第18章 平行四边形 测试卷（含答案）
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第18章 平行四边形 测试卷
(考试时间：100分钟，赋分：120分)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案
1．【2023武汉蔡甸区期中】在 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（ ）
A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.1∶1∶2∶2 D.2∶1∶2∶1
2．在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点.若DE＝2，则BC的长是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
3．下列命题是假命题的是（ ）
A.平行四边形的对角线互相平分 B.矩形的对角线互相垂直
C.菱形的对角线互相垂直平分 D.正方形的对角线互相垂直平分且相等
4．【2023德惠期中】如图，点E为 ABCD的边BC上的一点，连接AE，满足AB＝BE，AE＝EC，若∠B＝72°，则∠ACD的度数为（ ）
A.72° B.80° C.81° D.82°
第4题图 第5题图 第6题图
5．【2023亳州涡阳县期中】如图，在 ABCD中，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF＝1，则AB的长是（ ）
A.2 B.1 C. D.
6．【2023乐山】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝（ ）
A.2 B. C.3 D.4
7．我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D'处，则点C的对应点C'的坐标为（ ）
A.（，1） B.（2，1） C.（1，） D.（2，）
第7题图 第8题图 第9题图
8．【2023德阳】如图， ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（ ）
A.1 B. C. D.3
9．如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥AB.下列四个判断中，不正确的是（ ）
A.四边形AEDF是平行四边形 B.若AD＝EF，则四边形AEDF是矩形
C.若AD⊥EF，则四边形AEDF是菱形 D.若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是正方形
10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t(单位：s)，下列结论正确的是（ ）
A.当t＝4 s时，四边形ABMP为矩形 B.当t＝5 s时，四边形CDPM为平行四边形
C.当CD＝PM时，t＝4 s D.当CD＝ PM时，t＝4 s或6 s
第10题图 第11题图 第12题图
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分)
11．如图，已知∠1＝∠2，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要添加的条件是 （只需写出一个即可）.
12．如图，CD是△ABC的中线，点E，F分别是AC，DC的中点，EF＝2，则AB的长为 .
13．【2023·武汉青山区期中】如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝36，若△COD的周长为29，则AB＝ .
第13题图 第15题图 第16题图
14．【2023·淮南凤台县期中】在 ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F，若AD＝11，EF＝5，则AB＝ .
15．【2023·怀化】如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3，则点P到直线AB的距离为 .
16．如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，点F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG.若AF＝3，DG＝4，FG＝5，则矩形ABCD的面积为 .
17．如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为1∶2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”.当协调边为6时，这个平行四边形的周长为 .
18．【2023·南京外国语学校期中】如图，将边长为2的正方形纸片ABCD沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则△GPQ周长的最小值是 .
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连接AE，AF.求证：AE＝AF.
20．(8分)如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E.若∠A＝40°，求∠ABE的度数.
21．(8分)如图1， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF分别交AD、BC于点E、F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)如图2，若过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于E、F，能得到(1)中的结论吗？由此你能得到什么样的一般性的结论？
22．(10分)已知：如图，在菱形ABCD中，点E、O、F分别是AB、AC、AD的中点，连接CE、CF、OE、OF.
(1)证明：△BCE≌△DCF；
(2)当AB与AD满足什么条件时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
23．(10分)如图①，在一平面内，从左到右，点A，D，O，C，B均在同一直线上，线段AB＝4，线段CD＝2，O分别是AB，CD的中点，如图②，固定点O以及线段AB，让线段CD绕点O顺时针旋转α(0°＜α＜180°).连接AC，AD，BC，BD.
(1)求证：四边形ADBC为平行四边形；
(2)当α＝90°时，求四边形ADBC的周长；
24．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE.
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB的中点时，判断四边形BECD的形状，并说明理由；
（3）若D为AB的中点，则当∠A满足什么条件时，四边形BECD是正方形？
25．(12分)已知AC是菱形ABCD的对角线，∠BAC＝60°，点E是直线BC上的一个动点，连接AE，以AE为边作菱形AEFG，并且使∠EAG＝60°，连接CG.当点E在线段BC上时，如图①，易证：AB＝CG＋CE.
(1)当点E在线段BC的延长线上时(如图②)，猜想AB，CG，CE之间的关系并证明；
(2)当点E在线段CB的延长线上时(如图③)，直接写出AB，CG，CE之间的关系.
