人教版八年级数学上册
13.3.1.1《等腰三角形的性质》同步训练习题（学生版）
一．选择题
1．（2015?盐城）若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（ ）
A．12 B．9 C．12或9 D．9或7
2．（2015?苏州）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ）21世纪教育网版权所有
A．35° B．45° C．55° D．60°
3．（2015?台湾）如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC的度数为何？（ ）
A．114 B．123 C．132 D．147
4．（2015?德阳）如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（ ）21教育网
A．150° B．160° C．130° D．60°
5．（2015?内江）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．40° B．45° C．60° D．70°
6．（2015?邯郸二模）若实数x，y满足|x﹣4|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．16 C．16或20 D．20
7．（2015春?锦州校级月考）已知等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞12 B．x＜6 C．6＜x＜12 D．0＜x＜12
二．填空题
8．（2015?广元）一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为 cm．
9．（2015?南通）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC= 度．
10．（2015?广东模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，D是BC边的中点，连接AD，则∠BAD= ．
11．（2015?邯郸二模）等腰△ABC纸片（AB=AC）可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C与点D重合，请问原等腰△ABC中的∠B= 度．
12．（2015?河北）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= ．
三．解答题
13．（2015?宿迁）如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
14．（2015?北京）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．21·世纪*教育网
15．（2015春?黄冈校级期末）在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长．
16．（2015春?滕州市校级期中）已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC．
17．（2014秋?海南校级期末）在△ABC中，AB=AC．
（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=
（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：
（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
人教版八年级数学上册
13.3.1.1《等腰三角形的性质》同步训练习题（教师版）
一．选择题
1．（2015?盐城）若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（ ）
A．12 B．9 C．12或9 D．9或7
2．（2015?苏州）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．60°
考点： 等腰三角形的性质．21世纪教育网
分析： 由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
解答： 解：AB=AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，
∵∠BAD=35°，
∴∠BAC=2∠BAD=70°，
∴∠C=（180°﹣70°）=55°．
故选C．
点评： 本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
3．（2015?台湾）如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC的度数为何？（ ）
A．114 B．123 C．132 D．147
考点： 等腰三角形的性质．21世纪教育网
分析： 先根据等腰三角形的性质得出∠B=∠DCB，∠E=∠CDE，再利用三角形的内角和进行分析解答即可．【来源：21·世纪·教育·网】
解答： 解：∵BD=CD=CE，
∴∠B=∠DCB，∠E=∠CDE，
∵∠ADC+∠ACD=114°，
∴∠BDC+∠ECD=360°﹣114°=246°，
∴∠B+∠DCB+∠E+∠CDE=360°﹣246°=114°，
∴∠DCB+∠CDE=57°，
∴∠DFC=180°﹣57°=123°，
故选B．
点评： 此题考查等腰三角形的性质，关键是利用等边对等角和三角形内角和分析解答．
4．（2015?德阳）如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（ ） 21*cnjy*com
A．150° B．160° C．130° D．60°
考点： 等腰三角形的性质；平行线的性质；多边形内角与外角．21世纪教育网
分析： 根据两直线平行，同旁内角互补求出∠E，然后判断出△ADE是等边三角形，根据等边三角形的三个角都是60°可得∠EAD=60°，再求出∠BAD=60°，然后根据等腰三角形两底角相等和四边形的内角和等于360°计算即可得解．【版权所有：21教育】
解答： 解：∵AB∥ED，
∴∠E=180°﹣∠EAB=180°﹣120°=60°，
∵AD=AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠EAD=60°，
∴∠BAD=∠EAB﹣∠DAE=120°﹣60°=60°，
∵AB=AC=AD，
∴∠B=∠ACB，∠ACD=∠ADC，
在四边形ABCD中，∠BCD=（360°﹣∠BAD）=（360°﹣60°）=150°．
故选A．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，以及多边形的内角和，熟记各性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
5．（2015?内江）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．70°
