人教版九年级上册 第二十一章 一元二次方程综合培优练习 含解析

人教版九年级上册一元二次方程综合培优练习
一、选择题
1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．方程的根是（　　）
A． B． C． D．
3．一元二次方程配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．若关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m≠2 B．m=2 C．m≥2 D．m≠0
5．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
6．如图，张老汉想用长为米的栅栏，再借助房屋的外墙外墙足够长围成一个面积为平方米的矩形羊圈，并在边上留一个米宽的门建在处，门用其他材料，设的长为米，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7． 方程的两根分别是和，则方程的两根为（　　）
A．0， B．，1 C．， D．，3
8．某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，如果全班同学有名学生，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．已知关于 的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数 的取值范围为（　　）
A． B．
C． 或a>0 D． 或a>0
10．如图，用1块边长为a的大正方形，4块边长为b的小正方形和4块长为a、宽为b的长方形（a>b），密铺成正方形ABCD，已知ab=2，正方形的面积为S，则下列结论中正确的为（　　）
A．若a=2b+1，则S=16 B．若a=2b+2，则S=25
C．若S=25，则a=2b+3 D．若S=16，则a=2b+4
二、填空题
11．一元二次方程的常数项是　 　．
12．设方程的两根分别是，，则的值为　 　．
13．如果m是方程的一个根，那么代数式的值为　 　．
14．三角形的两边长分别为6和8，第二边长是方程的一个实根，则第三边长为　 　．
15．对于实数m，n我们用符号表示m，n两数中较大的数，如，若则可列方程为　 　，x的值为　 　．
16．已知关于x的方程x2﹣（a+2b）x+2＝0有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P在直线l：y＝﹣x+上，点Q（a，b）在直线l下方，则PQ的最小值为 　 　．
三、解答题
17．完成下列各题：
（1）解方程：．
（2）解方程：．
18．已知关于x的方程是一元二次方程，求m的值．
19．设是关于x的一元二次方程的两个根，求下列各式的值：
（1）
（2）．
20．已知
（1）求m，n的值.
（2）若关于x的一元二次方程有一个根是1，求b的值.
21．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根．
（2）当时，求此时方程的根．
22．若关于x的一元二次方程-k-1=0与仅有一个公共的实数根，求k的值和公共的实数根。
23．已知关于的方程与都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且，则称它们互为“同根轮换方程”． 如与互为“同根轮换方程”．
（1）方程与互为“同根轮换方程”吗？
（2）若关于的方程与互为“同根轮换方程”，求的值；
（3）已知方程①：和方程②：，、分别是方程①和方程②的实数根，且．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含的代数式分别表示和；如果不能，请说明理由．
24．已知，实数m，n，t满足．
（1）求m，n，t的值；
（2）如图，在平面直角坐标系中，A，B都是y轴正半轴上的点，C，D都是x轴正半轴上的点（点D在C右边），，．
①如图（1），若点A与B重合，，求B点的坐标；
②如图（2），若点A与B不重合，，，直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：A、，未知数最高项次数是2，是一元二次方程，符合题意；
B、，含有分式，是分式方程，不符合题意；
C、，只有当a≠0时，是一元二次方程，不符合题意；
D、，含有两个未知数，未知数最高项次数是2，是二元二次方程，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】含有一个未知数，未知数项最高次数为2，且二次项的系数不为零的整式方程就是一元二次方程，据此逐项判断得出答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：x(x+2)=0，
∴x=0或x+2=0，
解得x1=0，x2=-2.
故答案为：C.
【分析】根据两个数的乘积等于零，则至少有一个数为零，可将原方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可得出原方程的解.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵方程，
∴，
故答案为：B.
【分析】利用配方法的计算方法求解一元二次方程即可。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣1=0是一元二次方程，∴m-2≠0，解得：m≠2．故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，并且二次项的系数不能为零得出不等式，∴m-2≠0，求解得出m的值 。
5．【答案】A
【解析】【解答】∵一元二次方程为，
∴△=b2-4ac=（-1）2-4×2×5=1-40=-39<0，
∴一元二次方程没有实数根，
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出算式求解并判断即可.
6．【答案】D
【解析】【解答】设的长为米 ，由题意得 ，
故答案为：D.
【分析】设的长为米，表示出矩形的长，根据矩形的面积公式列得关于x的一元二次方程，即可求解.
7．【答案】D
8．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得
故答案为：A
【分析】设全班同学有名学生，进而根据“每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言”结合题意即可列出一元二次方程，从而即可求解。
9．【答案】C
【解析】【解答】先将原方程变形为 ，这是一个以 为未知数的一元二次方程.当|x-3|<0时，x无解；当|x-3|=0时，只有1解；当|x-3|有2个大于0的根时，x有4解.所以关于 的一元二次方程有且只有1个大于0的实数根.
