数学人教A版（2019）必修第二册8.6.1直线与直线垂直 课件（共16张ppt）

(共16张PPT)
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
回顾与引入
前面我们学习空间直线、平面的平行关系，事实上，垂直关系也是空间直线、平面之间的一种特殊位置关系，它在研究空间图形问题中具有重要的作用．
类比平行关系的研究过程和方法，本节将研究空间直线、平面之间的垂直关系，研究的重点仍然这些垂直关系的判定和性质．
首先请大家回顾一下，空间直线、平面的位置关系，我们是按怎样的顺序进行研究的？
线线→线面→面面.
对于空间中两条直线的位置关系我们前面已经学习过，你还能想吗？
平行
相交
共面
异面
对于平行直线和相交直线，我们在初中就比较熟悉了，所以我们将把本节的重点放在如何刻画两条异面直线的位置关系上.
知识探究(一)
问题1：在如图所示的正方体中，直线A'C' 和直线A'D' 都 与直线AB 异面，但是A'C' 和A'D 的位置又是不同的，如何描述这种差异呢？
B
D
C
A'
B'
C'
D'
A
思考(1)：我们知道，在平面几何中，我们是如何来刻画两条相交直线的位置关系 —— 一条直线相对于另一条直线的倾斜程度的？
在一个平面内，两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角）.
它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度．
通过两条直线所成的角(或夹角）
问题1：在如图所示的正方体中，直线A'C' 和直线A'D' 都 与直线AB 异面，但是A'C' 和A'D 的位置又是不同的，如何描述这种差异呢？
B
D
C
A'
B'
C'
D'
A
思考(2)：类比这种方法，你认为该如何来刻画异面直线间的位置差异吗？
由于两条异面直线并不相交，所以无法直接得到它们所成的角(或夹角).
但我们可以利用“空间图形平面化”的思路，寻求一个平面角来代替它．
先在空间中任取一个点，
然后分别将两条异面直线平移到这个点相交，或者过这个点分别作这两条异面直线的平行线.
用这两条相交直线所成的角来刻画异面直线的位置关系.
B
D
C
A'
B'
C'
D'
A
不管这个点的位置如何，由等角定理可知，对同一对异面直线，这个平面角都是相等的.
思考(3)：对同一对异面直线，用以上方法得到的平面角相等吗？
思考(4)：用以上 的方法，请你说说直线A'C' 和A'D' 相对于直线AB 的位置差异吗
问题1：在如图所示的正方体中，直线A'C' 和直线A'D' 都 与直线AB 异面，但是A'C' 和A'D 的位置又是不同的，如何描述这种差异呢？
平移直线A'C' 、AB，
得到的平面角都为45°
平移直线A'D' 、AB，
得到的平面角都为90°
因此用这样的角是可以表示直线A'C' ，A'D' 与异面直线AB 在位置上的差异的.
思考(5)：我们把用这种方法得到的角称为异面直线所成的角(或夹角)，你能用说说什么是异面直线所成的角吗？其范围是多少？特殊情况又是什么？
异面直线所成的角
1.定义:
已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′//a，b′//b，我们把直线a′，b′所成的角(或夹角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
2.范围：
（0°，90°]
3.特殊情况：
若两条异面直线的夹角为90°，我们就说这两条异面直线互相垂直．
返回
知识探究(二)
问题2：有了异面直线所成角的定义后，请你想想对于空间的任意两条直线a，b，，它们所成角的范围是怎样的？为什么？
(1)当a，b平行时，
(2)当a，b相交时，
(3)当a，b异面时，
我们规定a，b所成的角为0°。
综上，空间的任意两条直线所成角的范围为[0°，90°].
相交所得的4个角中，不大于的90°（即(0°，90°] ）角为a，b所成的角.
与a，b分别平行的两条相交直线所成的角（即(0°，90°] ）为a，b所成的角.
两条直线垂直
1.定义：
若两条直线所成的角为90°，则称这两条直线垂直.
2.种类：
相交垂直，异面垂直。
知识探究(三)
问题3：根据异面直线所成角的定义，结合空间几何平面化的思路，你认为求异面直线所成角的过程是怎样的？
1.作(找)：
恰当地选择一个点（经常在其中一条线上取点），作(找)出（常用平移法)异面直线所成的角(或其补角)；
常利用三角中位线、平行四边形等性质，来作(找)异面直线的平行线，从而构造出此角.
　 2.证：
证明所作(找)的角(或其补角)就是所求异面直线所成的角；
关键也是证明角的边线与异面直线平行(或重合）.
