1.1.1 平均变化率及其求法 教学设计
文档属性
| 名称 | 1.1.1 平均变化率及其求法 教学设计 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 347.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-21 12:03:48 | ||
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文档简介
平均变化率及其求法
人教版
（高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1）
一、内容和内容解析
1．内容
平均变化率及其求法
2．内容解析
本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1变化率与导数中的应用1.1.1变化率问题。本节内容通过分析研究2018年天猫双十一成交额在单位时间内增长快慢问题、运动员跑步问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：函数平均变化率的概念。
二、目标和目标解析
新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式，而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。
1．目标
（1）理解平均变化率的概念及内涵；
（2）掌握求平均变化率的一般步骤及几何意义.
2．目标解析
达成目标（1）的标志是：经历从生活中变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活.
达成目标（2）的标志是：通过例题的解析，让学生归纳求平均变化率的一般步骤，从而进一步理解平均变化率的概念，通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想.
三、教学问题诊断分析
天猫双十一购物狂欢节是每年很多人的生活体验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单。从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面.但是如何从具体实例中抽象共同的数学问题的本质是本节课的教学关键.
基于以上分析，本节课的教学难点是：如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念.
四、教学过程设计
1．观察实例归纳出函数平均变化率的概念
问题情景1 先从学生比较熟悉的天猫双十一购物狂欢节，在不同时段内成交额快慢的视频引入课题。
设计意图：使学生了解生活中的变化率问题，提高学生的学习兴趣，为归纳函数的平均变化率提供更多的实际背景.
教师追问1：0—2分与2—4分，单位时间内哪段时间的成交额变化快,为什么
教师追问2：从数的角度看呢？
师生活动：教师提出问题，学生思考回答，师生共同总结出以下几点：
(1)从形的角度看，图象越陡峭，成交额随时间变化越快，图象越平缓，成交额随时间变化越慢；
(2)从数的角度看，单位时间内的成交额越大，变化越快，单位时间内的成交额越小，变化越慢.
设计意图：紧扣本节课要研究的平均变化率的概念，使学生明确平均变化率的实质是单位时间内函数变化的快慢问题，也体现了数学中数形结合的思想.
问题情景2 让学生观察实例：一个人跑步的动态图.思考：为什么该人的运动s-t图不是直线段？
教师追问1：在0-t1与t1-t2时间段，单位时间内哪个变化更快？
师生活动：教师提出问题，学生思考回答，师生共同总结出以下几点：
(1)从形的角度看，图象越陡峭，路程随时间变化越快，图象越平缓，路程随时间变化越慢；
(2)从数的角度看，单位时间内的路程越大，变化越快，单位时间内的路程越小，变化越慢.
教师追问2：如何刻画一般的函数f(x)在区间[x1，x2]上随x变化（增加或减少）的“快”与“慢”？
师生活动：学生发言，教师引导学生归纳总结函数的平均变化率的概念，教师板书定义.
设计意图：让学生通过不同的实例，尝试描述平均变化率的实质，由特殊到一般，从而归纳总结出函数平均变化率的概念.
思考：观察f(x)的图象，平均变化率表示什么？
设计意图：从几何角度理解平均变化率的概念，即平均变化率的几何意义，体现数形结合的思想.
2.数学应用
例题1 已知f(x)=2x2+1，求： (1)从x=1到x=2的平均变化率；
(2)从x1到x2的平均变化率。
设计意图：概念的简单应用，教师引导学生总结出求平均变化率的一般步骤，教师板书，符合学生的认知规律.
例题2．某物体的运动速度随时间的变化情况如下图所示
（1）求0s-3s的速度平均变化率？
（2）求3s-7s的速度平均变化率？
（3）求7s-14s的速度平均变化率？
（4）求14s-20s的速度平均变化率？
思考：平均变化率的变化与函数图象的形状有何联系？
教师追问1：从几何意义的角度来分析，会是怎样的结果呢？
师生活动：让学生独立思考后，小组讨论，教师引导，师生共同得出以下结论：
平均变化率的绝对值越小，割线斜率K的绝对值越小，图象越平缓.
平均变化率的绝对值越大，割线斜率K的绝对值越大，图象越陡峭.