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第5页 共5页
参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 D B B C B B D A D D
1．【2023武汉蔡甸区期中】在 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（ D ）
A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.1∶1∶2∶2 D.2∶1∶2∶1
2．在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点.若DE＝2，则BC的长是（ B ）
A.3 B.4 C.5 D.6
3．下列命题是假命题的是（ B ）
A.平行四边形的对角线互相平分 B.矩形的对角线互相垂直
C.菱形的对角线互相垂直平分 D.正方形的对角线互相垂直平分且相等
4．【2023德惠期中】如图，点E为 ABCD的边BC上的一点，连接AE，满足AB＝BE，AE＝EC，若∠B＝72°，则∠ACD的度数为（ C ）
A.72° B.80° C.81° D.82°
第4题图 第5题图 第6题图
5．【2023亳州涡阳县期中】如图，在 ABCD中，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF＝1，则AB的长是（ B ）
A.2 B.1 C. D.
6．【2023乐山】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝（ B ）
A.2 B. C.3 D.4
7．我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D'处，则点C的对应点C'的坐标为（ D ）
A.（，1） B.（2，1） C.（1，） D.（2，）
第7题图 第8题图 第9题图
8．【2023德阳】如图， ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（ A ）
A.1 B. C. D.3
9．如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥AB.下列四个判断中，不正确的是（ D ）
A.四边形AEDF是平行四边形 B.若AD＝EF，则四边形AEDF是矩形
C.若AD⊥EF，则四边形AEDF是菱形 D.若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是正方形
10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t(单位：s)，下列结论正确的是（ D ）
A.当t＝4 s时，四边形ABMP为矩形 B.当t＝5 s时，四边形CDPM为平行四边形
C.当CD＝PM时，t＝4 s D.当CD＝ PM时，t＝4 s或6 s
第10题图 第11题图 第12题图
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分)
11．如图，已知∠1＝∠2，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要添加的条件是 （只需写出一个即可）.
【答案】AD＝BC（答案不唯一）
12．如图，CD是△ABC的中线，点E，F分别是AC，DC的中点，EF＝2，则AB的长为 .
【答案】8
13．【2023·武汉青山区期中】如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝36，若△COD的周长为29，则AB＝ .
【答案】11
第13题图 第15题图 第16题图
14．【2023·淮南凤台县期中】在 ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F，若AD＝11，EF＝5，则AB＝ .
【答案】8或3
15．【2023·怀化】如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3，则点P到直线AB的距离为 .
【答案】3
16．如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，点F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG.若AF＝3，DG＝4，FG＝5，则矩形ABCD的面积为 .
【答案】48
17．如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为1∶2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”.当协调边为6时，这个平行四边形的周长为 .
【答案】16或20
18．【2023·南京外国语学校期中】如图，将边长为2的正方形纸片ABCD沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则△GPQ周长的最小值是 .
【答案】＋1
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连接AE，AF.求证：AE＝AF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS）.
∴AE＝AF.
20．(8分)如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E.若∠A＝40°，求∠ABE的度数.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.∴∠A＋∠ADC＝180°.
∵∠A＝40°，∴∠ADC＝140°.
∵DF平分∠ADC，∴∠CDF＝∠ADC＝70°.
∴∠AFD＝∠CDF＝70°.
∵DF∥BE，∴∠ABE＝∠AFD＝70°.
21．(8分)如图1， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF分别交AD、BC于点E、F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)如图2，若过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于E、F，能得到(1)中的结论吗？由此你能得到什么样的一般性的结论？
(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴OE＝OF；
(2)解：能得到(1)中的结论．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴OE＝OF.一般性的结论是：过平行四边形的对角线的交点O作一条直线与平行四边形相对的边或延长线相交于E、F两点，则OE＝OF.
22．(10分)已知：如图，在菱形ABCD中，点E、O、F分别是AB、AC、AD的中点，连接CE、CF、OE、OF.
(1)证明：△BCE≌△DCF；
(2)当AB与AD满足什么条件时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D．又E、F分别是AB、AD的中点，∴BE＝DF，∴△BCE≌△DCF(SAS)；
(2)解：若AB⊥AD，则四边形AEOF为正方形，理由如下：∵E、O分别是AB、AC的中点，∴EO∥BC，又BC∥AD，∴OE∥AD，即OE∥AF，同理可证：OF∥AE，所以四边形AEOF为平行四边形，由(1)可得AE＝AF，所以平行四边形AEOF为菱形，因为AD⊥AB，所以∠BAD＝90°，所以菱形AEOF为正方形．
23．(10分)如图①，在一平面内，从左到右，点A，D，O，C，B均在同一直线上，线段AB＝4，线段CD＝2，O分别是AB，CD的中点，如图②，固定点O以及线段AB，让线段CD绕点O顺时针旋转α(0°＜α＜180°).连接AC，AD，BC，BD.
