第18章 平行四边形 章末复习（含答案）

第18章 平行四边形 章末复习
【知识网络】
【考点突破】
考点1：平行四边形的性质与判定
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件中不能判定这个四边形是平行四边形的是(　　)
A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC
2．如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的大小是(　　)
A．61° B．109° C．119° D．122°
3．如图，△AOB与△AOD周长之差为5，且AB∶AD＝2∶1，则 ABCD的周长是(　　)
A．15 B．20 C．30 D．40
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，请添加一个条件，使四边形ABCD成为平行四边形，你所添加的条件为 ．
5．如图，在 ABCD中，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF＝1，则AB的长是 .
6．如图所示，在 ABCD中，∠BAD＝32°，分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF.延长AB交边EC于点H，点H在E、C两点之间，连接AE、AF.
(1)求证：△ABE≌△FDA；
(2)当AE⊥AF时，求∠EBH的度数．
7．如图，在 ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N.
（1）求证：四边形BMDN是平行四边形.
（2）若AF＝12，EM＝5，求AN的长.
考点2：三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝50°，若点D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，则∠DEF＝(　　)
A．50° B．60° C．65° D．70°
10．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，G是BC上一点，连接DE，DG，GE，F是DE的中点，连接GF，若DG⊥EG，GF＝3，则BC的长为(　　)
A．12 B．16 C．18 D．6
11．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为 ．
12．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F.若BC＝6，则DF的长为 .
13．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为 .
考点3：特殊平行四边形的性质与判定
14．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为(　　)
A．4 B．6 C．8 D．10
15．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为(－1，0)，∠BCD＝120°，则点D的坐标为(　　)
A．(2，2) B．(，2) C．(3，) D．(2，)
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是(　　)
A．AB＝AD B．OE＝AB C．∠DOE＝∠DEO D．∠EOD＝∠EDO
17．如图，已知F，E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于点P，则下列结论成立的是(　　)
A．BE＝AE B．PC＝PD C．∠EAF＋∠AFD＝90° D．PE＝EC
18．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N.若四边形MOND的面积是1，则AB的长为(　　)
A．1 B. C．2 D．2
19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使平行四边形ABCD是矩形．
20．由沈康身教授所著、数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形(阴影部分)，则图中AB的长应是 ．
21．定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离．在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点P，OP＝2，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为 ．
22．如图，在 ABCD中，G为BC边上一点，DG＝DC，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作AF∥ED交CD的延长线于点F.
求证：四边形AEDF是菱形．
23．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，E是正方形外部一点，以OE为边作正方形OEFG，OE与AB相交于点M，OG与BC相交于点N，若AB＝6，OE＝5，求四边形OMBN的面积 .
24．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF.
(1)求证：四边形EDFG是正方形；
(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．
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参考答案
【知识网络】
【考点突破】
考点1：平行四边形的性质与判定
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件中不能判定这个四边形是平行四边形的是(　D　)
A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC
2．如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的大小是(　C　)
A．61° B．109° C．119° D．122°
3．如图，△AOB与△AOD周长之差为5，且AB∶AD＝2∶1，则 ABCD的周长是(　C　)
A．15 B．20 C．30 D．40
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，请添加一个条件，使四边形ABCD成为平行四边形，你所添加的条件为 ．
【答案】AB∥DC(答案不唯一)
5．如图，在 ABCD中，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF＝1，则AB的长是 .
【答案】1
6．如图所示，在 ABCD中，∠BAD＝32°，分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF.延长AB交边EC于点H，点H在E、C两点之间，连接AE、AF.
(1)求证：△ABE≌△FDA；
(2)当AE⊥AF时，求∠EBH的度数．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC，AD＝BC＝BE，DF＝DC＝AB．在△ABE和△FDA中，AB＝FD，BE＝DA，∠ABE＝360°－∠ABC－∠EBC＝360°－∠ADC－∠CDF＝∠ADF，∴△ABE≌△FDA(SAS)；　
(2)由(1)得∠AEB＝∠FAD，∴∠EBH＝∠AEB＋∠EAB＝∠EAB＋∠FAD＝90°－∠BAD＝90°－32°＝58°，即∠EBH＝58°.