当关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，即△＝0时，
，解得 =-2
②当关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，一根大于0，另一根小于0时： ，解得即a>0.
综合上面两种情况，a的取值范围是a>0或者a=-2.
【分析】先将原方程变形为 ，把当做未知数，分两种情况讨论：①当关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式得出，解方程求出a=-2，②当关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，一根大于0，另一根小于0时，得出，解不等式组求出a>0，即可求解.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意，正方形ABCD的边长为a+2b，ab＝2，a＞b＞0，
A、若a＝2b+1，则正方形ABCD的边长为a+2b＝4b+1，b（2b+1）＝2，
即2b2+b﹣2＝0，
解得：b（负值不合题意，舍去），
∴b，
∴S＝（4b+1）2＝（41）2＝17，
∴选项A不正确；
B、若a＝2b+2，则正方形ABCD的边长为a+2b＝4b+2，b（2b+2）＝2，
即b2+b﹣1＝0，
解得：（负值不合题意，舍去），
∴b，
∴S＝（4b+2）2＝（42）2＝20，
∴选项B不正确；
C、若S＝25，则（a+2b）2＝25，
∵a+2b＞0，
∴a+2b＝5，
∴a＝5﹣2b，
∴b（5﹣2b）＝2，
即2b2﹣5b+2＝0，
解得：b1，b2＝2，
当b时，a＝5﹣2b＝4，
2b+3＝4，
此时，a＝2b+3；
当b＝2时，a﹣5﹣2b＝1，a＜b，不合题意，
∴选项C正确；
D、若S＝16，则（a+2b）2＝16，
∵a+2b＞0，
∴a+2b＝4，
∴a＝4﹣2b，
∴b（4﹣2b）＝2，
即b2﹣2b+1＝0，
解得：b1＝b2＝1，
当b＝1时，a＝4﹣2b＝2，2b+4＝6，
∴a≠2b+4，
∴选项D不正确；
故答案为：C．
【分析】正方形的边长是一个含有两个字母的代数式，根据已知条件，变成含一个字母的代数式，根据正方形面积已知，列一元二次方程，通过求根公式求出字母的值，再对选项加以判定．
11．【答案】
【解析】【解答】解：根据题意
一元二次方程的常数项是-3
故答案为：-3
【分析】掌握一元二次方程的定义及各项系数，一元二次方程一般式ax2+bx+c=0(a0)，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
12．【答案】3
【解析】【解答】由题意可得
故答案为：3.
【分析】利用韦达定理：两根之和等于代入数据进行计算即可求解.
13．【答案】
【解析】【解答】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
故答案为：13
【分析】根据一元二次方程的根代入m即可得到，进而整体代入代数式即可求解。
14．【答案】10
15．【答案】；
【解析】【解答】解：∵
∴
∴ ，
即
解得：.
故答案为：；.
【分析】先判断和的大小关系，再根据max的定义得到，最后求解得到x的值.
16．【答案】
【解析】【解答】解：∵关于x的方程有两个相等实数根．
，
∴或，
∵点，即Q的坐标为或，
∴点Q所在的直线为或，
∵点在直线的下方，
∴点Q在直线上，
∴E，O，F三点共线，且，，为两直线的距离，如图所示：
与坐标轴交于，两点，令，，令，，
，，
，，
，
，
，
，
同理与坐标轴交于，两点，令，，令，，
，，
，，
，
，
，
，
，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】先根据有相等的两个根得到，进而得点Q的坐标为或，当点Q在直线上，为两直线的距离，根据三角形的面积公式，求出OE、OF，进而求得EF即可.
17．【答案】（1）解：，
，
，
解得：．
（2）解：，
，
，
，
解得：．
【解析】【分析】（1）利用因式分解法，解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
18．【答案】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴m+1≠0，m2+1=2，
解得m=1．
【解析】【分析】形如“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的方程就是一元二次方程，据此列出混合组，求解即可.
19．【答案】（1）解：∵是关于x的一元二次方程的两个根，
∴；
（2）解：∵是关于x的一元二次方程的两个根，
∴
【解析】【分析】（1）一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2，则，据此求解；
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2，则，据此求解；
20．【答案】（1）解：∵，
∴n-5≥0且5-n≥0，
解之：n=5，
∴m=4，
∴n=5，m=4
（2）解：∵关于x的一元二次方程有一个根是1， n=5，m=4，
∴4x2+bx+5=0，
∴4+b+5=0，
解之：b=-9，
∴b的值为-9
【解析】【分析】（1）利用二次根式的非负性，可得到n-5≥0且5-n≥0，由此可求出n的值，然后求出m的值.
