第五章 一元函数的导数及其应用章末检测试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 第五章 一元函数的导数及其应用章末检测试卷（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-23 14:58:46 | ||
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文档简介
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导数章末检测试卷
注意事项：考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1．试卷共4页，满分为150分，考试时间为150分钟。2．答题前，请将班级、姓名、准考证号等认真填写在答题卡上，并请认真核对规定填写的项目是否准确。3．所有答案在答题卡上完成。选择题用2B铅笔填涂，主观题答案必须用0.5毫米，黑色墨水签字笔填写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知的值是（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
2. 如图所示的是的导函数的图像，下列四个结论：
①在区间上是增函数；
②是的极小值点；
③的零点为和；
④是的极大值点．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③④
3．已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．函数 的导函数为，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
5．函数在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，若，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．若直线与曲线相切，则的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．可能把直线作为切线的曲线是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．
C．方程有实数解
D．存在实数，使得方程有4个实数解
11．设函数为上的奇函数，为的导函数，，，则下列说法中一定正确的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知函数，且的最小值为0，则的值为______．
13．已知曲线与曲线有公切线，则的方程为______.
14．设函数在区间上有两个极值点，则a的取值范围是______．
四、解答题（共5大题，共77分）
15.（本题满分13分）曲线上哪一点处的切线满足下列条件？
(1)平行于直线；
(2)垂直于直线；
(3)倾斜角为.
16.（本题满分15分）已知函数（a为常数）．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．
17.（本题满分15分）已知函数．
(1)若在上单调递增，求的取值范围．
(2)求的单调区间.
18.（本题满分17分）已知函数，在点处的切线方程是.
(1)求，的值；
(2)设函数，讨论函数的零点个数.
19.（本题满分17分）已知函数，
(1)求函数的极值点；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
试题解析
1．已知的值是（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
【答案】C
【详解】根据导数值的定义：.
2．如图所示的是的导函数的图像，下列四个结论：
①在区间上是增函数；
②是的极小值点；
③的零点为和；
④是的极大值点．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③④
【答案】A
【详解】由导函数的图像可知，
当时，，
当时，，
所以在区间上单调递减，
在上单调递增，故①正确，②正确；
又和是的零点（是极值点），
不是的零点，且不是的极大值点，故③④均错误；
3．已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，则，因为，所以，即函数在上单调递减，
则，即，即，
所以，即的解集为.
4．函数 的导函数为，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【详解】当时，则 ，
此时 ，
所以，
5．函数在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，且点在的图像上，
所以在处的切线的斜率为，
所以在处的切线方程为，即.
6．已知函数，若，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】已知函数，作出函数图像如图：
当时，．
由，得，则．
令，则，
当时，单调递减；当时，单调递增，
，即的最小值为．
7．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B.
【详解】，，.
构造函数，则,当时，,函数递增; 当时，,函数递减;
因为 ,所以
8．若直线与曲线相切，则的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【详解】设切点坐标为，因为，
所以，故切线的斜率为：，
，则.
又由于切点在切线与曲线上，
所以，所以.
令，则，设，
，令得：，
所以当时，，是增函数；
当时，，是减函数.
所以.
所以的最大值为：1
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．可能把直线作为切线的曲线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】因为直线的斜率，
对于选项A：因为，则，
令，解得，故A正确；
对于选项B：因为，则，
又因为，则方程无解，故B错误；
对于选项C：因为，则，
令，解得，故C正确；
对于选项D：因为，则，
令，解得，故D正确；
故选：ACD.
