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和、差与倍数的应用
复习
一、和、差问题
已知两个数的和与差,求两数。
有计算公式:
大数=(和+差)÷2
小数=(和- 差)÷2
例1 张明在期末考试时,语文、数学
两门功课的平均得分是95分,数
学比语文多得8分,张明这两门功课
的成绩各是多少分?
解:95乘以2,就是数学与语文两门得分
之和,知道数学与语文得分之差是8.因此
数学得分=(95×2+8)÷2=99.
语文得分=(95×2—8)÷2= 91.
答:张明数学得99分,语文得91分.
注:也可以从 95×2-99=91求出语文得分.
例2 有 A,B,C三个数,A加 B等于 252,
B加 C等于 197, C加 A等于 149,求这三个数.
解:从B+C=197与A+C=149,就知道B与A的差是197-149,
题目又告诉我们,B与A之和是252.因此
B=(252+ 197-149)÷ 2= 150,
A=252-150=102,
C=149-102=47.
答:A,B,C三数分别是102,150,47.
注: 还有一种更简单的方法
(A+B)+(B+C)+(C+A)=2×(A+B+C).
上面式子说明,三数相加再除以2,就是三数之和.
A+B+C=(252+197+149)÷2=299.因此
C=299-252=47,
B=299-149=150,
A=299-197=102.
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例3 甲、乙两筐共装苹果75千克,从甲筐取
出5千克苹果放入乙筐里,甲筐苹果还比 乙筐多7千克.甲、乙两筐原各有苹果多少千克?
解:画一张简单的示意图,就可以看出:
原来甲筐苹果比乙筐多5+7+ 5= 17(千克)
因此,甲、乙两数之和是 75,差为17.
甲筐苹果数=(75+17)÷2= 46(千克).
乙筐苹果数=75-46=29(千克).
答:原来甲筐有苹果46千克,乙筐有苹果29千克.
例4 张强用270元买了一件外衣,一顶帽子和一双鞋子.外衣比鞋贵140元,买外衣和鞋比帽子多花210元,张强买这双鞋花多少钱?
解:我们先把外衣和鞋看成一件东西,
它与帽子的价格和是 270元,差是 210元.
外衣和鞋价之和=(270+ 210)÷2= 240(元).
外衣价与鞋价之差是140,因此
鞋价=(240-140)÷2=50(元).
答:买这双鞋花50元.
再举出三个较复杂的例子.如果你也能像下面的解答那样计算,那么就可以说,“和差问题”的解法,你已能灵活运用了.
例5 李叔叔要在下午3点钟上班,他估计快到上班时间了,到屋里看钟,可是钟早在12点10分就停了.他开足发条却忘了拨指针,匆匆离家,到工厂一看钟,离上班时间还有10分钟.夜里11点下班,李叔叔马上离厂回到家里,一看钟才9点整.假定李叔叔上班和下班在路上用的时间相同,那么他家的钟停了多少时间(上发条所用时间忽略不计)?
解:到厂时看钟是2点50分,离家看钟是12点10分,相差2小时40分,这是停钟的时间和路上走的时间加
在一起产生的.就有
钟停的时间+路上用的时间=160(分钟).
晚上下班时,厂里钟是11点,到家看钟是9点,相差2小时.这是由于钟停的时间中,有一部分时间,被回家路上所用时间抵消
钟停的时间-路上用的时间=120(分钟).
现在已把问题转化成标准的和差问题了.
钟停的时间=(160+120)÷ 2= 140(分钟).
路上用的时间=160-140=20( 分钟).
答:李叔叔的钟停了2小时20分.
还有一种解法,能很快算出李叔叔路上所用时间:
以李叔叔家的钟计算,他在12点10分出门,晚上9点到家,在外共8小时50分钟,其中8小时上班,10分钟等待上班,剩下的时间就是他上班来回共用的时间,所以上班路上所用时间
=(8小时50分钟-8小时-10分钟)÷2=20(分钟) 钟停时间=2小时 40分钟-20分钟=2小时20分钟.
例6 小明用21.4元去买两种贺卡,甲卡每张1.5元,乙卡每张0.7元,钱恰好用完.可是售货员把甲卡张数算作乙卡张数,把乙卡张数算作甲卡张数,要找还小明3.2元.问小明买甲、乙卡各几张?
