(共31张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
【素养目标】
1．通过实例了解集合的含义，掌握集合元素的三个特性，初步运用集合元素的特性解决简单问题．(数学抽象)
2．体会元素与集合之间的属于关系，记住并会应用常用数集的表示符号．(逻辑推理)
3．掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)．(直观想象)
4．能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(直观想象)
【学法解读】
在本节学习中，学生依据老师创设合适的问题情境，以义务教育阶段所学过的数学内容为载体，学会用集合语言表达学过的相应内容，理解元素与集合的关系、元素的特征及集合的表示方法．
第1课时 集合的含义
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
必备知识·探新知
基础知识
集合与元素的含义
一般地，我们把研究对象统称为________(element)，把一些元素组成的________叫做集合(set)(简称为集)．
通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示________，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的________.
对象：可以是数、点、图形，也可以是人或物等，即对象的形式多样化．
元素
知识点1
总体
集合
元素
元素：具有共同的特征或共同的属性的对象．
总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义．因此，一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．
思考1：集合中的“研究对象”所指的就是数学中的数、点、代数式吗？
提示：集合中的“研究对象”所指的范围非常广泛，可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等．
集合中元素的三个特性
知识点2
特性 含义 示例
确定性 作为一个集合的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了 集合A＝{1,2,3}，则1∈A,4 A
特性 含义 示例
互异性 对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的(或者说是互异的)，这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一集合时只能算集合的一个元素 集合{x，x2－x}中的x应满足x≠x2－x，即x≠0且x≠2
无序性 构成集合的元素间无先后顺序之分 集合{1,0}和{0,1}是同一个集合
思考2：集合元素的三个特性主要有哪些应用？
提示：(1)确定性的主要作用是判断一组对象能否构成集合，只有这组对象具有确定性时才能构成集合．界定模糊的元素不能构成集合，如“小河流”“难题”等．
(2)无序性的主要作用是方便定义集合相等．当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等．如{1,2,3}与{3,2,1}表示同一集合．
(3)互异性的主要作用是警示我们做题后要检验．特别是题中含有参数(即字母)时，一定要检验求出的参数是否满足集合中元素的互异性．
元素与集合的关系
∈
知识点3
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a______A a属于集合A
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a A a__________集合A
不属于
思考3：(1)元素与集合之间有第三种关系吗？
(2)符合“∈”“ ”的左边可以是集合吗？
提示：(1)对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a A”这两种结果．
(2)∈和 具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不可以是集合．
常用数集及其记法
知识点4
数集 意义 符号
非负整数集(或自然数集) 全体非负整数组成的集合 N
正整数集 全体正整数组成的集合 N*或N＋
整数集 全体整数组成的集合 Z
有理数集 全体有理数组成的集合 Q
实数集 全体实数组成的集合 R
思考4：N，N*，N＋有什么区别？
提示： (1)N为非负整数集(或自然数集)，而N*或N＋表示正整数集，不同之处就是N包括0，而N*(N＋)不包括0.
(2)N*和N＋的含义是一样的，初学者往往会误记为N*或N＋，为避免出错，对于N*和N＋，可形象地记为“星星(*)在天上，十字(＋)在地下”．
基础自测
1．下列各组对象中不能组成集合的是( )
A．清华大学2019年入校的全体学生
B．我国十三届全国人大二次会议的全体参会成员
C．中国著名的数学家
D．不等式x－1>0的实数解
[解析] “著名的数学家”无明确的标准，对于某人是否“著名”无法客观地判断，因此“中国著名的数学家”不能组成集合，故选C．
C
A
4．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有_____个元素．
[解析] 方程x2－1＝0的解为1，－1，x＋1＝0的解为－1，所以两个方程所有解组成的集合有2个元素，故填2.
①④
2
关键能力·攻重难
题型探究
下列各组对象：
①某个班级中年龄较小的男同学；②联合国安理会常任理事国；③2018年在韩国举行的第23届冬奥会的所有参赛运动员；④的所有近似值．
其中能够组成集合的是________.
[分析] 结合集合中元素的特性分析各组对象是否满足确定性和互异性，进而判断能否组成集合．
②③
题型一 集合的基本概念
例 1
[解析] ①中的“年龄较小”、④中的“近似值”，这些标准均不明确，即元素不确定，所以①④不能组成集合．
②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集合．填②③.
[归纳提升] 1.判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．
2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．
【对点练习】 下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我国的小城市；
(2)某校2019年在校的所有高个子同学；
(3)不超过20的非负数；
(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解．
[解析] (1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能构成一个集合．(2)“高个子”无明确的标准，对于某个同学是否是“高个子”无法客观地判断，不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)由x2－9＝0，得x1＝－3，x2＝3.∴方程x2－9＝0在实数范围内的解为－3,3，能构成集合．
题型二 元素与集合的关系
例 2
[归纳提升] 1.(1)判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征．(2)要熟练掌握R、Q、Z、N、N*表示的数集．
2．解决这类比较复杂的集合问题要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决．
C
2,1,0
已知－3是由x－2,2x2＋5x,12三个元素构成的集合中的元素，求x的值．
[分析] －3是集合的元素说明x－2＝－3或2x2＋5x＝－3，可分类讨论求解．
[解析] 由题意可知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.
当x－2＝－3时，x＝－1，
把x＝－1代入2x2＋5x，得集合的三个元素分别为－3，－3,12，不满足集合中元素的互异性；
例 3
[归纳提升] 解决此类问题的通法是：根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性．
【对点练习】 已知集合A中仅含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为______________.
[解析] ∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意．
若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，实数a的值为0或－1.