考点： 等腰三角形的性质；平行线的性质．21世纪教育网
分析： 根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．
解答： 解：∵AE∥BD，
∴∠CBD=∠E=35°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBA=70°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠CBA=70°，
∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．
故选：A．
点评： 考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键是得到∠C=∠CBA=70°．21·cn·jy·com
6．（2015?邯郸二模）若实数x，y满足|x﹣4|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）www.21-cn-jy.com
A．12 B．16 C．16或20 D．20
考点： 等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系．21世纪教育网
分析： 根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．
解答： 解：根据题意得
x﹣4=0，解得x=4，
y﹣8=0，解得y=8，
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．
故选：D．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．21*cnjy*com
7．（2015春?锦州校级月考）已知等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞12 B．x＜6 C．6＜x＜12 D．0＜x＜12
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．21世纪教育网
分析： 设底边长为y，再由三角形的三边关系即可得出结论．
解答： 解：设底边长为y，
∵等腰三角形的周长为24，腰长为x，
∴2x+y=24，
∴y＜2x＜24，即：24﹣2x＜2x＜24，解得：6＜x＜12．
故选C．
点评： 此题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系；由于腰和底边长都没有明确取值范围，因此要联合等腰三角形的周长来求解，难度稍大．
二．填空题
8．（2015?广元）一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为 12 cm．
9．（2015?南通）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC= 52 度．
考点： 等腰三角形的性质．21世纪教育网
分析： 设∠ADC=α，然后根据AC=AD=DB，∠BAC=102°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数．
解答： 解：∵AC=AD=DB，
∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C，
设∠ADC=α，
∴∠B=∠BAD=，
∵∠BAC=102°，
∴∠DAC=102°﹣，
在△ADC中，
∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，
∴2α+102°﹣=180°，
解得：α=52°．
故答案为：52．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等．
10．（2015?广东模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，D是BC边的中点，连接AD，则∠BAD= 25° ．
考点： 等腰三角形的性质．21世纪教育网
分析： 根据等腰三角形的三线合一的性质解答即可．
解答： 解：∵AB=AC，D是BC边的中点，
∴∠BAD==25°．
故答案为：25°
点评： 此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的三线合一的性质得出∠BAD=．
11．（2015?邯郸二模）等腰△ABC纸片（AB=AC）可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C与点D重合，请问原等腰△ABC中的∠B= 72 度．
考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理．21世纪教育网
分析： 把图展开后，可知AD=BD=BC，∠A=∠ABD，∠BCD=∠BDC，可由三角形的内角和定理及三角形的外角与内角的关系求得∠B的度数．
解答： 解：如图：
由题意知：AD=BD=BC，∠A=∠ABD，∠BCD=∠BDC，
∵∠C=∠BDC=2∠A，∠A+2∠C=180°，
∴5∠A=180°，即∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°．
故填：72°．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质：两个底角相等，及三角形内角和定理．求得角之间的关系式正确解答本题的关键．
12．（2015?河北）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= 9 ．
考点： 等腰三角形的性质．21世纪教育网
专题： 压轴题．
分析： 根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．
解答： 解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，
则∠AOA1=∠OA1A，∠A1OA2=∠A1A2A，…，
∵∠BOC=9°，
∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45°，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n为整数，故n=9．
故答案为：9．
点评： 考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
三．解答题
13．（2015?宿迁）如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
考点： 等腰三角形的性质；平行线的性质．21世纪教育网
专题： 证明题．
分析： 首先根据AB=AC=AD，可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D．【出处：21教育名师】
解答： 证明：∵AB=AC=AD，
∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD+∠D，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠D，
∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，
又∵∠C=∠ABC，
∴∠C=2∠D．
点评： （1）此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
（2）此题还考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
14．（2015?北京）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．
考点： 等腰三角形的性质．21世纪教育网
专题： 证明题．
分析： 根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD，根据同角的余角相等可得：∠CBE=∠CAD，再根据等量关系得到∠CBE=∠BAD．
解答： 证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，
∴∠CBE=∠BAD．
点评： 考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
15．（2015春?黄冈校级期末）在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长．
考点： 等腰三角形的性质．21世纪教育网
专题： 分类讨论．
分析： 分两种情况讨论：当AB+AD=30，BC+DC=24或AB+AD=24，BC+DC=30，所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为16，16，22或20，20，14．
解答： 解：设三角形的腰AB=AC=x
若AB+AD=24cm，
则：x+x=24
∴x=16
三角形的周长为24+30=54（cm）
所以三边长分别为16cm，16cm，22cm；
若AB+AD=30cm，
则：x+x=30
∴x=20
∵三角形的周长为24+30=54（cm）
∴三边长分别为20cm，20cm，14cm；
因此，三角形的三边长为16cm，16cm，22cm或20cm，20cm，14cm．
点评： 主要考查了等腰三角形的性质；解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长．21cnjy.com
16．（2015春?滕州市校级期中）已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC．2·1·c·n·j·y
考点： 等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．21世纪教育网
专题： 证明题．
分析： 延长AO交BC于点D，先证出△ABO≌△ACO，得出∠BAO=∠CAO，再根据三线合一的性质得出AO⊥BC即可．2-1-c-n-j-y
解答： 证明：延长AO交BC于点D，
在△ABO和△ACO中，
，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠BAO=∠CAO，
∵AB=AC，
∴AO⊥BC．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质，用到的知识点是全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一的性质，关键是找出全等三角形．www-2-1-cnjy-com
17．（2014秋?海南校级期末）在△ABC中，AB=AC．
（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC= 15°
（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC= 20°
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示： ∠EDC=∠BAD 21教育名师原创作品
（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
考点： 等腰三角形的性质．21世纪教育网
分析： （1）等腰三角形三线合一，所以∠DAE=30°，又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=75°，所以∠DEC=15°．
（2）同理，易证∠ADE=70°，所以∠DEC=20°．
（3）通过（1）（2）题的结论可知，∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=∠BAD）．
（4）由于AD=AE，所以∠ADE=∠AED，根据已知，易证∠BAD+∠B=2∠EDC+∠C，而B=∠C，所以∠BAD=2∠EDC．
解答： 解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BAD=30°，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠EDC=15°．
（2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BAD=40°，
∴∠BAD=∠CAD=40°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=70°，
∴∠EDC=20°．
（3）∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=∠BAD）
人教版八年级数学上册
13.3.1.2《等腰三角形的判定》同步训练习题（学生版）
一．选择题
1．（2014?海南模拟）如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，∠ABC的平分线交AC于D，则图中共有等腰三角形（ ）21·cn·jy·com
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2015?永州模拟）在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2014秋?鹿城区校级期末）下列长度的三线段，能组成等腰三角形的是（ ）
A．1，1，2 B．2，2，5 C．3，3，5 D．3，4，5
4．（2014秋?常熟市校级期末）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2014秋?北流市期中）如果D是△ABC中BC边上一点，并且△ADB≌△ADC，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