解:甲卡与乙卡每张相差 1.5-0.7= 0. 8(元),售货
员错找还小明3.2元,就知小明买的甲卡比乙卡多
3.2÷0.8=4(张).
现在已有两种卡张数之差,只要求出两种卡张数之和问题就解决了.如何求呢?请注意
1.5×甲卡张数+0.7×乙卡张数=21.4.
1.5×乙卡张数+0.7×甲卡张数=21.4-3.2.
从上面两个算式可以看出,两种卡张数之和是
[21.4+(21.4-3.2)]÷(1.5+ 0.7)= 18(张).
因此,甲卡张数是(18 + 4)÷ 2= 11(张).
乙卡张数是 18-11= 7(张).
答:小明买甲卡11张、乙卡7张.
注:此题还可用鸡兔同笼方法做.
例7 有两个一样大小的长方形,拼合成两种大长方形,大长方形(A)的周长是240厘米,大长方形(B)的周长是258厘米,求原长方形的长与宽各为多少厘米?
解:
大长方形(A)的周长是原长方形的长×2+宽×4.
大长方形(B)的周长是原长方形的长×4+宽×2.
因此,240+258是原长方形的长×6+宽×6.
原长方形的长与宽之和是(240+258)÷6=83(厘米)
原长方形的长与宽之差是(258-240)÷2=9(厘米).
因此,原长方形的长:(83+ 9)÷2= 46(厘米).
宽:(83—9)÷2=37(厘米).
答:原长方形的长是46厘米、宽是37厘米
二、和、倍数问题或差、倍数问题
当知道了两个数的和或者差,又知道这两个数之间的倍数关系,就能立即求出这两个数.小学算术中常见的“年龄问题”是这类问题的典型.先看几个基础性的例子.
例8 有两堆棋子,第一堆有87个,第二堆
有69个.那么从第一堆拿多少个棋子到第二
堆,就能使第二堆棋子数是第一堆的3倍.
解:两堆棋子共有87+69=156(个).
为了使第二堆棋子数是第一堆的3倍,
就要把156个棋子分成1+3=4(份),
即每份有棋子156 ÷(1+3)=39(个).
第一堆应留下棋子39个,其余棋子都应拿到第二堆去.因此从第一堆拿到第二堆的棋子数是
87-39=48(个).
答:应从第一堆拿48个棋子到第二堆去.
例9 有两层书架,共有书173本.从第一层拿
走38本书后,第二层的书比第一层的2
倍还多6本.问第二层有多少本书?
解:我们把第一层余下的书算作1“份”,那么第二层的书是2份还多6本.再去掉这6本,即173-38-6=129(本)
恰好是3份,每一份是129÷3=43(本).
因此,第二层的书共有43×2 + 6=92(本).
答:书架的第二层有92本书.
说明:
我们先设立“1份”,使计算有了很方便的计算单位.这是解应用题常用的方法,特别对倍数问题极为有效.把份数表示在示意图上,更是一目了然.
例10 某小学有学生975人.全校男生人数是六年级学生人数的4倍少23人,全校女生人数是六年级学生人数的3倍多11人.问全校有男、女生各多少人?
解:设六年级学生人数是“1份”.
男生是4份-23人.
女生是3份+11人.
全校是7份-(23-11)人.
每份是(975+12)÷7=141(人).
男生人数=141×4-23=541(人).
女生人数=975-541=434(人).
答:有男生541人、女生434人.
例11 某鞋店有旅游鞋和皮鞋400双,在售出旅游鞋的1/4后,又采购来70双皮鞋.此时皮鞋数恰好是旅游鞋数的2倍.问原来两种鞋各有几双?
解:如果把原来旅游鞋算作4份,售出1份,还有3份.
那么原有皮鞋增加70双后将是3×2=6(份).
400+70将是 3+1+6=10(份).
每份是(400+70)÷10=47(双).
原有旅游鞋 47×4=188(双).
原有皮鞋 47×6-70=212 (双).
答:原有旅游鞋188双,皮鞋212双.
设整数的份数,使计算简单方便.小学算术中小数、分数尽可能整数化,使思考、计算都较简捷.因此,“尽可能整数化”将会贯穿在以后的章节中.