（2）将m，n的值代入方程，可得到4x2+bx+5=0，再将x=1代入方程，可求出b的值.
21．【答案】（1）证明：∵关于x的一元二次方程，
∴
，
∴此方程总有两不相等实根．
（2）解：当时．方程为
∴
解得：，．
【解析】【分析】（1）根据二次方程中判别式，即可求出答案；
（2）将m=4代入方程，再解方程即可求出答案.
22．【答案】解：∵若关于x的一元二次方程-k-1=0与仅有一个公共的实数根，求k的值和公共的实数根，
∴x2-6x-k-1=x2-kx-7
kx-6x-k+6=0
∴x（k-6）-（k-6）=0
∴（x-1）（k-6）=0
当k≠6时，则x-1=0
解之：x=1；
∴1-6-k-1=0
解之：k=-6；
当k=6时，则x≠1
∴x2-6x-6-1=0
解之：x1=7，x2=-1，
k=-6，公共的实数根为x=1
而x2-6x-7=0与上述方程是同一方程，
∴当k=-6时，方程的公共解为x=1
【解析】【分析】利用已知可得到x2-6x-k-1=x2-kx-7，将方程整理可得到（x-1）（k-6）=0；再分情况讨论：当k≠6时，则x-1=0，可求出k的值；当k=6时，则x≠1，可求出方程的解，同时可得到而x2-6x-7=0与上述方程是同一方程；据此可求出k和方程的公共解.
23．【答案】（1）解：在方程中，，
∴方程无实数根，
∴方程与不互为“同根轮换方程”；
（2）解：∵方程与互为“同根轮换方程”，
∴
设t是公共根，则有，，
解得，．
∵，
∴．
∴．
∴（0值舍去）．
（3）解：当公共解为时，
∴，，，
∴，
∴，
∴，即，
解得或（舍去），
∴，
∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”；
设公共解为时，，，，
同理可得，
∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”；
设公共解为，
由题意可得：，，，
同理可得，，，，
∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”．
24．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，，
（2）解：①∵点A与B重合，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点D作交的延长线于点，交y轴于点，如图，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴B点的坐标为；
②的面积=
【解析】【解答】解：（2）②过点D作DE⊥BC于点E，并延长交y轴于点G，如图，
∵∠CBD=45°，∠BED=90°，
∴∠BDE=∠CBD=45°，
∴BE=DE，
∵∠OBC+∠BCO=90°，∠OBC+∠BGE=90°，
∴∠BCO=∠BGE=∠DCE，
∵∠BEG=∠DEC=90°，
∴△BEG≌△DEC（AAS），
∴EG=EC，
∵∠BCD+∠DAO=180°，∠DAO+∠AOD+∠ADO=180°，∠BCD=∠AOD+∠OBC，
∴∠OBC=∠ADO，
∵∠OBC+∠BGE=90°，∠ADO+∠OAD=90°，
∴∠BGE=∠OAD，
∴AD=GD=n=8，
设DE=BE=x，
又BC=t=2，
∵GE=CE，
∴DG-DE=BE-BC，
∴8-x=x-2，
∴x=5，即DE=5，
∴S△BCD=BC×DE=×2×5=5.
【分析】（1）利用配方的方法可将原式变形为(m-6)2+(n-8)2+|t-2|=0，根据偶数次幂的非负性及绝对值的非负性，由三个非负数的和为零，则每一个数都等于零，可求出m、n、t得值；
（2）①由同角的补角相等可得∠BCO=∠OBD，结合角的和差及三角形外角性质可得∠OBC=∠BDO，结合∠CBD=45°及直角三角形的量锐角互余可得∠OBC=∠BDO=22.5°；过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，交y轴于点C，如图，易得△BED是等腰直角三角形，则BE=DE，由同角的余角相等推出∠GBE=∠CDE，从而用ASA判断出△BEG≌△DEC，由全等三角形的对应边相等得CD=BG=6，再用ASA判断出△BOD≌△GOD，得出BO=OG=BG=3，从而得到点B的坐标；
②过点D作DE⊥BC于点E，并延长交y轴于点G，如图，易得△BDE是等腰直角三角形，则BE=DE，由同角的余角相等及对顶角相等得∠BCO=∠BGE=∠DCE，从而可用AAS判断出△BEG≌△DEC，得EG=EC，由三角形外角和、内角和及∠BCD+∠DAO=180°，可推出∠OBC=∠ADO，由等角的余角相等得∠BGE=∠OAD，由等角对等边得AD=GD=n=8，设DE=BE=x，又BC=t=2，结合GE=CE，由线段的和差可列出方程8-x=x-2，求解得出DE的长，进而根据三角形的面积计算公式计算可得答案.
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