人教版八年级下册 第十九章 一次函数培优练习 （含解析）

人教版八年级下册一次函数培优练习
一、选择题
1．下列曲线中能表示 是 的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知函数的图象是一条直线，下列说法正确的是（　　）
A．直线过原点 B．随的增大而减小
C．直线经过点 D．直线经过第二、四象限
3．若 是关于 的一次函数，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
4．把函数y＝x的图象向上平移2个单位，下列各点在平移后的函数图象上的是（　　）
A．（2，2） B．（2，3） C．（2，4） D．（2，5）
5．点、在一次函数图象上，下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
6．已知一次函数：y= - mx +n 的图象经过第二、三、四象限，则化简 的结果是（　　）
A．n B．-m C．2m—n D．m-2n
7．如图，直线：与直线：交于点，则不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
8．直线y＝x+n与直线y＝mx+3n（m是常数，m≠0且m≠1）交于点A，当n的值发生变化时，点A到直线y＝x-3的距离总是一个定值，则m的值是（　　）
A．3 B．2 C． D．
9．小泽和小帅分别从甲地骑自行车沿同一条路到乙地．如图是小泽和小帅离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象．根据图中信息，下列说法有误的是（　　）
A．从甲到乙地共24千米
B．小帅的骑车速度为8千米/小时
C．小泽出发0.5小时后小帅才出发
D．当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有4千米
10．已知直线 ： 与直线 ： 都经过 ，直线 交y轴于点 ，交x轴于点A，直线 交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：①方程组 的解为 ；② 为直角三角形；③ ；④当 的值最小时，点P的坐标为 其中正确的说法个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．若直线经过，则　 　 ．
12． 一次函数的图象向上平移　 　 个单位后经过点．
13．直线：y=(3-a)x+b-2在平面直角坐标系中如图所示，则|=　 　.
14．在平面直角坐标系中， ， ， ，直线 与 分别交于点 ，若 为四边形 边上一点（不与点 重合），且 ，则点 的坐标为　 　．
15．一次函数的图象交轴、轴分别于点，，点，分别是，的中点，点C的坐标为　 　，若是上一动点．当周长最小时，的坐标是　 　．
16．日常生活中常用的二维码是由许多大小相同的黑白两色小正方形按某种规律组成的一个大正方形．图1是一个 格式（即黑白两色小正方形个数的和是400）的二维码，左上角、左下角、右上角是三个相同的 格式的正方形，将其中一个放大后如图2，除这三个正方形外，图1中其他的小正方形黑色个数y与白色个数x正好满足图3所示的函数图象，则图1所示的二维码中共有　 　个白色的小正方形．
三、解答题
17．一次函数（）的图象经过点，．求一次函数的表达式．
18．已知与成正比例，且当时，．
（1）写出与之间的函数关系式；
（2）当时，求的值．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交轴于点（4，0），交轴于点（0，3）．
（1）求直线的解析式；
（2）是轴上一点，当的面积为5时，求点的坐标．
20．某药店计划购进、两种口罩共个，且购进种口罩的进货量不多于个，购进种口罩的进货量不超过种口罩的进货量的四倍若种口罩每个进价元，售价元，种口罩每个进价元，售价元，设购进种口罩个，售完、两种口罩获利元．
（1）求与的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）如何购货才能获利最大？最大利润是多少元？
21．已知，点E是的中线上一动点，交于点F，连接．
（1）如图1，当点E与点D重合时，求证：；
（2）如图2，当点E与点D不重合时，延长交于点G，交于点H．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②如图3，若的边，以为腰作等腰直角，连接，点M为的中点，当点E从点D运动到点A过程中，请直接写出点M的运动路径长．
22．如图，直线：与直线：交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求直线和直线的表达式；
（2）点是轴上一点，点是直线上一点，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，且，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：由函数的定义可知，x与y的对应关系应该是一对一的关系或多对一的关系，据此排除A，B，C，
故答案为：D.