教师：平均变化率是曲线陡峭程度的 数量化，曲线陡峭程度是平均变化率的 视觉化.
设计意图：进一步加深对概念的理解，让学生深刻领会到数形结合的重要思想.
教师追问2：同学们能否列举一些生活中与平均变化率有关的例子？
教师：待学生列举后，给出艾宾浩斯遗忘曲线，说明遗忘有着什么样的变化规律呢？
.
师生活动：遗忘曲线告诉我们，学习之后要在第一时间安排复习和巩固练习，努力提高学习的动力和效率，制定合理的学习目标来指导我们的学习，只有不断地学习、巩固和积累，努力去思考和探索，才能创造更多的惊喜和奇迹。
设计意图：让学生明白数学知识来源于生活，又服务于生活，通过遗忘曲线使学生感受到复习的重要性，从而激励学生学习.
教师：通过几何画板，让学生观察图象的动态演示，直线与函数图象的两个交点A、B，当A点向B点无限接近直至两点重合时，此时的直线处于什么样的一种特殊状态呢？发现此时平均变化率的值无线趋近于某个常数，这个常数是否又有着某种特殊的含义呢？这就是我们下节课要学习的内容，有兴趣的同学可以尝尝新鲜，提前预习，去探索一番吧.
设计意图：充分体现平均变化率是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，起到承上启下的作用，提高学生提前预习的欲望.
3．总结提高
（1）函数平均变化率的概念是什么？它是通过什么实例总结出来的.
（2）求平均变化率的一般步骤是怎样的？
（3）这节课主要用了哪些数学思想？
师生活动：最后师生共同归纳总结：函数平均变化率的概念、天猫双十一及运动跑步
两个实例、求平均变化率的一般步骤、主要的数学思想有：从特殊到一般、数形结合思想.图象越陡峭，函数变化越快，平均变化率越大；平均变化率越小，函数变化越慢，图象越平缓.
设计意图：复习重点知识、思想方法、完善学生的认知结构.
4．知识巩固
（1）.课本习题A组：第1题
（3）.备选作业
设计意图：对一般学生布置（1）（2）题，而对学有余力的学生布置（3）题，体现了分层、有梯度的教学，及时巩固新知识.
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人教版
（高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1）
一、内容和内容解析
1．内容
平均变化率及其求法
2．内容解析
本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1变化率与导数中的应用1.1.1变化率问题。本节内容通过分析研究2018年天猫双十一成交额在单位时间内增长快慢问题、运动员跑步问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：函数平均变化率的概念。
二、目标和目标解析
新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式，而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。
1．目标
（1）理解平均变化率的概念及内涵；
（2）掌握求平均变化率的一般步骤及几何意义.
2．目标解析
达成目标（1）的标志是：经历从生活中变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活.
达成目标（2）的标志是：通过例题的解析，让学生归纳求平均变化率的一般步骤，从而进一步理解平均变化率的概念，通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想.
三、教学问题诊断分析
天猫双十一购物狂欢节是每年很多人的生活体验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单。从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面.但是如何从具体实例中抽象共同的数学问题的本质是本节课的教学关键.
基于以上分析，本节课的教学难点是：如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念.
四、教学过程设计
1．观察实例归纳出函数平均变化率的概念
问题情景1 先从学生比较熟悉的天猫双十一购物狂欢节，在不同时段内成交额快慢的视频引入课题。
设计意图：使学生了解生活中的变化率问题，提高学生的学习兴趣，为归纳函数的平均变化率提供更多的实际背景.
教师追问1：0—2分与2—4分，单位时间内哪段时间的成交额变化快,为什么
教师追问2：从数的角度看呢？
师生活动：教师提出问题，学生思考回答，师生共同总结出以下几点：
(1)从形的角度看，图象越陡峭，成交额随时间变化越快，图象越平缓，成交额随时间变化越慢；
(2)从数的角度看，单位时间内的成交额越大，变化越快，单位时间内的成交额越小，变化越慢.
设计意图：紧扣本节课要研究的平均变化率的概念，使学生明确平均变化率的实质是单位时间内函数变化的快慢问题，也体现了数学中数形结合的思想.
