18.2.3　正方形 同步练习（含答案）

18.1　平行四边形
18.2.3　正方形
一、选择题
1．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，则以AC为边长的正方形ACEF的面积为(　　)
A．9 B．12 C．15 D．20
　 　
第1题图　 第2题图 第3题图
2．如图，四边形ABCD是正方形，AD平行于x轴，A，C两点的坐标分别为(－2，2)，(1，－1)，则点B的坐标是(　　)
A．(－1，－2) B．(－1，－3) C．(－2，－1) D．(－3，－1)
3．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE，CE，∠BCE＝70°，则∠EAD为(　　)
A．10° B．15° C．20° D．30°
4．下列条件中，能使菱形ABCD为正方形的是(　　)
A．AB＝AD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD
5．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是(　　)
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AB＝BC D．AC＝BD
6．一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等 b．一组对边平行且相等 c．一组邻边相等 d．一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是(　　)
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
　 　
第6题图　 第7题图 第8题图
7．【2023河北】如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF.若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝(　　)
A．4 B．8 C．12 D．16
8．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是(　　)
A．1 B. C. D．2
9．如图，P为AB上任意一点，分别以AP，PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，设∠CBE＝α，则∠AFP为(　　)
A．2α B．90°－α C．45°＋α D．90°－α
　
第9题图　 第10题图 第12题图
10．【2022绍兴】如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，BC上的动点.下列4种说法：
①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；
③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形MENF.
其中正确的有(　　)
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
二、填空题
11． ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件： 　 　 ，使得 ABCD为正方形.
12．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到正方形AB1C1D1的位置，则阴影部分的面积是 　 　 .
13．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB上的一点，AF＝2，P为AC上一个动点，则PF＋PE的最小值为 　 　 .
　
第13题图　 第14题图 第15题图
14．【2022攀枝花】如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边三角形ACD、等边三角形ABE、等边三角形BCF，且点A在△BCF内部，给出以下结论：
①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC＝150°时，四边形ADFE是矩形；③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形.其中正确结论有 　 　 (填序号).
15．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是 ．
三、解答题
16．【2022随州】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CF的长.
17．【2023十堰】如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP.
(1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
(2)请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
18．【2023德阳】将一副直角三角板DOE与AOC叠放在一起，如图①，∠O＝90°，∠A＝30°，∠E＝45°，OD＞OC.在两个三角板所在平面内，将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α (0°＜α＜90°)角到三角板D1OE1的位置，使OD1∥AC，如图②.
(1)求α的值；
(2)如图③，继续将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转，使点E落在AC边上的点E2处，点D落在点D2处，设E2D2交OD1于点G，OE1交AC于点H，若点G是E2D2的中点，试判断四边形OHE2G的形状，并说明理由.
19．【2023绍兴】如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点(与点B，D不重合)，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连接EF，AG，并延长AG交EF于点H.
(1)求证：∠DAG＝∠EGH；
(2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由.
20．【2023天津】如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧作等腰三角形ADE，EA＝ED＝.
(1)△ADE的面积是多少？
(2)若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，求AG的长 .
21．已知四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转(DE＜AB)，∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF.
(1)如图①，求证：△ADE≌△CDF；
(2)直线AE与CF相交于点G.
①如图②，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；
②如图③，连接BG，若AB＝4，DE＝2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值.
22．如图①，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与点C，D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE.
(1)猜想图①中线段BG、线段DE的数量关系及所在直线的位置关系，并说明理由；
(2)将图①中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图②③的情形.请你通过观察、测量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并选取图②证明你的判断.
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参考答案
一、选择题
1．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，则以AC为边长的正方形ACEF的面积为(　A　)
A．9 B．12 C．15 D．20
　 　
第1题图　 第2题图 第3题图
2．如图，四边形ABCD是正方形，AD平行于x轴，A，C两点的坐标分别为(－2，2)，(1，－1)，则点B的坐标是(　C　)
A．(－1，－2) B．(－1，－3) C．(－2，－1) D．(－3，－1)
3．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE，CE，∠BCE＝70°，则∠EAD为(　C　)
A．10° B．15° C．20° D．30°
4．下列条件中，能使菱形ABCD为正方形的是(　B　)
A．AB＝AD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD
5．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是(　C　)
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AB＝BC D．AC＝BD
6．一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等 b．一组对边平行且相等 c．一组邻边相等 d．一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是(　C　)
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
　 　
第6题图　 第7题图 第8题图
7．【2023河北】如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF.若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝(　B　)
A．4 B．8 C．12 D．16
8．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是(　C　)
A．1 B. C. D．2
9．如图，P为AB上任意一点，分别以AP，PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，设∠CBE＝α，则∠AFP为(　B　)
A．2α B．90°－α C．45°＋α D．90°－α
　
第9题图　 第10题图 第12题图
10．【2022绍兴】如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，BC上的动点.下列4种说法：
①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；
③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形MENF.