【分析】根据函数的定义，每一个自变量x都有唯一的y值和它对应即可解题.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：当x＝0时，y＝2x＝0，直线过原点，故A选项符合题意；
当x＝1时，y＝2x＝2，直线不经过点（1，3），故C选项不符合题意；
∵2＞0，
∴y随x的增大而增大，直线经过第一、三象限，故B选项和D选项均不符合题意.
故答案为：A.
【分析】求出当x＝0和x＝1时函数y的值即可判断A、C；由正比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）中，当k＞0时直线经过第一、三象限，y随x的增大而增大，即可判断B、D．
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 是一次函数
∴
∴
∵
∴
故答案为：B
【分析】根据一次函数定义求出 的值即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解： 直线y=x的图象向上平移2个单位得到的直线的表达式为：y=x+2，
当x=2时，
y=2+2=4，
所以点（2，4）在平移后的函数图象上.
故答案为：C.
【分析】由“上加下减”的规律确定平移后函数解析式，再取x=2时，求出y值即可.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵一次函数y=-2x+b中，k=-2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵P1(-1，y1)，P2(2，y2)，且-1＜2，
∴y1＞y2.
故答案为：A.
【分析】一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，据此可解此题.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝﹣mx+n的图象经过第二、三、四象限，
∴﹣m＜0，n＜0，
即m＞0，n＜0，
∴m-n＞0，
∴
＝|m﹣n|+|n|
＝m﹣n﹣n
＝m﹣2n，
故答案为：D．
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简以及一次函数的图象与系数的关系.根据题意一次函数y＝﹣mx+n的图象经过第二、三、四象限可得﹣m＜0，n＜0，所以，故 ，．
7．【答案】D
【解析】【解答】解：由图可知，当x＜3时，直线l1：y＝ax+b在直线l2：y＝mx+n上方，
∴不等式ax+b＞mx+n的解集为x＜3.
故答案为：D.
【分析】先观察图象，要解这个不等式，从“形”的角度看，就是找出直线l1：y＝ax+b在直线l2：y＝mx+n上方部分的x的取值范围即可．
8．【答案】C
【解析】【解答】联立方程组，
解得：，
∴点A的坐标为（，），
∴点A所在的直线解析式为，
∵点A到直线y＝x-3的距离总是一个定值，
∴直线与直线 y＝x-3 平行，
∴，
解得：m=，
故答案为：C.
【分析】先联立方程组求出点A的坐标，求出点A所在直线解析式，再结合点A到直线y＝x-3的距离总是一个定值，可得，再求出m的值即可.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：A、纵轴表示的是小帅与小泽从甲地出发前往乙地，距甲地的距离y，且最小值为0千米，最大值都为24千米，
甲、乙两地的距离为：（千米）；不符合题意；
B、由图可知小帅从甲地匀速行驶前往乙地，小泽行驶1小时后，小帅从距离甲地8千米的地方继续匀速行驶，小泽行驶2小时后到达终点，此时距离甲地24千米，
（千米小时），符合题意；
C、（千米小时），
小帅行驶8千米所用的时间为：（小时），
小帅出发前，小泽行驶的时间为：（小时），即小泽出发0.5小时后小帅才出发，不符合题意；
D、小泽出发0.5小时时，行驶了8千米，之后匀速行驶，行驶了2.5小时后，到达终点，此时距离甲地24千米，
小时后（千米小时），