问题情景2 让学生观察实例：一个人跑步的动态图.思考：为什么该人的运动s-t图不是直线段？
教师追问1：在0-t1与t1-t2时间段，单位时间内哪个变化更快？
师生活动：教师提出问题，学生思考回答，师生共同总结出以下几点：
(1)从形的角度看，图象越陡峭，路程随时间变化越快，图象越平缓，路程随时间变化越慢；
(2)从数的角度看，单位时间内的路程越大，变化越快，单位时间内的路程越小，变化越慢.
教师追问2：如何刻画一般的函数f(x)在区间[x1，x2]上随x变化（增加或减少）的“快”与“慢”？
师生活动：学生发言，教师引导学生归纳总结函数的平均变化率的概念，教师板书定义.
设计意图：让学生通过不同的实例，尝试描述平均变化率的实质，由特殊到一般，从而归纳总结出函数平均变化率的概念.
思考：观察f(x)的图象，平均变化率表示什么？
设计意图：从几何角度理解平均变化率的概念，即平均变化率的几何意义，体现数形结合的思想.
2.数学应用
例题1 已知f(x)=2x2+1，求： (1)从x=1到x=2的平均变化率；
(2)从x1到x2的平均变化率。
设计意图：概念的简单应用，教师引导学生总结出求平均变化率的一般步骤，教师板书，符合学生的认知规律.
例题2．某物体的运动速度随时间的变化情况如下图所示
（1）求0s-3s的速度平均变化率？
（2）求3s-7s的速度平均变化率？
（3）求7s-14s的速度平均变化率？
（4）求14s-20s的速度平均变化率？
思考：平均变化率的变化与函数图象的形状有何联系？
教师追问1：从几何意义的角度来分析，会是怎样的结果呢？
师生活动：让学生独立思考后，小组讨论，教师引导，师生共同得出以下结论：
平均变化率的绝对值越小，割线斜率K的绝对值越小，图象越平缓.
平均变化率的绝对值越大，割线斜率K的绝对值越大，图象越陡峭.
教师：平均变化率是曲线陡峭程度的 数量化，曲线陡峭程度是平均变化率的 视觉化.
设计意图：进一步加深对概念的理解，让学生深刻领会到数形结合的重要思想.
教师追问2：同学们能否列举一些生活中与平均变化率有关的例子？
教师：待学生列举后，给出艾宾浩斯遗忘曲线，说明遗忘有着什么样的变化规律呢？
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师生活动：遗忘曲线告诉我们，学习之后要在第一时间安排复习和巩固练习，努力提高学习的动力和效率，制定合理的学习目标来指导我们的学习，只有不断地学习、巩固和积累，努力去思考和探索，才能创造更多的惊喜和奇迹。
设计意图：让学生明白数学知识来源于生活，又服务于生活，通过遗忘曲线使学生感受到复习的重要性，从而激励学生学习.
教师：通过几何画板，让学生观察图象的动态演示，直线与函数图象的两个交点A、B，当A点向B点无限接近直至两点重合时，此时的直线处于什么样的一种特殊状态呢？发现此时平均变化率的值无线趋近于某个常数，这个常数是否又有着某种特殊的含义呢？这就是我们下节课要学习的内容，有兴趣的同学可以尝尝新鲜，提前预习，去探索一番吧.
设计意图：充分体现平均变化率是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，起到承上启下的作用，提高学生提前预习的欲望.
3．总结提高
（1）函数平均变化率的概念是什么？它是通过什么实例总结出来的.
（2）求平均变化率的一般步骤是怎样的？
（3）这节课主要用了哪些数学思想？
师生活动：最后师生共同归纳总结：函数平均变化率的概念、天猫双十一及运动跑步
两个实例、求平均变化率的一般步骤、主要的数学思想有：从特殊到一般、数形结合思想.图象越陡峭，函数变化越快，平均变化率越大；平均变化率越小，函数变化越慢，图象越平缓.
设计意图：复习重点知识、思想方法、完善学生的认知结构.
4．知识巩固
（1）.课本习题A组：第1题
（3）.备选作业
设计意图：对一般学生布置（1）（2）题，而对学有余力的学生布置（3）题，体现了分层、有梯度的教学，及时巩固新知识.
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