可能会不自觉地拒绝接受条件概率的概念.另外，独立性是概率论中极其重要的概念，独立性的概念可以用条件概率描述，但在实际操作中两个随机独立性的判断往往是基于学生的经验，所以学生容易忽视独立性与条件概率之间的关系.
2. 方法策略：
认识论告诉我们，认识就是在实践—认识—再实践—再认识的过程中不断深化的。此过程并不是一帆风顺的，让学生学会迂回方式在已有知识和经验的基础上主动建构，体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，条件概率定义式的验证与应用其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．
整节课贯穿启发式教学原则，并由此获得成功的体验，激发学生学习数学的兴趣和学好数学的信心，践行 “学会思考，体验过程，学会表达”的理念。
3. 教学重难点：对条件概率中“条件”的正确理解，条件概率与无条件概率的比较.
四、教学过程分析
引导语：我们知道，当两个事件A和B相互独立时，.如果事件A和B不相互独立，如何计算呢？是否也有一个一般的公式呢？下面我们先来看一个相关的问题.
情景导入
问题1：某班级有45名学生，其中男、女生人数及团员的人数如表1所示.
团员 非团员 合计
男生 16 9 25
女生 14 6 20
合计 30 15 45
在班级里随机选择一人做代表：
选到男生的概率是多少？
如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？
师生活动：先由学生尝试自主完成上面的问题，要求学生在每个问题中用符
号表示样本空间和相关的事件，分析是否满足古典概型的条件.
在问题（1）中，随机选择1人做代表，则样本空间包含45个等可能的样本点.设A=“选到团员”，B=“选到男生”.则有,,.根据古典概型知识可知，选到男生的概率.
对于问题（2），引导学生分析“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为.此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含的样本点数，可用表2直观表示.根据古典概型知识可知.
表2
团员 非团员 合计
男生 16 16
女生 14 14
合计 30 30
追问：事件A的发生是如何改变样本空间的？是增大样本空间，还是缩小样本空间？
师生活动：教师引导学生思考、交流、总结.
设计意图：通过具体的实例，引入条件概率的直观概念，使学生认识到在事件A发生的条件下，会缩小样本空间，条件概率本质上是在新的样本空间A中事件AB的概率，即.运用图表，能够使学生直观理解有关概念，进行条件概率的计算.
设计意图：通过问题，引导学生发现对于一般的古典概型，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是.
抽象概念
问题3：结合以上两个问题，你能探索条件概率与，，
之间的关系吗？
师生活动：借助图1可知，若已知事件A发生，则A成为样本空间.此时，事件B发生的概率是AB包含样本点数与A包含样本点数的比值，即.因为，
所以在事件A发生的条件下，事件B发生的概率可以通过来计算. 图1
于是，给出一般的条件概率的定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且
，我们称为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
设计意图：由具体实例抽象概括共同特征以形成数学概念机，是数学抽象的重要表现形式，也是重要的数学思想方法，条件概率的定义不再局限于古典概型，对于一般的概率模型都成立，这也是数学概念的一般性的体现。
精微概念（条件概率与独立性的关系，乘法公式）
问题：在以上问题的探究过程中，我们发现与一般不相等.如果与相等，那么事件A与B应满足什么条件？为什么？
师生活动：教师引导学生根据的直观意义，先猜结果，再说明理由.然后师生活动进行交流，教师进行归纳总结.有的学生可能跳过直观猜想的步骤，直接根据条件概率的定义及事件独立性的定义，得出结论，这是教师可要求学生进行直观解释.
直观上看，当事件A与事件B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，这等价于.
事实上，若事件A与B相互独立，即，且，则.反之，若，且，即，所以有，即事件A与B相互独立.因此，当，当且仅当A与B相互独立时，有.
追问：对于任意两个事件A与B，如果已知与，如何计算呢？
师生活动：教师引导学生通过对条件概率公式进行变形，得到计算的公式，即对于任意两个事件A与B，若，则，称此式为概率的乘法公式.同理，若，则.
设计意图：通过对问题的进一步深入探究，得到两事件A，B相互独立的重要条件，并推导出概率的乘法公式.有了条件概率的定义、条件概率与独立性的关系、概率乘法公式，就初步具备了解决较复杂概率问题的能力.
应用新知（条件概率、乘法公式的应用）
例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，
抽出的题不再放回，求：
第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率.
在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.
师生活动：教师先作示范性分析，强调“抽出的题不再放回”的意义，具
体为：如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，由于“抽出的题不再放回”，所以两个事件是不独立的，那么问题（1）就是求积事件的概率，问题（2）就是条件概率.可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率；也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率。
接着，由学生独立完成.在学生完成本例题的解答以后，教师给出完整的解题过程.
变式练习：掷两颗均匀骰子，
问：（1）“第一颗掷出6点的概率是多少？”
（2）“掷出点数之和不小于10”的概率又是多少？
（3）“已知第一颗掷出6点，则掷出点数之和不小于10”的概率呢
师生活动：由学生独立完成并讲解.在学生完成本例题的解答以后，教师给出完整的解题过程.
追问：通过以上的例题解答，请问条件概率一般有几种方法？你认为条件概率有什么性质？
师生活动：学生思考并回答问题，教师进行总结.
（1）求条件概率一般有两种方法：一种是基于样本空间，先计算和，利用条件概率公式求；另一种是根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求就是以A为样本空间计算AB的概率.
（2）条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设，则1）
2）如果B和C是两个互斥事件，则
3）设互为对立事件，则.
设计意图：通过具体问题分清条件概率与积事件概率的联系与区别，归纳求条件概率的两种一般方法，总结条件概率的基本性质.
例2 已知3张奖券中只有一张有奖，甲、乙、丙3名同学依次无放回地各抽一张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？
师生活动：本例题由学生自主完成，教师引导学生关注“中奖的概率与抽奖的次序有关吗？”这个问题的本质是计算甲、乙、丙中奖的概率.如果概率相等，那么与抽奖次序无关；如果概率不相等，那么与抽奖次数有关.
追问：如果是放回随机抽样，中奖的概率与抽奖的次序有关吗？获奖的情况会有什么改变？
师生活动：教师引导学生与放回随机抽样中奖的概率进行比较，得出结论：在抽奖问题中，无论是放回还是不放回，中奖的概率都与抽奖的次序无关.
设计意图：通过一个简单的具体问题，把对问题的判断转化成概率的计算问题，根据概率计算的结果作出正确的判断.这个问题虽然可以利用古典概型概率公式求解，安排在本节的意图是让学生体会用乘法公式计算概率，具有解题思路清晰，运算量小等优点.
总结提升
教师引导学生回顾本节课的学习过程，并让学生回答以下问题：
什么是条件概率？条件概率与积事件的概率有什么关系？
对于随机事件A，B，请你说一说“事件A，B同时发生”与“在事件
A发生的条件下，事件B发生”的区别，这两个事件的概率有什么关系？哪个概率较大？
求条件概率一般有几种方法？
条件概率有哪些性质？如何运用条件概率的性质求较复杂事件的概
率？
设计意图：通过以上4个问题，梳理本节课的核心内容和主要方法，使学生能在整体上把握条件概率的含义，能运用条件概率的知识进行概率计算.
布置作业
教科书第48页练习1，2题，习题7.1第1，2，3，6，9，10题
设计意图：考查学生对条件概率概念的了解，以及对条件概率与积事件的区别与联系的了解.