6．（2015?威海模拟）如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，AB=5，AC=7，BC=8，△AEF的周长为（ ）
A．13 B．12 C．15 D．20
7．（2014?滦县一模）如图，C表示灯塔，轮船从A处出发以每时30海里的速度向正北（AN）方向航行，2小时后到达B处，测得C在A的北偏东30°方向，并在B的北偏东60°方向，那么B处与灯塔C之间的距离为（ ）海里．
A．60 B．80 C．100 D．120
8．（2014秋?南长区期末）已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的有（ ）个．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题
9．（2015春?邳州市期末）在△ABC中，∠A=100°，当∠B= °时，△ABC是等腰三角形．
10．（2015春?盐城校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm．动点D从点A出发，以每秒1cm的速度沿射线AC运动，当t= 时，△ABD为等腰三角形．
11．（2015?甘肃模拟）如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）： ．
12．（2015?乳山市一模）如图，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC= m2．
13．（2013秋?兴化市期末）如图，已知△ABC中，AC+BC=16，AO、BO分别是∠CAB、∠ABC的角平分线．MN经过点O，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为 ．
三．解答题
14．（2015春?揭西县校级月考）如图所示，D为△ABC的边AB的延长线上一点，过D作DF⊥AC，垂足为F，交BC于E，且BD=BE，求证：△ABC是等腰三角形．
15．（2015春?山亭区期末）如图，AD∥BC，∠BAC=70°，DE⊥AC于点E，∠D=20°．
（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状；
（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．
16．（2015秋?德州校级月考）如图，在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB和△ACB的外角∠ACG，EF∥BC交AC于点D，求证：DE=DF．www-2-1-cnjy-com
17．（2014秋?金华期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？2·1·c·n·j·y
人教版八年级数学上册
13.3.1.2《等腰三角形的判定》同步训练习题（教师版）
一．选择题
1．（2014?海南模拟）如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，∠ABC的平分线交AC于D，则图中共有等腰三角形（ ） 21*cnjy*com
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点：等腰三角形的判定．21世纪教育网
分析：由已知条件，根据等腰三角形的定义及等角对等边先得出∠ABC的度数，由∠ABC的平分线交AC于D，得到其它角的度数，然后进行判断．【出处：21教育名师】
点评：本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质及三角形内角和定理；求得各角的度数是正确解答本题的关键．
2．（2015?永州模拟）在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点： 等腰三角形的判定；坐标与图形性质．21世纪教育网
分析： 如图，分别以点O、A为圆心，以OA或AO为半径画弧，交x轴于三点；作OA的垂直平分线，交x轴于一点，共即四点．
解答： 解：如图，
∵以点O为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于点B、C；
以点A为圆心，以AO为半径画弧，交x轴于一点D（点O除外），
∴以OA为腰的等腰三角形有3个；
作OA的垂直平分线，交x轴于一点，
∴以OA为底的等腰三角形有1个，
综上所述，符合条件的点P共有4个，
故选：D．
点评： 该题以平面直角坐标系为载体，以考查等腰三角形的判定为核心构造而成；运用分类讨论的数学思想逐一讨论解析，是解决该题的关键．
3．（2014秋?鹿城区校级期末）下列长度的三线段，能组成等腰三角形的是（ ）
A．1，1，2 B．2，2，5 C．3，3，5 D．3，4，5
考点： 等腰三角形的判定．21世纪教育网
分析： 根据三角形三边关系以及等腰三角形的判定分别分析得出即可．
解答： 解：A、∵1+1=2，无法构成三角形，故此选项错误；
B、∵2+2＜5，无法构成三角形，故此选项错误；
C、∵3+3＞5，3=3，故组成等腰三角形，此选项正确；
D、∵3，4，5没有相等的边，不是等腰三角形，故此选项错误．
故选：C．
点评： 此题主要考查了三角形的三边关系以及等腰三角形的判定，正确把握定义是解题关键．
4．（2014秋?常熟市校级期末）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点： 等腰三角形的判定．21世纪教育网
专题： 网格型．
分析： 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰；然后根据S△ABC=1.5，再确定点C的位置．
解答： 解：如上图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个．
因为S△ABC=1.5，
所以满足条件的格点C只有两个，如图中蓝色的点．
故选B．
点评： 本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
5．（2014秋?北流市期中）如果D是△ABC中BC边上一点，并且△ADB≌△ADC，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
考点： 等腰三角形的判定；全等三角形的性质．21世纪教育网
分析： 画出图形就能明显看出来，运用全等的性质，易解．
解答： 解：∵△ADB≌△ADC
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形．
故选D．
点评： 本题考查了等腰三角形的判定及全等三角形的性质；利用全等三角形的性质是正确解答本题的关键．
6．（2015?威海模拟）如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，AB=5，AC=7，BC=8，△AEF的周长为（ ）
A．13 B．12 C．15 D．20
考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．21世纪教育网