(1)求证：四边形ADBC为平行四边形；
(2)当α＝90°时，求四边形ADBC的周长；
(1)【证明】∵O分别是AB，CD的中点，
∴OA＝OB，OC＝OD.
∴四边形ADBC为平行四边形.
(2)【解】∵α＝90°，∴AB⊥CD.
又∵四边形ADBC为平行四边形，∴四边形ADBC为菱形.
∵AB＝4，CD＝2，∴OA＝2，OD＝1.
∴AD＝＝＝.
∴四边形ADBC的周长为4.
24．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE.
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB的中点时，判断四边形BECD的形状，并说明理由；
（3）若D为AB的中点，则当∠A满足什么条件时，四边形BECD是正方形？
（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形.∴CE＝AD.
（2）解：四边形BECD是菱形.理由如下：
∵D为AB的中点，∴AD＝BD.
∵CE＝AD，∴BD＝CE.
∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形.
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD.
∴四边形BECD是菱形.
（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形.
∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝45°.
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠ABC＝∠CBE＝45°.∴∠DBE＝90°.
∴四边形BECD是正方形.
25．(12分)已知AC是菱形ABCD的对角线，∠BAC＝60°，点E是直线BC上的一个动点，连接AE，以AE为边作菱形AEFG，并且使∠EAG＝60°，连接CG.当点E在线段BC上时，如图①，易证：AB＝CG＋CE.
(1)当点E在线段BC的延长线上时(如图②)，猜想AB，CG，CE之间的关系并证明；
(2)当点E在线段CB的延长线上时(如图③)，直接写出AB，CG，CE之间的关系.
【解】(1)AB＝CG－CE.证明如下：
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.
又∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形.
∴AB＝AC.
∵∠EAG＝60°，∴∠BAC＝∠EAG.
∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAG＋∠CAE，
即∠BAE＝∠CAG.又∵四边形AEFG是菱形，∴AE＝AG.
在△ABE和△ACG中，∴△ABE≌△ACG(SAS).∴BE＝CG.
∵AB＝BC＝BE－CE，∴AB＝CG－CE.
(2)AB＝CE－CG.
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(考试时间：100分钟，赋分：120分)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案
1．【2023武汉蔡甸区期中】在 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（ ）
A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.1∶1∶2∶2 D.2∶1∶2∶1
2．在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点.若DE＝2，则BC的长是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
3．下列命题是假命题的是（ ）
A.平行四边形的对角线互相平分 B.矩形的对角线互相垂直
C.菱形的对角线互相垂直平分 D.正方形的对角线互相垂直平分且相等
4．【2023德惠期中】如图，点E为 ABCD的边BC上的一点，连接AE，满足AB＝BE，AE＝EC，若∠B＝72°，则∠ACD的度数为（ ）
A.72° B.80° C.81° D.82°
第4题图 第5题图 第6题图
5．【2023亳州涡阳县期中】如图，在 ABCD中，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF＝1，则AB的长是（ ）
A.2 B.1 C. D.
6．【2023乐山】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝（ ）
A.2 B. C.3 D.4
7．我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D'处，则点C的对应点C'的坐标为（ ）
A.（，1） B.（2，1） C.（1，） D.（2，）
第7题图 第8题图 第9题图
8．【2023德阳】如图， ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（ ）
A.1 B. C. D.3
9．如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥AB.下列四个判断中，不正确的是（ ）
A.四边形AEDF是平行四边形 B.若AD＝EF，则四边形AEDF是矩形
C.若AD⊥EF，则四边形AEDF是菱形 D.若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是正方形
10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t(单位：s)，下列结论正确的是（ ）
A.当t＝4 s时，四边形ABMP为矩形 B.当t＝5 s时，四边形CDPM为平行四边形
C.当CD＝PM时，t＝4 s D.当CD＝ PM时，t＝4 s或6 s
第10题图 第11题图 第12题图
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分)
11．如图，已知∠1＝∠2，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要添加的条件是 （只需写出一个即可）.
12．如图，CD是△ABC的中线，点E，F分别是AC，DC的中点，EF＝2，则AB的长为 .
13．【2023·武汉青山区期中】如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝36，若△COD的周长为29，则AB＝ .
第13题图 第15题图 第16题图
14．【2023·淮南凤台县期中】在 ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F，若AD＝11，EF＝5，则AB＝ .