10．已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．
C．方程有实数解
D．存在实数，使得方程有4个实数解
【答案】BCD
【详解】由，
显然当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，故A错误；
对于B项，易知，由在上单调递增可知B正确；
对于C项，由上知在处取得极小值，而，故C正确，如图所示；
对于D项，，即，当，显然成立，即是其一根，当时，原方程等价于，令，
令，解得，即在上单调递减，
令，解得或时，即在和上单调递增，故在处取得极大值，在处取得极小值，，
又时，，可得的大致图像，如图所示，
当时，有三个不同的根，且均不为零，综上所述D正确；
11．设函数为上的奇函数，为的导函数，，，则下列说法中一定正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】因为函数为上的奇函数，所以，因为，，所以当得，所以，故A正确；
又，可得，则，
所以函数关于直线对称，故的值无法确定，故B不正确；
因为，则①，所以关于轴对称，
又，所以，即，所以关于点对称，则②，
由①②得，所以，则，
故的周期为6，由②可得，即，所以，故C正确；
由②得，所以，
则，故D正确.
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知曲线与曲线有公切线，则的方程为______.
【答案】
【详解】设直线与曲线相切于点，
因为，则，
所以该直线的方程为，即，
设直线与曲线相切于点，
因为，则，
所以该直线的方程为，即，
所以，消去得，
令，因为，所以，所以，
令，所以，则为增函数，
所以最多一个零点，容易知道，
所以只有一个解，所以，所以，
所以该直线的方程为，即.
13．设函数在区间上是减函数，则的取值范围是_________．
【答案】
【详解】因，
，
若，，当时，，符合题意，
当时，得
，因，
故，
由题意在上恒成立，
设，则在上单调递减，
故
故，，
综上，
故答案为：
14．设函数在区间上有两个极值点，则a的取值范围是______．
【答案】
【详解】，
由题意知在上有两个不相等的实根，
将其变形为，设，则.
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
的极大值为，又，
画出函数的大致图像如图，
，即.
四、解答题（共5大题，共77分）
15.（本题满分13分）曲线上哪一点处的切线满足下列条件？
(1)平行于直线；
(2)垂直于直线；
(3)倾斜角为.
【答案】(1)是满足条件的点.
(2)是满足条件的点.
(3)是满足条件的点.
【详解】（1）解：设时满足条件的点，
由函数，可得，可得，即切线的斜率为
因为切线与直线平行，所以，解得，可得，
所以点是满足条件的点.
（2）解：由（1）知，切线的斜率为，
因为切线与直线垂直，所以，解得，可得，
所以点是满足条件的点.
（3）解：由（1）知，切线的斜率为，
因为切线的倾斜角为，所以其斜率为，可得，解得，可得，
所以点是满足条件的点.
16．（本题满分15分）已知函数（a为常数）．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，，
所以，，
故曲线在点处的切线方程为．
（2）若在定义域内有两个极值点，则是方程即的两个不相等的正根，
从而得到，即，
又，故，且
令，则，
，
所以在上单调递减，
所以，即的值域为，
所以的范围是.
17．（本题满分15分）已知函数．
(1)若在上单调递增，求的取值范围．
(2)求的单调区间.
【答案】(1)
(2)答案见详解
【详解】（1）的定义域为，，
当时，，在单调递增，满足题意；
当时，令，解得（舍去）或，要使在上单调递增，则，所以.
综上，的取值范围为.
（2）由（1）可知，当时，在单调递增，
当时，在单调递增，
令，解得，在单调递减.
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
18．（本题满分17分）已知函数，在点处的切线方程是.
(1)求，的值；
(2)设函数，讨论函数的零点个数.
【答案】(1)
(2)见详解
【详解】（1）因为，所以，
又因为在点处的切线斜率为，
又，求得：.
（2）由（1）知，，
令，则，
求函数的零点个数即与图像的交点个数，
，，
令，解得：；令，解得：或，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且，，的图像如下：
当或，与图像有1个交点，
当或，与图像有2个交点，
当，与图像有3个交点.
19．（本题满分17分）已知函数，
(1)求函数的极值点；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)极大值点为，无极小值点；
(2) m ≤ 1
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，当时，，
因此函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以的极大值点为，无极小值点.