分析： 根据平行线性质和角平分线定义得出∠EDB=∠EBD，推出BE=ED，同理DF=CF，求出△AEF的周长=AB+AC，代入求出即可．
解答： 解：∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=ED，
同理DF=CF，
∴△AEF的周长是AE+EF+AF
=AE+ED+DF+AF
=AE+BE+CF+AF
=AB+AC
=5+7
=12．
故选B．
点评： 本题考查了平行线性质，等腰三角形的判定，角平分线定义的应用，关键是推出AE+EF+AF=AB+AC
7．（2014?滦县一模）如图，C表示灯塔，轮船从A处出发以每时30海里的速度向正北（AN）方向航行，2小时后到达B处，测得C在A的北偏东30°方向，并在B的北偏东60°方向，那么B处与灯塔C之间的距离为（ ）海里．
A．60 B．80 C．100 D．120
考点： 等腰三角形的判定与性质；方向角．21世纪教育网
专题： 应用题．
分析： 将方位表示的角度转化为题目中对应角的度数，再根据等腰三角形的性质即可得到答案．
解答： 解：∵∠NBC=∠A+∠C，∠NBC=60°，∠A=30°
∴∠C=30°．
∴△ABC为等腰三角形．
船从A到B以每小时30海里的速度走了2小时，
∴AB=BC=60海里．
故答案选A．
点评： 考查了等腰三角形的判定与性质，本题可用直角三角形性质解，但用等腰三角形更为简单，可根据自己情况灵活选择．www.21-cn-jy.com
8．（2014秋?南长区期末）已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的有（ ）个．【来源：21cnj*y.co*m】
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
考点： 等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．21世纪教育网
分析： ①利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；
②证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；
③首先证明∴△OPA≌△CPE，则AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP．
④过点C作CH⊥AB于H，根据S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC，利用三角形的面积公式即可求解．
解答： 解：连接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°﹣∠BAD=30°，
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；
故①正确；
∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°﹣（∠OPC+∠OCP）=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形；
故②正确；
在AC上截取AE=PA，
∵∠PAE=180°﹣∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP；
故③正确；
过点C作CH⊥AB于H，
∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，
∴CH=CD，
∴S△ABC=AB?CH，
S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC=AP?CH+OA?CD=AP?CH+OA?CH=CH?（AP+OA）=CH?AC，21世纪教育网版权所有
∴S△ABC=S四边形AOCP；
故④正确．
故选D．
点评： 本题考查了等腰 三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线．
二．填空题
9．（2015春?邳州市期末）在△ABC中，∠A=100°，当∠B= 40 °时，△ABC是等腰三角形．21*cnjy*com
10．（2015春?盐城校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm．动点D从点A出发，以每秒1cm的速度沿射线AC运动，当t= 5、6、 时，△ABD为等腰三角形．
考点： 等腰三角形的判定；勾股定理．21世纪教育网
专题： 分类讨论．
分析： 根据勾股定理求出AC，分为三种情况：①若AB=AD，②若BA=BD，则AD=2AC，③若DA=DB，求出即可．
解答： 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，由勾股定理得：AC=3cm，
由运动可知：AD=t，且△ABD时等腰三角形，
有三种情况：
①若AB=AD，则t=5；
②若BA=BD，则AD=2AC，即t=6；
③若DA=DB，则在Rt△BCD中，CD=t﹣3，BC=4，BD=t，
即（t﹣3）2+42=t2，
解得：t=，
综合上述：符合要求的t值有3个，分别为5，6，．
点评： 本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，运用分类讨论思想是本题的关键．
11．（2015?甘肃模拟）如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）： ①③ ．
考点： 等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
专题： 证明题；开放型．
分析： 根据已知条件求证△EBO≌△DCO，然后可得∠OBC=∠OCB再利用两角相等即可判定△ABC是等腰三角形．此题答案不唯一．
解答： 答：由①③条件可判定△ABC是等腰三角形．
证明：∵∠EBO=∠DCO，∠EOB=∠DOC，（对顶角相等）
BE=CD，
∴△EBO≌△DCO，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
点评： 此题主要考查学生对等腰三角形的判定和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．2-1-c-n-j-y
12．（2015?乳山市一模）如图，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC= 4 m2．21·世纪*教育网
考点： 等腰三角形的判定与性质；三角形的面积．21世纪教育网
分析： 延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，可得出S△ADC=S△ABC．
解答： 解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD=DE，
∴S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC，
∴S△ADC═S△ABC=×8=4（m2），
故答案为：4．
