课时作业(十四)　正弦定理（含解析）

课时作业(十四)　正弦定理
基础达标
一、单项选择题
1.在△ABC中,a=5,b=3,则sin A∶sin B的值是( )
A. B.
C. D.
2.在△ABC中,若A=105°,B=45°,b=2,则c等于( )
A.1 B.2
C. D.
3.在△ABC中,a=1,b=,A=30°,则角B等于( )
A.60° B.60°或120°
C.30°或150° D.120°
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,则C为( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2acos B,则△ABC的形状为( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cA.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
二、多项选择题
7.根据下列条件,判断三角形解的情况,其中正确的是( )
A.a=8,b=16,A=30°,有一解
B.b=18,c=20,B=60°,有两解
C.a=5,c=2,A=90°,无解
D.a=30,b=25,A=150°,有一解
8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是( )
A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D.若c=6,则△ABC外接圆的半径为
三、填空题
9.在△ABC中,已知BC=,sin C=2sin A,则AB= 。
10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c。已知A=45°,a=6,b=3,则B的大小为 。
11.在△ABC中,已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若b=2a,B=A+60°,则A= 。
四、解答题
12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=6,c=6,C=30°,求a。
13.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos C=+。
(1)求cos A;
(2)若a=8,b=10,求△ABC的边c的值。
素养提升
14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若C=2B,则的取值范围为 。
15.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清,只能看到:在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边。已知b=2,A=45°,求边c。显然缺少条件,若他打算补充a的大小,并使得c有两个解,则a的取值范围是 。
16.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,b=,同时还可能满足以下某些条件:
①A=;②B>A;③sin B(1)直接写出所有可能满足的条件序号;
(2)在(1)的条件下,求B及c的值。
参考答案
基础达标
一、单项选择题
1.在△ABC中,a=5,b=3,则sin A∶sin B的值是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据正弦定理,得 = = 。
2.在△ABC中,若A=105°,B=45°,b=2,则c等于( )
A.1 B.2
C. D.
【答案】B
【解析】因为A=105°,B=45°,所以C=30°。
由正弦定理,得c===2。
3.在△ABC中,a=1,b=,A=30°,则角B等于( )
A.60° B.60°或120°
C.30°或150° D.120°
【答案】B
【解析】因为a=1,b=,A=30°,根据正弦定理可得 =,
所以sinB= ,所以B=60°或120°。故选B。
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,则C为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】B
【解析】由正弦定理知=,所以=,
所以cos C=sin C,所以tan C=1,
又因为0°5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2acos B,则△ABC的形状为( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【答案】B
【解析】因为c=2acos B,
所以由正弦定理得sinC=2sinAcosB=sin(A+B)=sin AcosB+cosAsinB
,所以sin Acos B=cos Asin B,即sin(A-B)=0,所以A=B。
但无法判断是否有直角,故△ABC为等腰三角形。
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cA.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
【答案】A
【解析】由已知及正弦定理得sin C所以sin(A+B)又sinA>0,所以cosB<0,所以B为钝角,
故△ABC为钝角三角形。
二、多项选择题
7.根据下列条件,判断三角形解的情况,其中正确的是( )
A.a=8,b=16,A=30°,有一解
B.b=18,c=20,B=60°,有两解
C.a=5,c=2,A=90°,无解
D.a=30,b=25,A=150°,有一解
【答案】ABD
【解析】A中,因为=,所以sin B==1,所以B=90°,即只有一解;
B中,因为sin C==,且c>b,所以C>B,故有两解;
C中,因为A=90°,a=5,c=2,所以b===,有解;
D中,因为=,所以sin B==,又b8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是( )
A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D.若c=6,则△ABC外接圆的半径为
【答案】ACD
【解析】因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,
所以可设(x>0),解得
所以由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6,故A正确。
由上可知,c最大,所以△ABC中角C最大。
又cos C===>0,所以C为锐角,故B错误。
由上可知,a最小,所以△ABC中角A最小。
又cos A===,
所以cos 2A=2cos2A-1=,所以cos 2A=cos C。
因为△ABC中角C最大且C为锐角可得,2A∈(0,π),C∈,所以2A=C,故C正确。
设△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理,得2R=,
又sin C==,所以2R=,解得R=,故D正确。故选ACD。
三、填空题
9.在△ABC中,已知BC=,sin C=2sin A,则AB= 。
【答案】2
【解析】由正弦定理得 = ,所以AB=×BC=2BC=2。
10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c。已知A=45°,a=6,b=3,则B的大小为 。
【答案】30°
【解析】由正弦定理得= ,即= , 解得sin B= ,
又B为三角形内角,所以B=30°或B=150°,
又因为a>b,所以A>B,即B=30°。
11.在△ABC中,已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若b=2a,B=A+60°,则A= 。
【答案】30°
【解析】因为b=2a,所以由正弦定理得sin B=2sin A。
又因为B=A+60°,所以sin(A+60°)=2sin A,
即sin Acos 60°+cos Asin 60°=2sin A,化简得sin A=cos A,
所以tan A=。又因为0°四、解答题
12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=6,c=6,C=30°,求a。
【解析】由正弦定理,得=,得sin B==。
因为b>c,所以B>C=30°,所以B=60°或120°。
当B=60°时,A=90°,a===12。
当B=120°时,A=30°,a===6。
所以a=6或a=12。
13.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos C=+。
(1)求cos A;
(2)若a=8,b=10,求△ABC的边c的值。
【解析】(1)由已知得5acos C=5b+3c,
根据正弦定理得5sin Acos C=5sin B+3sin C,
其中B=π-(A+C),
5sin Acos C=5sin(A+C)+3sin C,
5sin Acos C=5sin Acos C+5sin Ccos A+3sin C。
因为sin C≠0,
所以5cos A+3=0,解得cos A=-。
(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,
即=102+c2-2×10×c,c2+12c-28=0,
解得c=2,c=-14(舍去),即△ABC的边c的值为2。
素养提升
14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若C=2B,则的取值范围为 。
【答案】(1,2)
【解析】因为A+B+C=π,C=2B,
所以A=π-3B>0,所以0所以因为===2cos B,
所以1<2cos B<2,故1<<2。
15.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清,只能看到:在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边。已知b=2,A=45°,求边c。显然缺少条件,若他打算补充a的大小,并使得c有两个解,则a的取值范围是 。
【答案】(2,2)
【解析】由题意可知三角形有两个解。由图可知CD=bsin A=2×sin 45°=2。
若c有两解,则以C为圆心,a为半径的圆弧与射线AD有两个交点,
则CD16.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,b=,同时还可能满足以下某些条件:
①A=;②B>A;③sin B(1)直接写出所有可能满足的条件序号;
(2)在(1)的条件下,求B及c的值。
【解析】(1) ①,③。
(2)由正弦定理=,可得=,
所以sin B===。
因为a>b,所以A>B,所以B=。
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
得22=()2+c2-2××c×,
解得c=+1或c=-+1(舍)。