其中正确的有(　C　)
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【解析】连接AC，MN，AC交BD于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵BE＝DF，∴OE＝OF.当MN过点O时，易证OM＝ON，∴四边形MENF为平行四边形.∵点E，F，M，N是动点，∴存在无数个平行四边形MENF；当MN过点O，MN＝EF时，四边形MENF是矩形.∵点E，F，M，N是动点，∴存在无数个矩形MENF；当MN过点O，MN⊥EF时，四边形MENF是菱形. ∵点E，F是动点，∴存在无数个菱形MENF；当MN过点O，MN＝EF且MN⊥EF时，四边形MENF是正方形，符合要求的正方形只有一个，故①②③正确，④错误.
二、填空题
11． ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件： 　 　 ，使得 ABCD为正方形.
【答案】AC＝BD(答案不唯一)
【解析】根据题意可知 ABCD为菱形，要使菱形ABCD为正方形，添加的条件为AB⊥AD，AC＝BD等.
12．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到正方形AB1C1D1的位置，则阴影部分的面积是 　 　 .
【答案】2－
13．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB上的一点，AF＝2，P为AC上一个动点，则PF＋PE的最小值为 　 　 .
【答案】
【解析】过点E作EH⊥AD于H，在AD上取一点M，使得AM＝2，易知点F，M关于AC所在直线对称.连接EM，交AC于点P'，连接P'F，则P'F＝P'M.易得P'M＋P'E的值为PF＋PE的最小值，即EM的长为PF＋PE的最小值.易得EM＝＝.
　
第13题图　 第14题图 第15题图
14．【2022攀枝花】如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边三角形ACD、等边三角形ABE、等边三角形BCF，且点A在△BCF内部，给出以下结论：
①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC＝150°时，四边形ADFE是矩形；③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形.其中正确结论有 　 　 (填序号).
【答案】①②③④
【解析】①利用“SAS”证明△EFB≌△ACB，得出EF＝AC＝AD；同理可得△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ADFE是平行四边形，结论①正确；②当∠BAC＝150°时，求出∠EAD＝90°，根据有一个角是90°的平行四边形是矩形即可判断结论②正确；③先证明AE＝AD，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断结论③正确；④根据正方形的判定：既是菱形，又是矩形的四边形是正方形即可判断结论④正确.
15．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是 ．
【答案】10
【解析】连接BM交AC于点P，∵点N为AC上的动点，由三角形两边之和大于第三边，且正方形是轴对称图形知，当点N运动到点P时，DN＋MN＝BP＋PM＝BM，DN＋MN的最小值为BM的长度，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8－2＝6，∠BCM＝90°，∴BM＝＝10，∴DN＋MN的最小值是10.
三、解答题
16．【2022随州】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CF的长.
(1)【证明】∵四边形BEDF为正方形，
∴EB＝DF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC.∴AE＝CF.
(2)【解】∵四边形BEDF为正方形，
∴DE＝EB，DE⊥AB.
∵平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，
∴DE＝EB＝4.∴AE＝AB－EB＝5－4＝1.
由(1)知AE＝CF，∴CF＝1.
17．【2023十堰】如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP.
(1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
(2)请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
【解】(1)四边形BPCO为平行四边形.
理由：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD.∵分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P.∴OB＝CP，BP＝OC，∴四边形BPCO为平行四边形.
【解】(2)当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形BPCO为正方形.
∵AC⊥BD，∴∠BOC＝90°.
∵AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC，
∴OB＝OC.
又∵四边形BPCO为平行四边形，∴四边形BPCO为正方形.
18．【2023德阳】将一副直角三角板DOE与AOC叠放在一起，如图①，∠O＝90°，∠A＝30°，∠E＝45°，OD＞OC.在两个三角板所在平面内，将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α (0°＜α＜90°)角到三角板D1OE1的位置，使OD1∥AC，如图②.
(1)求α的值；
(2)如图③，继续将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转，使点E落在AC边上的点E2处，点D落在点D2处，设E2D2交OD1于点G，OE1交AC于点H，若点G是E2D2的中点，试判断四边形OHE2G的形状，并说明理由.
(1)【解】∵OD1∥AC，∴∠A＝∠AOD1＝30°.
∵将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α(0°＜α＜90°)角到三角板D1OE1的位置，∴∠AOD1＝α＝30°.