点评： 本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由BD=DE得到S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE是解题的关键．
13．（2013秋?兴化市期末）如图，已知△ABC中，AC+BC=16，AO、BO分别是∠CAB、∠ABC的角平分线．MN经过点O，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为 16 ．
考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．21世纪教育网
分析： 根据AO、BO分别是角平分线和MN∥BA，求证△AON和△BOM为等腰三角形，再根据AC+BC=16，利用等量代换即可求出△CMN的周长．
解答： 解：AO、BO分别是角平分线，
∴∠OAN=∠BAO，∠ABO=∠OBM，
∵MN∥BA，
∴∠AON=∠BAO，∠MOB=∠ABO，
∴AN=ON，BM=OM，即△AON和△BOM为等腰三角形，
∵MN=MO+ON，AC+BC=16，
∴△CMN的周长=MN+MC+NC=AC+BC=16．
故答案为：16．
点评： 此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质平行线段性质的理解和掌握，此题关键是求证△AON和△BOM为等腰三角形．21cnjy.com
三．解答题
14．（2015春?揭西县校级月考）如图所示，D为△ABC的边AB的延长线上一点，过D作DF⊥AC，垂足为F，交BC于E，且BD=BE，求证：△ABC是等腰三角形．
考点： 等腰三角形的判定．21世纪教育网
专题： 证明题．
分析： 先根据BD=BE得出∠D=∠BED，再利用对顶角相等和等角的余角相等证明即可．
解答： 证明：∵BD=BE，
∴∠D=∠BED，
∵∠BED=∠CEF，
∴∠D=∠CEF，
∵DF⊥AC，
∴∠A+∠D=90°，∠CEF+∠C=90°，
∴∠A=∠C，
∴AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形．
点评： 此题考查等腰三角形的判定，关键是根据对顶角相等和等角的余角相等进行分析．
15．（2015春?山亭区期末）如图，AD∥BC，∠BAC=70°，DE⊥AC于点E，∠D=20°．
（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状；
（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．
考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．21世纪教育网
分析： （1）根据三角形内角和定理求得∠CAD=70°，根据平行线的性质求得∠C=∠CAD=70°，即可求得∠B的度数，根据等角对等边求得△ABC是等腰三角形；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质即可证得；
解答： 解：（1）∵DE⊥AC于点E，∠D=20°，
∴∠CAD=70°，
∵AD∥BC，
∴∠C=∠CAD=70°，
∵∠BAC=70°，
∴∠B=40°，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵延长线段DE恰好过点B，DE⊥AC，
∴BD⊥AC，
∵△ABC是等腰三角形，
∴DB是∠ABC的平分线．
点评： 本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握和应用这些性质和定理是本题的关键．21教育网
16．（2015秋?德州校级月考）如图，在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB和△ACB的外角∠ACG，EF∥BC交AC于点D，求证：DE=DF．【版权所有：21教育】
考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．21世纪教育网
专题： 证明题．
分析： 利用平行线及角平分线的性质先求得CD=ED，CD=DF，然后等量代换即可证明DE=DF．
解答： 证明：∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=∠BCE．
∵CF为外角∠ACG的平分线，
∴∠ACF=∠GCF．
∵EF∥BC，
∴∠GCF=∠F，∠BCE=∠CEF．
∴∠ACE=∠CEF，∠F=∠DCF．
∴CD=ED，CD=DF（等角对等边）．
∴DE=DF．
点评： 本题考查了等腰三角形的判定及角平分线的性质和平行线的性质；进行等量代换是正确解答本题的关键．21教育名师原创作品
17．（2014秋?金华期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？【来源：21·世纪·教育·网】
考点： 等腰三角形的判定；一次函数综合题．21世纪教育网
分析： （1）利用勾股定理AC=8cm和PB=2cm，所以求出了三角形的周长．
（2）利用分类讨论的思想和等腰三角形的特点及三角形的面积求出答案．
（3）利用分类讨论的思想和周长的定义求出了答案．
解答：
解：（1）∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，∴有勾股定理得AC=8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm
∴出发2秒后，则CP=2cm，那么AP=6cm．
∵∠C=90°，
∴有勾股定理得PB=2cm
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=6+10+2=（16+2）cm；
（2）若P在边AC上时，BC=CP=6cm，
此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
若P在AB边上时，有两种情况：
①若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为12cm，
所以用的时间为12s，故t=12s时△BCP为等腰三角形；
②若CP=BC=6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，
根据勾股定理求得BP=7.2cm，
所以P运动的路程为18﹣7.2=10.8cm，
∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；
③若BP=CP时，则∠PCB=∠PBC，
∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC
∴PA=PB=5cm
∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．
∴t=6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形；