当小帅到达终点时，小泽一共行驶了2小时，
（千米），
小泽一共行驶了：（千米），则小泽距离乙地还有：（千米），不符合题意，
故答案为：B．
【分析】A.观察图形，从y轴的最大值与最小值的差可知甲乙两地的距离；
B.小帅的运动图象过点（1，8）和（2，24），可求出小帅的速度；
C.利用，可求出小帅行驶8千米所用的时间，进而可求小帅出发前，小泽行驶的时间；
D.利用关键点（0.5，8）和（2.5，24）可求小泽行驶8km时的速度，然后求出行驶2小时时距离乙地的距离，进而求得小泽距离乙地的距离。
10．【答案】D
【解析】【解答】解： 直线 ： 与直线 ： 都经过 ，
方程组 的解为 ，
故①符合题意；
把 ， 代入直线 ： ，可得
，解得 ，
直线 ： ，
又 直线 ： ，
直线 与直线 互相垂直，即 ，
为直角三角形，
故②符合题意；
把 代入直线 ： ，可得 ，
中，令 ，则 ，
，
，
在直线 ： 中，令 ，则 ，
，
，
，
故③符合题意；
点A关于y轴对称的点为 ，
设过点C， 的直线为 ，则
，解得 ，
，
令 ，则 ，
当 的值最小时，点P的坐标为 ，
故④符合题意．
故答案为：D．
【分析】①根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；② 利用待定系数法求出直线 ： ，根据两直线的系数的积为-1，可得两直线互相垂直，据此判断即可；
③先求出A、D的坐标，利用三角形的面积公式求出△ABD的面积，然后判断即可；④先求出点A关于y轴对称的点为 ，再求出直线CA'的解析式，然后求出当x=0时的y值，从而当 的值最小时点P的坐标.
11．【答案】
【解析】【解答】解：将点(1，0)代入y=ax+1得a+1=0，
解得a=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特点，将点(1，0)代入y=ax+1即可求出a的值.
12．【答案】3
【解析】【解答】解：设平移后的解析式为+b，
把A（-2，-1）代入得：-4+b=-1，
∴b=3，
故答案为：3.
【分析】先设平移后的解析式为+b，再将A坐标代入求出b值即可.
13．【答案】1
【解析】【解答】观察图象可知：经过第二，三，四象限
所以
所以
故
因此 |
故答案为：1.
【分析】本题考查一次函数的图象性质，二次根式的性质，绝对值的性质.观察图象可知：经过第二，三，四象限，据此可得，可判断出的符号为：，通过二次根式的性质和绝对值的性质可得：，通过化简可求出答案.
14．【答案】（-3，8）或（-4，7）或（-4，1）
【解析】【解答】解：如图，画出正确的图形，
由 ，令 则
令 则
轴，
过 作 于
轴，
轴，
综上：符合条件的 点有：
故答案为：
【分析】利用勾股定理求出ED=5，再求出AB//y轴，最后求点的坐标即可。
15．【答案】（1，0）；（0，1）
【解析】【解答】解：∵A（2，0）、B（0，4），点C为OA的中点，点D为AB的中点，
∴C（1，0），D（1，2）.
作点C关于y轴的对称点C′，连接C′D交AB于点P，此时△DPC的周长最小.
∵C（1，0），
∴C′（-1，0）.
设直线C′D的解析式为y=ax+b，则
解得，
∴y=x+1，
令x=0，得y=1，
∴P（0，1）.
故答案为：（1，0），（0，1）.
【分析】根据中点的概念结合点A、B的坐标可得C（1，0），D（1，2）.作点C关于y轴的对称点C′，连接C′D交AB于点P，此时△DPC的周长最小，易得C′（-1，0），利用待定系数法求出直线C′D的解析式，令x=0，求出y的值，据此可得点P的坐标.
16．【答案】198
【解析】【解答】解：根据图3可得，函数图象经过点（0，28），（-56，0），
设y=kx+b，将（0，28），（-56，0）代入得：
，
解得：，
∴，
∵黑白两色小正方形个数的和是400，且除去三个相同的7×7格式的正方形，图1中其他的小正方形黑色个数y与白色个数x正好满足，
∴，
解得：x=150，
150+4×4×3
=150+48
=198（个）．
∴图1所示的二维码共有198块白色的小正方形．
故答案为：198.