15．【2023·怀化】如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3，则点P到直线AB的距离为 .
16．如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，点F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG.若AF＝3，DG＝4，FG＝5，则矩形ABCD的面积为 .
17．如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为1∶2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”.当协调边为6时，这个平行四边形的周长为 .
18．【2023·南京外国语学校期中】如图，将边长为2的正方形纸片ABCD沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则△GPQ周长的最小值是 .
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连接AE，AF.求证：AE＝AF.
20．(8分)如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E.若∠A＝40°，求∠ABE的度数.
21．(8分)如图1， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF分别交AD、BC于点E、F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)如图2，若过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于E、F，能得到(1)中的结论吗？由此你能得到什么样的一般性的结论？
22．(10分)已知：如图，在菱形ABCD中，点E、O、F分别是AB、AC、AD的中点，连接CE、CF、OE、OF.
(1)证明：△BCE≌△DCF；
(2)当AB与AD满足什么条件时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
23．(10分)如图①，在一平面内，从左到右，点A，D，O，C，B均在同一直线上，线段AB＝4，线段CD＝2，O分别是AB，CD的中点，如图②，固定点O以及线段AB，让线段CD绕点O顺时针旋转α(0°＜α＜180°).连接AC，AD，BC，BD.
(1)求证：四边形ADBC为平行四边形；
(2)当α＝90°时，求四边形ADBC的周长；
24．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE.
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB的中点时，判断四边形BECD的形状，并说明理由；
（3）若D为AB的中点，则当∠A满足什么条件时，四边形BECD是正方形？
25．(12分)已知AC是菱形ABCD的对角线，∠BAC＝60°，点E是直线BC上的一个动点，连接AE，以AE为边作菱形AEFG，并且使∠EAG＝60°，连接CG.当点E在线段BC上时，如图①，易证：AB＝CG＋CE.
(1)当点E在线段BC的延长线上时(如图②)，猜想AB，CG，CE之间的关系并证明；
(2)当点E在线段CB的延长线上时(如图③)，直接写出AB，CG，CE之间的关系.
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 D B B C B B D A D D
1．【2023武汉蔡甸区期中】在 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（ D ）
A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.1∶1∶2∶2 D.2∶1∶2∶1
2．在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点.若DE＝2，则BC的长是（ B ）
A.3 B.4 C.5 D.6
3．下列命题是假命题的是（ B ）
A.平行四边形的对角线互相平分 B.矩形的对角线互相垂直
C.菱形的对角线互相垂直平分 D.正方形的对角线互相垂直平分且相等
4．【2023德惠期中】如图，点E为 ABCD的边BC上的一点，连接AE，满足AB＝BE，AE＝EC，若∠B＝72°，则∠ACD的度数为（ C ）
A.72° B.80° C.81° D.82°
第4题图 第5题图 第6题图
5．【2023亳州涡阳县期中】如图，在 ABCD中，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF＝1，则AB的长是（ B ）
A.2 B.1 C. D.
6．【2023乐山】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝（ B ）
A.2 B. C.3 D.4
7．我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D'处，则点C的对应点C'的坐标为（ D ）
A.（，1） B.（2，1） C.（1，） D.（2，）
第7题图 第8题图 第9题图
8．【2023德阳】如图， ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（ A ）
A.1 B. C. D.3
9．如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥AB.下列四个判断中，不正确的是（ D ）
A.四边形AEDF是平行四边形 B.若AD＝EF，则四边形AEDF是矩形
C.若AD⊥EF，则四边形AEDF是菱形 D.若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是正方形
10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t(单位：s)，下列结论正确的是（ D ）
A.当t＝4 s时，四边形ABMP为矩形 B.当t＝5 s时，四边形CDPM为平行四边形
C.当CD＝PM时，t＝4 s D.当CD＝ PM时，t＝4 s或6 s
第10题图 第11题图 第12题图
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分)
11．如图，已知∠1＝∠2，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要添加的条件是 （只需写出一个即可）.
【答案】AD＝BC（答案不唯一）
12．如图，CD是△ABC的中线，点E，F分别是AC，DC的中点，EF＝2，则AB的长为 .
【答案】8
13．【2023·武汉青山区期中】如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝36，若△COD的周长为29，则AB＝ .
【答案】11
第13题图 第15题图 第16题图
14．【2023·淮南凤台县期中】在 ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F，若AD＝11，EF＝5，则AB＝ .
【答案】8或3
15．【2023·怀化】如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3，则点P到直线AB的距离为 .
