课时作业(十五)　余弦定理、正弦定理应用举例（含解析）

课时作业(十五)　余弦定理、正弦定理应用举例
基础达标
一、单项选择题
1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4 m,∠A=30°,则其跨度AB的长为( )
A.12 m B.8 m
C.3 m D.4 m
2.如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m, ∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为( )
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
3.海上的A,B两个小岛相距10 n mile,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B岛与C岛之间的距离是( )
A.10 n mile
B. n mile
C.5 n mile
D.5 n mile
4.如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°,45°,且A,B两点间的距离为60 m,则该建筑物的高度为( )
)
A.(30+30) m
B.(30+15) m
C.(15+30) m
D.(15+15) m
5.如图,某建筑物的高度BC=300 m,一架无人机Q(无人机的大小忽略不计)上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15°,地面某处A的俯角为45°,且∠BAC=60°,则此无人机距离地面的高度PQ为( )
A.100 m B.200 m
C.300 m D.400 m
6.如图所示,位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏东45°,与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处,且cos θ=。已知A,C两处的距离为10海里,则该货船的船速为( )
A.4海里/时 B.3海里/时
C.2海里/时 D.4海里/时
二、填空题
7.上海世博园中的世博轴是一条1 000 m长的直线型通道,中国馆位于世博轴的一侧。现测得中国馆到世博轴两端的距离相等,并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°。据此数据计算,中国馆到世博轴其中一端的距离是 m。
8.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距 m。
9.如图,小明同学在山顶A处观测到,一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,且∠BAC=135°。若山高AD=100 m,汽车从C点到B点历时14 s,则这辆汽车的速度为 m/s。
(精确到0.1,参考数据:≈1.414,≈2.236)
三、解答题
10.如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径:一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C。山路AC长为1 260 m,经测量,cos A=,cos C=,求索道AB的长。
11.如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距6 n mile,渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2 h追上。
(1)求渔船甲的速度;
(2)求sin α。
12.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点。从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°。已知山高BC=100 m,求山高MN。
素养提升
13.北京大兴国际机场(如图①所示)位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处,为4F 级国际机场、世界级航空枢纽。如图②,天安门在北京大兴国际机场的正北方向46 km处,北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16.28°方向上,在天安门北偏东47.43°的方向上,则北京大兴国际机场与北京首都国际机场之间的距离约为（ ）
(参考数据:sin 16.28°≈0.28,sin 47.43°≈0.74,sin 31.15°≈0.52)
A.65.46 km B.74.35 km
C.85.09 km D.121.12 km
14.2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一。如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°。由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(≈1.732)( )
A.346 B.373
C.446 D.473
参考答案
基础达标
一、单项选择题
1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4 m,∠A=30°,则其跨度AB的长为( )
A.12 m B.8 m
C.3 m D.4 m
【答案】D
【解析】由题意知,∠A=∠B=30°,所以∠C=180°-30°-30°=120°,
由正弦定理得,=,即AB===4 (m)。
故选D。
2.如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m, ∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为( )
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
【答案】A
【解析】由题意得B=30°,由正弦定理,得 = ,
所以AB = = = 50(m)。
3.海上的A,B两个小岛相距10 n mile,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B岛与C岛之间的距离是( )
A.10 n mile
B. n mile
C.5 n mile
D.5 n mile
【答案】D
【解析】由题意,作出示意图,如图,在△ABC中,C=180°-60°-75°=45°,
由正弦定理,得=,解得BC=5(n mile)。故选D。
4.如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°,45°,且A,B两点间的距离为60 m,则该建筑物的高度为( )
)
A.(30+30) m
B.(30+15) m
C.(15+30) m
D.(15+15) m
【答案】A
【解析】在△PAB中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60 m,
sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=,
由正弦定理,得PB= = 30(+)(m),
所以建筑物的高度为PBsin 45°=30(+)× =(30+30)(m)。故选A。