【分析】根据图3中的函数图象和图象与坐标轴的交点坐标求得一次函数的解析式，根据题意列关于x的方程，求得x的值，即可得出答案．
17．【答案】解：∵直线过点，．
∴
∴
∴一次函数的表达式为．
【解析】【分析】考查的是待定系数法求一次函数解析式。
18．【答案】（1）解：设．
当时，，
，
解得，．
与之间的函数关系式是；
（2）解：由知，．
所以，当时，，即．
【解析】【分析】本题考查正比例函数。根据题意列出函数关系，代入自变量和函数值，求解析式。
19．【答案】（1）解：设直线AB的解析式为，
将，代入得：，
解得：．
∴直线AB的解析式为；
（2）解：如图：
的面积为5，
，
即，解得，
，
的坐标为，或，．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据三角形的面积计算公式结合△ABM的面积为5建立方程可求出AM的长，进而根据数轴上两点间的距离公式可求出点M的坐标.
20．【答案】（1）解：根据题意得：，
整理得：，
∵购进A种口罩的进货量不多于1500个，购进B种口罩的进货量不超过A种口罩的进货量的四倍，
∴，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由（1）得，
∵，
∴随的增大而增大，
当时，有最大值（元）；
此时，
答：购进A种口罩1500个，B种口罩3500个，才能获利最大，最大利润是元．
【解析】【分析】（1） 设购进A种口罩x个 ，则购进B型口罩（5000-x）个，根据每个口罩的利润乘以销售数量等于总利润及销售x各A型口罩的利润+销售（5000-x）个B型口罩的利润=y建立出y关于x的函数关系，进而根据“ 购进A种口罩的进货量不多于1500个，购进B种口罩的进货量不超过A种口罩的进货量的四倍 ”建立不等式组，求解可得x的取值范围；
（2）根据（1）所得函数解析式的性质并结合x的取值范围即可解决此题.
21．【答案】（1）证明：，，
，，
为的中线，
，
在与中，
，
，
．
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
如图所示，过D作交点Q，连接．
四边形为平行四边形，
．
同（1）可证明，
，
又∵，
四边形是平行四边形；②
【解析】【解答】解：（2）②如图所示，取的中点P，连接，
∵是的中线，即点D为的中点，
∴是的中位线，
∴，
又∵，
∴由平行线的唯一性可知重合，即点E和点P重合，
∴点E为的中点，
∴，
∵四边形使平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴当点E在上运动时，点F在直线上运动，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴点Q在直线上运动，
如图所示，以点B为原点，以为x轴，y轴建立坐标系，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴点M在直线上运动，
当时，，当时，；
∴点M的运动轨迹是从点沿着直线运动到点，
∴点M的运动路径长为
【分析】 （1）利用ASA可证明△ACD≌△FDB，再利用全等三角形的性质可得AC=DF；
（2）①如图所示，过D作DQ∥EF交BF点Q，连接AQ，先证明四边形DEFQ为平行四边形，得到DQ=EF，同（1）可证明AC=DQ，得到AC=EF，由此即可四边形ACEF是平行四边形；
②如图所示，取CH的中点P，连接DP，利用平行四边形的性质和判定说明AE=FH，再依次说明点E在AD上运动时，点F在直线BF上运动，点Q在直线BQ上运动，点M在直线上运动，求得M点的运动轨迹为从点沿着直线运动到点，最后利用勾股定理求得点M的运动路径长.
22．【答案】（1）解：将代入中，得，
则，
直线：；
将代入中，得，
则，
直线：；
（2）解：令，则，
，
设，，
如图，，
点、、、为顶点的四边形是平行四边形，有两种情况：
若为对角线，则平行四边形中，，
解得，
则，
；
若为对角线，则平行四边形中，，
解得，
则，
，
综上，满足条件的点坐标为或．
【解析】【分析】（1）将点A的坐标分别代入两函数解析式可求出b和k的值，可得到直线l1、l2的函数解析式.
（2）利用函数解析式求出点C的坐标，设，，利用平行四边形的性质分情况讨论：当AQ为对角线时；当AP为对角线时；分别求出点Q的坐标.
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