　 3.算：
通过解三角形或其他方法，求出以上所构造的角的大小；
若如此角为钝角，则其补角才是所求角.
求异面直线所成角的一般步骤
一作二证三计算
简称：
返回
例1.如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.
(1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
(2)求直线BA′与CC′所成角的大小.
(3)求直线BA′与AC所成角的大小.
例析
B
D
C
A'
B'
C'
D'
A
解: (1)
AB, BC, CD, DA,
A′B′, B′C′, C′D′, D′A′.
∵ABCD-A′B′C′D′中是正方体,
∴CC′//BB′,
∴∠B′BA为直线BA′与CC′所
成的角.
又∵∠B′BA=45°.
∴直线BA′与CC′所成角的大
小为45°.
连接A′C′, BC′.
∵ABCD-A′B′C′D′中是正方体,
∴ ACC′A′ 是平行四边形，
即AC//C′A′,
∴∠BA′C′为直线BA′与AC
所成的角.
∵在正方体ABCD-A′B′C′D′
中，△A′BC′是正三角形，
∴∠BA′C′ =60°，
即直线BA′与AC所成的角
等于60°.
(2)
(3)
思考：由(1)知，垂直于同一直线的两条直线平行吗？
例2.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证：AO1⊥BD ．
思考(1)：证明“AO1⊥BD”的实质是证明什么？
异面直线AO1与BD所成角为90°.
思考(2)：根据题目条件，如何作出AO1与BD所成角？
根据题目条件易知，四边形BDD1B1是平行四边形，只需连接B1D1即可.
A
F
E
D
C
B
思考(1)：证说说你是怎么考虑作AB，CD 平行线？
取AC 的中点，连结EM，FM.
一般地，已知中点需要作平行线时，我们就采取见中点取中点的方式，作出三角形的中位线.
解：
取AC 的中点M ，连接FM、EM.
∵F、M分别是BC和AC 的中点，∴FM//AB，且
∴∠EMF就是异面直线AB 和CD所成的角或其补角.
在△EFM中，
∴直线AB 和CD所成的角为180°-135°=45°.
思考(2)：你认为此题在哪些地方容易出错
练习
√
×
B
D
C
A'
B'
C'
D'
A
2.如图，在长方体ABCD-A'B'C'D' 各棱所
在的直线中
(1)与直线AB垂直的直线有_____条；
(2)与直线AB异面且垂直的直线有_____条；
(3)与直线AB和A'D'都垂直的直线有____条；
(4)与直线AB和A'D'都垂直且相交的直线是____.
8
4
4
AA'
（教材P148练习第1，2题）
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号中画√，正确的在括号
中画×
(1)如果两个平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也
与已知直线垂直 . ( )
(2)垂直于同一条直线的两条直线平行.( )
3.在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=BC=1， AA'= ，
求异面直线AD'与DB'所成角的余弦值．
连接BD、B'D'.
由ABCD-A'B'C'D' 是长方体知
∴ BDD′B′ 是平行四边形，
即连BD'与B'D'交于一点E，且E是BD、B'D'的中点.
取AB 的中点F ，连接EF. 则
∴∠DEF就是异面直线AD'与DB'所成的角或其补角.
连接DF.
∴直线AD'与DB'所成角的余弦为
解：
课堂小结
1.本节课我们研究了哪一些内容，是按怎样的路径进行研究的？
异面直线所成角，
空间直线垂直的定义.
这些内容我们主要是按从“一般到特殊”的路径进行的.
2.什么是异面直线所成的角，它与两条相交直线所成的角有何不同？定义中蕴含了什么样的数学思想本？
相交直线所成的角是指两条相交直线相交所得的锐角或直角，而异面直线所成的角是两条异面直线平移到相交后，再用相交直线所成的角来表示。
这其中蕴含了“化归和转化”的思想方法：
4.请你进一步完善空间直线的位置关系？
3.求异面直线所成角的一般过程是怎样的？
空间中的问题
异面直线所成的角
平面中的问题
相交直线所成的角
4.请你进一步完善空间直线的位置关系？
相交
平行：
共面
异面
斜交：
垂直：
垂直：
不垂直：
所成角为0°.
所成角范围为(0°,90°).
所成角为90°.
所成角为90°.
所成角范围为(0°,90°).
空间两直线的位置关系
两直线垂直
5.异面直线所成的角是我们接触到的第一个空间角，你认为今后我们还会接触哪一些空间角？
直线与平面所成的角，
平面与平面所成的角 .
作业
教材P148练习第3, 4题