【答案】3
16．如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，点F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG.若AF＝3，DG＝4，FG＝5，则矩形ABCD的面积为 .
【答案】48
17．如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为1∶2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”.当协调边为6时，这个平行四边形的周长为 .
【答案】16或20
18．【2023·南京外国语学校期中】如图，将边长为2的正方形纸片ABCD沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则△GPQ周长的最小值是 .
【答案】＋1
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连接AE，AF.求证：AE＝AF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS）.
∴AE＝AF.
20．(8分)如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E.若∠A＝40°，求∠ABE的度数.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.∴∠A＋∠ADC＝180°.
∵∠A＝40°，∴∠ADC＝140°.
∵DF平分∠ADC，∴∠CDF＝∠ADC＝70°.
∴∠AFD＝∠CDF＝70°.
∵DF∥BE，∴∠ABE＝∠AFD＝70°.
21．(8分)如图1， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF分别交AD、BC于点E、F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)如图2，若过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于E、F，能得到(1)中的结论吗？由此你能得到什么样的一般性的结论？
(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴OE＝OF；
(2)解：能得到(1)中的结论．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴OE＝OF.一般性的结论是：过平行四边形的对角线的交点O作一条直线与平行四边形相对的边或延长线相交于E、F两点，则OE＝OF.
22．(10分)已知：如图，在菱形ABCD中，点E、O、F分别是AB、AC、AD的中点，连接CE、CF、OE、OF.
(1)证明：△BCE≌△DCF；
(2)当AB与AD满足什么条件时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D．又E、F分别是AB、AD的中点，∴BE＝DF，∴△BCE≌△DCF(SAS)；
(2)解：若AB⊥AD，则四边形AEOF为正方形，理由如下：∵E、O分别是AB、AC的中点，∴EO∥BC，又BC∥AD，∴OE∥AD，即OE∥AF，同理可证：OF∥AE，所以四边形AEOF为平行四边形，由(1)可得AE＝AF，所以平行四边形AEOF为菱形，因为AD⊥AB，所以∠BAD＝90°，所以菱形AEOF为正方形．
23．(10分)如图①，在一平面内，从左到右，点A，D，O，C，B均在同一直线上，线段AB＝4，线段CD＝2，O分别是AB，CD的中点，如图②，固定点O以及线段AB，让线段CD绕点O顺时针旋转α(0°＜α＜180°).连接AC，AD，BC，BD.
(1)求证：四边形ADBC为平行四边形；
(2)当α＝90°时，求四边形ADBC的周长；
(1)【证明】∵O分别是AB，CD的中点，
∴OA＝OB，OC＝OD.
∴四边形ADBC为平行四边形.
(2)【解】∵α＝90°，∴AB⊥CD.
又∵四边形ADBC为平行四边形，∴四边形ADBC为菱形.
∵AB＝4，CD＝2，∴OA＝2，OD＝1.
∴AD＝＝＝.
∴四边形ADBC的周长为4.
24．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE.
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB的中点时，判断四边形BECD的形状，并说明理由；
（3）若D为AB的中点，则当∠A满足什么条件时，四边形BECD是正方形？
（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形.∴CE＝AD.
（2）解：四边形BECD是菱形.理由如下：
∵D为AB的中点，∴AD＝BD.
∵CE＝AD，∴BD＝CE.
∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形.
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD.
∴四边形BECD是菱形.
（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形.
∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝45°.
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠ABC＝∠CBE＝45°.∴∠DBE＝90°.
∴四边形BECD是正方形.
25．(12分)已知AC是菱形ABCD的对角线，∠BAC＝60°，点E是直线BC上的一个动点，连接AE，以AE为边作菱形AEFG，并且使∠EAG＝60°，连接CG.当点E在线段BC上时，如图①，易证：AB＝CG＋CE.
(1)当点E在线段BC的延长线上时(如图②)，猜想AB，CG，CE之间的关系并证明；
(2)当点E在线段CB的延长线上时(如图③)，直接写出AB，CG，CE之间的关系.
【解】(1)AB＝CG－CE.证明如下：
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.
又∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形.
∴AB＝AC.
∵∠EAG＝60°，∴∠BAC＝∠EAG.
∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAG＋∠CAE，
即∠BAE＝∠CAG.又∵四边形AEFG是菱形，∴AE＝AG.
在△ABE和△ACG中，∴△ABE≌△ACG(SAS).∴BE＝CG.
∵AB＝BC＝BE－CE，∴AB＝CG－CE.
(2)AB＝CE－CG.
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