7．如图，在 ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N.
（1）求证：四边形BMDN是平行四边形.
（2）若AF＝12，EM＝5，求AN的长.
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB.∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴DN∥BM.
∴四边形BMDN是平行四边形.
（2）解：∵四边形BMDN是平行四边形，∴DM＝BN.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB.
∴CM＝AN，∠MCE＝∠NAF.
又∵∠CEM＝∠AFN＝90°，
∴△CEM≌△AFN（AAS）.
∴FN＝EM＝5.
∴在Rt△AFN中，AN＝＝＝13.
考点2：三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为(　A　)
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝50°，若点D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，则∠DEF＝(　B　)
A．50° B．60° C．65° D．70°
10．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，G是BC上一点，连接DE，DG，GE，F是DE的中点，连接GF，若DG⊥EG，GF＝3，则BC的长为(　A　)
A．12 B．16 C．18 D．6
11．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为 ．
【答案】20
12．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F.若BC＝6，则DF的长为 .
【答案】3
13．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为 .
【答案】20
考点3：特殊平行四边形的性质与判定
14．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为(　C　)
A．4 B．6 C．8 D．10
15．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为(－1，0)，∠BCD＝120°，则点D的坐标为(　D　)
A．(2，2) B．(，2) C．(3，) D．(2，)
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是(　C　)
A．AB＝AD B．OE＝AB C．∠DOE＝∠DEO D．∠EOD＝∠EDO
17．如图，已知F，E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于点P，则下列结论成立的是(　C　)
A．BE＝AE B．PC＝PD C．∠EAF＋∠AFD＝90° D．PE＝EC
18．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N.若四边形MOND的面积是1，则AB的长为(　C　)
A．1 B. C．2 D．2
19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使平行四边形ABCD是矩形．
【答案】∠ABC＝90°(答案不唯一)
20．由沈康身教授所著、数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形(阴影部分)，则图中AB的长应是 ．
【答案】－1
21．定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离．在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点P，OP＝2，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为 ．
【答案】2－≤d≤1
22．如图，在 ABCD中，G为BC边上一点，DG＝DC，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作AF∥ED交CD的延长线于点F.
求证：四边形AEDF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C，
AD∥BC，AB∥CD，
∵AF∥ED，∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD∥BC，∴∠DGC＝∠ADE，
∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠C，
∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，
∴平行四边形AEDF是菱形．
23．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，E是正方形外部一点，以OE为边作正方形OEFG，OE与AB相交于点M，OG与BC相交于点N，若AB＝6，OE＝5，求四边形OMBN的面积 .
解：如图，过点O作OI⊥AB于点I，过点O作OH⊥BC于点H，
∴∠MIO＝∠OIB＝∠OHN＝90°.∵在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ABO＝45°，∴四边形OIBH为矩形，∠BOI＝45°＝∠ABO. ∴BI＝OI.∴四边形OIBH为正方形.∴OI＝OH，∠IOH＝90°.∴∠ION＋∠HON＝90°.∵∠EOG＝90°，
∴∠MOI＋∠ION＝90°，∴∠MOI＝∠NOH.
在△MOI与△NOH中，
∴△MOI≌△NOH（ASA）.
∴四边形OMBN的面积等于正方形OIBH的面积.
由AB＝6易得BI＝3，∴正方形OIBH的面积为9，
即四边形OMBN的面积为9.
24．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF.
(1)求证：四边形EDFG是正方形；
(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．
(1)证明：连接CD，∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
D是AB的中点，∴∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD.
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF.
∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°，
∴△EDF为等腰直角三角形．∵O为EF的中点，GO＝OD，∴GD⊥EF，
且GD＝2OD＝EF，∴四边形EDFG是正方形．
(2)解：过点D作DE′⊥AC于点E′.
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
AC＝BC＝4，∴DE′＝BC＝2，
AB＝＝4.∵点E′为AC的中点，
∴2≤DE<2(点E与点E′重合时取等号)，∴4≤S四边形EDFG＝DE2<8，
∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4.