5.如图,某建筑物的高度BC=300 m,一架无人机Q(无人机的大小忽略不计)上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15°,地面某处A的俯角为45°,且∠BAC=60°,则此无人机距离地面的高度PQ为( )
A.100 m B.200 m
C.300 m D.400 m
【答案】B
【解析】在Rt△ABC中,∠BAC=60°,BC=300,所以AC===200。
在△ACQ中,∠AQC=45°+15°=60°,∠QAC=180°-45°-60°=75°,
所以∠QCA=180°-∠AQC-∠QAC=45°。
由正弦定理,得=,得AQ==200。
在Rt△APQ中,PQ=AQsin 45°=200×=200,
故此无人机距离地面的高度为200 m。故选B。
6.如图所示,位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏东45°,与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处,且cos θ=。已知A,C两处的距离为10海里,则该货船的船速为( )
A.4海里/时 B.3海里/时
C.2海里/时 D.4海里/时
【答案】A
【解析】因为cos θ=,0°<θ<45°,所以sinθ=,cos(45°-θ)=×+× =,在△ABC中,BC2=(20)2+102-2×20×10×=340,
所以BC=2,该货船的船速为=4海里/时。故选A。
二、填空题
7.上海世博园中的世博轴是一条1 000 m长的直线型通道,中国馆位于世博轴的一侧。现测得中国馆到世博轴两端的距离相等,并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°。据此数据计算,中国馆到世博轴其中一端的距离是 m。
【答案】
【解析】如图所示,设A,B为世博轴的两端点,C为中国馆,
由题意,知∠ACB=120°,且AC=BC,过点C作AB的垂线交AB于点D,
在Rt△CBD中,DB=500 m,∠DCB=60°,所以BC= m。
8.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距 m。
【答案】30
【解析】设两条船所在位置分别为A,B两点,炮台底部所在位置为C点,
在△ABC中,由题意可知AC==30(m),BC==30(m),C=30°,
AB2=(30)2+302-2×30×30×cos 30°=900,所以AB=30(m)。
9.如图,小明同学在山顶A处观测到,一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,且∠BAC=135°。若山高AD=100 m,汽车从C点到B点历时14 s,则这辆汽车的速度为 m/s。
(精确到0.1,参考数据:≈1.414,≈2.236)
【答案】 22.6
【解析】由题意,知AB=200 m,AC=100 m,
由余弦定理可得BC=≈316.17(m),这辆汽车的速度为316.17÷14≈22.6(m/s)。
三、解答题
10.如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径:一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C。山路AC长为1 260 m,经测量,cos A=,cos C=,求索道AB的长。
【解析】在△ABC中,因为cos A=,cos C=,
所以sin A=,sin C=。
从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)
=sin Acos C+cos Asin C=×+×=。
由=,
得AB=·sin C=×=1 040(m)。
所以索道AB的长为1 040 m。
11.如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距6 n mile,渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2 h追上。
(1)求渔船甲的速度;
(2)求sin α。
【解析】(1)依题意,知∠BAC=120°,AB=6,AC=5×2=10。
在△ABC中,由余弦定理,得:
BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC=62+102-2×6×10×cos 120°=196,
解得BC=14,v甲= =7,
所以渔船甲的速度为7 n mile/h。
(2)在△ABC中,AB=6,∠BAC=120°,BC=14,∠BCA=α。
由正弦定理,得 = ,
即sin α= = = 。
12.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点。从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°。已知山高BC=100 m,求山高MN。
【解析】在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=100 m,
所以AC=100 m。
在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,
从而∠AMC=45°,
由正弦定理,得 = ,
因此AM=100 m。
在Rt△MNA中,AM =100 m,∠MAN=60°,
由 =sin 60°,得MN=100× =150(m)。
素养提升
13.北京大兴国际机场(如图①所示)位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处,为4F 级国际机场、世界级航空枢纽。如图②,天安门在北京大兴国际机场的正北方向46 km处,北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16.28°方向上,在天安门北偏东47.43°的方向上,则北京大兴国际机场与北京首都国际机场之间的距离约为（ ）
(参考数据:sin 16.28°≈0.28,sin 47.43°≈0.74,sin 31.15°≈0.52)
A.65.46 km B.74.35 km
C.85.09 km D.121.12 km
【答案】A
【解析】如图所示,由题意可得AC=46 km,∠ACB=16.28°,∠BAC=132.57°,
∠ABC=31.15°。由正弦定理可得=,即=,
则BC=sin 132.57°≈×0.74≈65.46(km)。
14.2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一。如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°。由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(≈1.732)( )
A.346 B.373
C.446 D.473
【答案】B
【解析】如图所示,根据题意过点C作CE∥C'B',交BB'于点E,过点B作BD∥A'B',交AA'于点D,则BE=100,C'B'=CE=。
在△A'C'B'中,∠C'A'B'=75°,则BD=A'B'=。
又在B点处测得A点的仰角为45°,所以AD=BD=,
所以高度差AA'-CC'=AD+BE = +100=+100
=+100=+100=100(+1)+100≈373。