下面例子将是本节的主要内容──年龄问题.
年龄问题是小学算术中常见的一类问题,这类题目中常常有“倍数”这一条件.解年龄问题最关键的一点是:两个人的年龄差总保持不变.
①两个人的年龄差是不变的;
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;
③两个人的年龄的倍数是发生变化的;
年龄问题的三个基本特征:
例12 父亲现年50岁,女儿现年14岁. 问几年前,父亲的年龄是女儿年龄的5倍?
解:父女相差36岁,这个差是不变的.几年前还是相差36岁.当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时,父亲仍比女儿大36岁.这36岁是女儿年龄的(5-1)倍.36÷(5-1)=9.
当时女儿是9岁,14-9=5,也就是5年前.答:5年前,父亲年龄是女儿年龄的5倍.
例13 今年哥俩的岁数加起来是55岁.曾经有一年,哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同,那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍.哥哥今年几岁?
解:当哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍时,我们设那时弟弟的 岁数是1份,哥哥的岁数是2份,那么哥哥与弟弟的岁数之差是1份.两人的岁数之差是不会变的,今年他们的年龄仍相差1份.
题目又告诉我们,那时哥哥岁数,与今年弟弟的岁数相同,因此今年弟弟的岁数也是2份,而哥哥今年的岁数应是2+1=3(份).
今年,哥弟俩年龄之和是
3+2=5(份).
每份是 55÷5= 11(岁).
哥哥今年的岁数是 11×3=33(岁).
答:哥哥今年33岁.
作为本节最后一个例子,我们将年龄问题进行一点变化.
例14 父年38岁,母年36岁,儿子年龄为11岁. 问多少年后,父母年龄之和是儿子年龄的4倍?
解:现在父母年龄之和是38+ 36 = 74.
现在儿子年龄的 4倍是 11×4=44.相差74-44=30.
从4倍来考虑,以后每年长1×4=4,而父母年龄之和每年长1+1=2.
为追上相差的30,要30÷(4-2)=15(年)·
答:15年后,父母年龄之和是儿子年龄的4倍。
例15 有大、小两个水池,大水池里已有水 300立方米.小水池里已有水70立方米.现在往两个水池里注入同样多的水后,大水池水量是小水池水量的3倍.问每个水池注入了多少立方米的水.
解:画出示意图
我们把小水池注入水后的水量算作1份,大水池注入水后的水量就是3份.从图上可以看出,因为注入两个水池的水量相等,所以大水池比小水池多的水量(300-70)是2份.
因此每份是(300-70)÷2= 115(立方米).
要注入的水量是115-70=45 (立方米)·
答:每个水池要注入45立方米的水.
例15与年龄问题是完全一样的问题.“注入水”相当于年龄问题中的“几年后”.
例16 有一些人共同买一些东西,每人出8元,就多了3元;每人出7元,就少了4元。那么有多少人?物价是多少?
解:“多3元”与“少4元”两者相差
3+4=7(元). 每个人要多出 8-7=1(元)
所以,共有7÷1=7(人),
物价是8×7-3=53(元).
答:共有 7个人一起买,物价是 53元.
上面的3+4可以说是两个总数的相差数.而8-7是每份的相差数.
计算公式是: 总数相差数÷每份相差数=份数
这样的问题在内容上有很多变化,形成了一类问题,我们通称为“盈不足”问题.请再看一些例子.
例17 把一袋糖分给小朋友们,每人分10粒,正好分完;如果每人分16粒,就有3个小朋友分不到糖.这袋糖有多少粒?
解一:3位小朋友本来每人可以分到10粒,他们共有的 10 ×3= 30(粒),分给其余小朋友,每人就可以增加16-10=6(粒),因此其余小朋友有
10×3÷(16-10)= 5(人).
再加上这 3位小朋友,共有小朋友 5+3= 8(人).这袋糖有
10×(5 + 3)= 80(粒).
答:这袋糖有80粒.
解二:如果我们再增加 16×3粒糖,每人都可以增加(1-10)粒,因此共
有小朋友16×3÷(16-10)=8(人)· 这袋糖有80粒.
答:这袋糖有80粒.