【解】(2)四边形OHE2G是正方形，理由如下：
∵∠E2OD2＝90°，OD2＝OE2，点G是E2D2的中点，
∴E2G＝OG，E2G⊥OG.∵OD1∥AC，∠GOH＝90°，
∴∠AHO＝180°－90°＝90°，∴四边形OHE2G是矩形.
又∵E2G＝OG，∴四边形OHE2G是正方形.
19．【2023绍兴】如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点(与点B，D不重合)，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连接EF，AG，并延长AG交EF于点H.
(1)求证：∠DAG＝∠EGH；
(2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由.
(1)【证明】在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD，∴∠ADE＝∠GEC＝90°，
∴AD∥GE，∴∠DAG＝∠EGH.
(2)【解】AH⊥EF，理由如下：
连接GC交EF于点O，如图.
在正方形ABCD中，AD＝CD，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADG＝∠CDG＝45°.
又∵DG＝DG，∴△ADG≌△CDG(SAS)，
∴∠DAG＝∠DCG.
在正方形ABCD中，∠ECF＝90°.
又∵GE⊥CD，GF⊥BC，
∴四边形FCEG为矩形，
∴OE＝EF，OC＝CG，EF＝CG，∴OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，∴∠DAG＝∠OEC.
由(1)得∠DAG＝∠EGH，
∴∠EGH＝∠OEC，
∴∠EGH＋∠GEH＝∠OEC＋∠GEH＝∠GEC＝90°，
∴∠GHE＝90°，∴AH⊥EF.
20．【2023天津】如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧作等腰三角形ADE，EA＝ED＝.
(1)△ADE的面积是多少？
(2)若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，求AG的长 .
(1)如图，过点E作EM⊥AD于点M.
∵EA＝ED＝，AD＝3，
∴AM＝DM＝AD＝，
∴EM＝＝2，
∴△ADE的面积为AD·EM＝×3×2＝3.
(2)如图，延长EM交AG于点N，交BC于点P.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，BC∥AD，AB∥CD，
∴EP⊥BC.
又∵EP⊥AD，
∴四边形ABPM是矩形，
∴PM＝AB＝3，AB∥EP，
∴EP＝5，∠ABF＝∠NEF，EP∥CD.
∵F为BE的中点，∴BF＝EF，
又∵∠AFB＝∠NFE，∴△ABF≌△NEF(ASA)，
∴EN＝AB＝3，∴MN＝1.
由PM∥CD，AM＝DM，易知AN＝NG，
∴MN为△AGD的中位线，
∴GD＝2MN＝2，
∴AG＝＝.
21．已知四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转(DE＜AB)，∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF.
(1)如图①，求证：△ADE≌△CDF；
(2)直线AE与CF相交于点G.
①如图②，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；
②如图③，连接BG，若AB＝4，DE＝2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值.
(1)【证明】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°.∵∠EDF＝90°，∴∠ADC＝∠EDF.
∴∠ADE＝∠CDF.
∴△ADE≌△CDF(SAS).
(2)①【证明】如图②，设AG与CD相交于点P.
∵∠ADP＝90°，∴∠DAP＋∠DPA＝90°.
∵△ADE≌△CDF，∴∠DAE＝∠DCF.
又∵∠DPA＝∠GPC，
∴∠DAE＋∠DPA＝∠GPC＋∠GCP＝90°.
∴∠PGN＝90°.
又∵BM⊥AG，BN⊥GN，
∴四边形BMGN是矩形.
∴∠MBN＝90°.∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°＝∠MBN.∴∠ABM＝∠CBN.
又∵∠AMB＝∠BNC＝90°，∴△AMB≌△CNB.
∴MB＝NB.
∴矩形BMGN是正方形.
②【解】线段BG长度的最小值为2.
22．如图①，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与点C，D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE.
(1)猜想图①中线段BG、线段DE的数量关系及所在直线的位置关系，并说明理由；
(2)将图①中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图②③的情形.请你通过观察、测量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并选取图②证明你的判断.
(1)【解】BG＝DE，BG⊥DE.理由如下：
如图①，延长BG交DE于点H.
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴BC＝DC，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE.
∴△BCG≌△DCE.∴BG＝DE，∠1＝∠2.
∵∠1＋∠CGB＝90°，∠CGB＝∠DGH，∴∠2＋∠DGH＝90°.∴∠DHG＝90°.∴BH⊥DE，即BG⊥DE.
(2)【解】BG＝DE，BG⊥DE仍然成立.
证明：如图②，设BG与DE相交于点O，DC与BG相交于点H.∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形，
∴BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°.
∴∠BCG＝∠DCE. ∴△BCG≌△DCE.
∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE.
又∵∠BHC＝∠DHO，∠CBG＋∠BHC＝90°，
∴∠CDE＋∠DHO＝90°.∴∠DOH＝90°.∴BG⊥DE.