0或－1(共32张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
第2课时 集合的表示
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
必备知识·探新知
基础知识
列举法
把集合的所有元素____________出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法．
一一列举
知识点1
思考1：哪些集合适合用列举法表示？
提示：(1)含有有限个元素且个数较少的集合．
(2)元素较多，元素的排列又呈现一定的规律，在不至于发生误解的情况下，也可列出几个元素作代表，其他元素用省略号表示，如N可表示为{0,1,2，…，n，…}．
(3)当集合所含元素不易表述时，用列举法表示方便．如集合{x2，x2＋y2，x3}．
描述法
1．设A是一个集合，把集合A中所有具有____________P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}．
2．具体步骤：
(1)在花括号内写上表示这个集合的元素的一般符号及取值(或变化)范围．
(2)画一条竖线．
(3)在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
共同特征
知识点2
思考2：什么类型的集合适合描述法表示？
提示：描述法可以看清集合的元素特征，一般含较多元素或无数多个元素(无限集)且排列无明显规律的集合，或者元素不能一一列举的集合，宜用描述法．
基础自测
1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( )
(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )
(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( )
2．不等式x－3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为___________.
×
×
√
{1,2,3,4}
①②④
[解析] A表示y的取值集合，由反比例函数的图象，知A＝{y∈R|y≠0}，
B的代表元素是点(x，y)，其表示直线y＝x－3上除去点(3,0)外所有点组成的集合．
C表示一个单元素集，元素是一个有序实数对(0,1)．
D表示以方程“x＋y＝1”和“x－y＝－1”为元素的一个二元素集．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 列举法表示集合
例 1
[归纳提升] 1.用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．
2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．
因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．
【对点练习】 用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x－3与y轴的交点所组成的集合．
[解析] (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思．所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．
(2)方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．
(3)将x＝0代入y＝2x－3，得y＝－3，即交点是(0，－3)，故两直线的交点组成的集合是{(0，－3)}．
题型二 用描述法表示集合
例 2
[分析] 用描述法表示集合时，关键要弄清元素的属性是什么，再给出其满足的性质，注意不要漏掉类似“x∈N”等条件．
[解析] (1)集合可表示为{x∈R|2≤x≤20}．
(2)第二象限内的点(x，y)满足x<0，且y>0，故集合可表示为{(x，y)|x<0，y>0}．
[归纳提升] 用描述法表示集合应注意的问题
1．写清楚该集合中的代表元素，即弄清代表元素是数、点还是其他对象．
2．准确说明集合中元素所满足的特征．
3．所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的符号．
4．用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系．
【对点练习】 用描述法表示下列集合：
(1)大于4的全体奇数组成的集合；
(2)二次函数y＝3x2－1图象上的所有点组成的集合；
(3)所有的三角形组成的集合．
[解析] (1)奇数可表示为2k＋1，k∈Z，又因为大于4，故k≥2，故可用描述法表示为{x|x＝2k＋1，k∈N，且k≥2}．
(2)点可用实数对表示，故可表示为{(x，y)|y＝3x2－1}．
(3){x|x是三角形}．
设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3,1}，试用列举法表示集合B．
[分析] 集合A，B都表示关于x的一元二次方程的解集，而A已知，可根据根与系数的关系确定a和b的值，再解集合B中的方程，从而求出B中的元素．
题型三 集合中的方程问题
例 3
[归纳提升] 集合与方程的综合问题的解题思路
(1)弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的根．
(2)当方程中含有参数时，若方程是一元二次方程，则应综合应用一元二次方程的相关知识求解．若知道其解集，利用根与系数的关系，可快速求出参数的值(或参数之间的关系)；若知道解集元素个数，利用判别式可求参数的取值范围．
【对点练习】 (1)已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值．
(2)已知集合M＝{x|ax2－2x＋2＝0，a∈R}中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
忽视集合中元素的互异性
方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集为_________________________.
[错解] x2－(a＋1)x＋a＝0，即(x－a)(x－1)＝0，所以方程的实数根为x＝1或x＝a，则方程的解集为{1，a}．
[错因分析] 错解中没有注意到字母a的取值带有不确定性，得到了错误答案{1，a}．事实上，当a＝1时，不满足集合中元素的互异性．
{1}(a＝1)或{1，a}(a≠1)
例 4
误区警示
[正解] x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为x＝1或x＝a.
若a＝1，则方程的解集为{1}；若a≠1，则方程的解集为{1，a}．故填{1}(a＝1)或{1，a}(a≠1)．
[方法点拨] 在刚学习集合的相关概念时，对含有参数的集合问题容易出错，尽管知道集合中元素是互异的，也不会写出{1,1}这种形式，但当字母a出现时，就会忽略a＝1的情况，因此要重点注意．一定要记住：当集合中的元素用字母表示时，求出参数后一定要代入检验，确保集合中元素的互异性．
解决集合的新定义问题的基本方法
集合命题中与运算法则相关的问题已经成为新课标高考的热点．这类试题的特点：通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求是集合命题的一个新方向．常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型．
学科素养
当x∈A时，若x－1 A且x＋1 A，则称x为A的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________.
[分析] 准确理解题中给出的新定义，并将其翻译成自然语言是解答此类题的关键．
{5}
例 5
[解析] 由“孤立元素”的定义知，对任意x∈A，要成为A的孤立元素，必须是集合A中既没有x－1，也没有x＋1，因此只需逐一考查A中的元素即可.0有1相伴，1,2则是前后的元素都有，3有2相伴，只有5是“孤立的”，从而集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为{5}，故填{5}．
[归纳提升] 解决这类问题的基本方法：仔细审题，准确把握新信息，想方设法将新定义的问题化归为已经解决的熟悉问题，从而使问题得到解决．也就是“以旧带新”法．