（2）设，，依题意，，
求导得，令，，
显然函数在上单调递减，又，，
则，使得，即，有，即，
因此当时，，即，则单调递增，
当时，，即，则单调递减，
从而，解得m ≤ 1
所以实数m的取值范围是m ≤ 1
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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导数章末检测试卷
注意事项：考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1．试卷共4页，满分为150分，考试时间为150分钟。2．答题前，请将班级、姓名、准考证号等认真填写在答题卡上，并请认真核对规定填写的项目是否准确。3．所有答案在答题卡上完成。选择题用2B铅笔填涂，主观题答案必须用0.5毫米，黑色墨水签字笔填写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知的值是（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
2. 如图所示的是的导函数的图像，下列四个结论：
①在区间上是增函数；
②是的极小值点；
③的零点为和；
④是的极大值点．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③④
3．已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．函数 的导函数为，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
5．函数在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，若，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．若直线与曲线相切，则的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．可能把直线作为切线的曲线是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．
C．方程有实数解
D．存在实数，使得方程有4个实数解
11．设函数为上的奇函数，为的导函数，，，则下列说法中一定正确的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知函数，且的最小值为0，则的值为______．
13．已知曲线与曲线有公切线，则的方程为______.
14．设函数在区间上有两个极值点，则a的取值范围是______．
四、解答题（共5大题，共77分）
15.（本题满分13分）曲线上哪一点处的切线满足下列条件？
(1)平行于直线；
(2)垂直于直线；
(3)倾斜角为.
16.（本题满分15分）已知函数（a为常数）．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．
17.（本题满分15分）已知函数．
(1)若在上单调递增，求的取值范围．
(2)求的单调区间.
18.（本题满分17分）已知函数，在点处的切线方程是.
(1)求，的值；
(2)设函数，讨论函数的零点个数.
19.（本题满分17分）已知函数，
(1)求函数的极值点；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
试题解析
1．已知的值是（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
【答案】C
【详解】根据导数值的定义：.
2．如图所示的是的导函数的图像，下列四个结论：
①在区间上是增函数；
②是的极小值点；
③的零点为和；
④是的极大值点．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③④
【答案】A
【详解】由导函数的图像可知，
当时，，
当时，，
所以在区间上单调递减，
在上单调递增，故①正确，②正确；
又和是的零点（是极值点），
不是的零点，且不是的极大值点，故③④均错误；
3．已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，则，因为，所以，即函数在上单调递减，
则，即，即，
所以，即的解集为.
4．函数 的导函数为，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【详解】当时，则 ，
此时 ，
所以，
5．函数在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，且点在的图像上，
所以在处的切线的斜率为，
所以在处的切线方程为，即.
6．已知函数，若，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】已知函数，作出函数图像如图：
当时，．
由，得，则．
令，则，
当时，单调递减；当时，单调递增，
，即的最小值为．
7．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B.
【详解】，，.
构造函数，则,当时，,函数递增; 当时，,函数递减;
因为 ,所以
8．若直线与曲线相切，则的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【详解】设切点坐标为，因为，
所以，故切线的斜率为：，
，则.
又由于切点在切线与曲线上，
所以，所以.
令，则，设，
，令得：，
所以当时，，是增函数；
当时，，是减函数.
所以.
所以的最大值为：1
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．可能把直线作为切线的曲线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】因为直线的斜率，
对于选项A：因为，则，
令，解得，故A正确；
对于选项B：因为，则，
又因为，则方程无解，故B错误；
对于选项C：因为，则，
令，解得，故C正确；
对于选项D：因为，则，
令，解得，故D正确；
故选：ACD.
10．已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．
C．方程有实数解
D．存在实数，使得方程有4个实数解
【答案】BCD
【详解】由，
显然当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，故A错误；
对于B项，易知，由在上单调递增可知B正确；
对于C项，由上知在处取得极小值，而，故C正确，如图所示；
对于D项，，即，当，显然成立，即是其一根，当时，原方程等价于，令，
令，解得，即在上单调递减，
令，解得或时，即在和上单调递增，故在处取得极大值，在处取得极小值，，
又时，，可得的大致图像，如图所示，
当时，有三个不同的根，且均不为零，综上所述D正确；
11．设函数为上的奇函数，为的导函数，，，则下列说法中一定正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】因为函数为上的奇函数，所以，因为，，所以当得，所以，故A正确；
又，可得，则，
所以函数关于直线对称，故的值无法确定，故B不正确；
因为，则①，所以关于轴对称，
又，所以，即，所以关于点对称，则②，
由①②得，所以，则，
故的周期为6，由②可得，即，所以，故C正确；
由②得，所以，
则，故D正确.
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知曲线与曲线有公切线，则的方程为______.
【答案】
【详解】设直线与曲线相切于点，
因为，则，
所以该直线的方程为，即，
设直线与曲线相切于点，
因为，则，
所以该直线的方程为，即，
所以，消去得，
令，因为，所以，所以，
令，所以，则为增函数，
所以最多一个零点，容易知道，
所以只有一个解，所以，所以，
所以该直线的方程为，即.
13．设函数在区间上是减函数，则的取值范围是_________．
【答案】
【详解】因，
，
若，，当时，，符合题意，
当时，得
，因，
故，
由题意在上恒成立，
设，则在上单调递减，
故
故，，
综上，
故答案为：
14．设函数在区间上有两个极值点，则a的取值范围是______．
【答案】
【详解】，
由题意知在上有两个不相等的实根，
将其变形为，设，则.
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
的极大值为，又，
画出函数的大致图像如图，
，即.
四、解答题（共5大题，共77分）
15.（本题满分13分）曲线上哪一点处的切线满足下列条件？
(1)平行于直线；
(2)垂直于直线；
(3)倾斜角为.
【答案】(1)是满足条件的点.
(2)是满足条件的点.
(3)是满足条件的点.
【详解】（1）解：设时满足条件的点，
由函数，可得，可得，即切线的斜率为
因为切线与直线平行，所以，解得，可得，
所以点是满足条件的点.
（2）解：由（1）知，切线的斜率为，
因为切线与直线垂直，所以，解得，可得，
所以点是满足条件的点.
（3）解：由（1）知，切线的斜率为，
因为切线的倾斜角为，所以其斜率为，可得，解得，可得，
所以点是满足条件的点.
16．（本题满分15分）已知函数（a为常数）．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，，
所以，，
故曲线在点处的切线方程为．
（2）若在定义域内有两个极值点，则是方程即的两个不相等的正根，
从而得到，即，
又，故，且
令，则，
，
所以在上单调递减，
所以，即的值域为，
所以的范围是.
17．（本题满分15分）已知函数．
(1)若在上单调递增，求的取值范围．
(2)求的单调区间.
【答案】(1)
(2)答案见详解
【详解】（1）的定义域为，，
当时，，在单调递增，满足题意；
当时，令，解得（舍去）或，要使在上单调递增，则，所以.
综上，的取值范围为.
（2）由（1）可知，当时，在单调递增，
当时，在单调递增，
令，解得，在单调递减.
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
18．（本题满分17分）已知函数，在点处的切线方程是.
(1)求，的值；
(2)设函数，讨论函数的零点个数.
【答案】(1)
(2)见详解
【详解】（1）因为，所以，
又因为在点处的切线斜率为，
又，求得：.
（2）由（1）知，，
令，则，
求函数的零点个数即与图像的交点个数，
，，
令，解得：；令，解得：或，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且，，的图像如下：
当或，与图像有1个交点，
当或，与图像有2个交点，
当，与图像有3个交点.
19．（本题满分17分）已知函数，
(1)求函数的极值点；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)极大值点为，无极小值点；
(2) m ≤ 1
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，当时，，
因此函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以的极大值点为，无极小值点.
（2）设，，依题意，，
求导得，令，，
显然函数在上单调递减，又，，
则，使得，即，有，即，
因此当时，，即，则单调递增，
当时，，即，则单调递减，
从而，解得m ≤ 1
所以实数m的取值范围是m ≤ 1
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