2023-2024学年云南省玉溪一中高二（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年云南省玉溪一中高二（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是的导数，：，：在处取到极值，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.下列求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
4.已知为等比数列，若，，则( )
A. B. C. D.
5.设，，，则，，大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
6.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
7.已知向量，向量，满足，则( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线与相交于，两点，若四边形是矩形，则双曲线的离心率( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在直三棱柱中，，，分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥，后所得的几何体记为，则( )
A. 有个面
B. 有条棱
C. 有个顶点
D. 平面平面
10.已知等差数列的前项和为，，且，则( )
A. 在数列中，最大 B. 在数列中，或最大
C. D. 当时，
11.如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作其中，得到四个小正方形，，，，记它们的面积分别为，，，，则以下结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线过点，则的最小值为________．
13.已知，，，则的值为 ．
14.已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数等于______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在中，三边，，所对的角分别为，，，已知．
求；
若，外接圆的直径为，求的面积．
16.本小题分
在圆锥中，高，母线，为底面圆上异于的任意一点．
若，过底面圆心作所在平面的垂线，垂足为，求证：平面；
若，求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知是等差数列的前项和，且，．
求数列的通项公式；
若对任意，求的最小整数值．
18.本小题分
已知函数，．
讨论函数的单调区间；
当时，设，若恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆的右焦点为，且经过点，过点且不与轴重合的直线交椭圆于，两点．
求椭圆的标准方程；
设椭圆的左顶点为，直线，和直线分别交于点，，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：依题意在内连续可导，且是的导数，，则不一定是极值点，需保证两侧导数异号关系才能成为极值点，
而在处取到极值，则，
所以是的必要不充分条件．
故选：．
根据极值点的知识确定充分、必要条件．
本题考查了函数的极值点的问题以及充分必要条件的判定，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：集合，
，
所以．
故选：．
根据两个集合中元素的特征，即可判断两集合之间的关系．
本题考查了两个集合之间的关系应用问题，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：选项：，故A选项错误；
选项：，故B选项错误；
选项：，故C选项正确；
选项：，故D选项错误；
故选：．
本直接利用求导公式计算即可．
本题主要考查利用求导公式对函数求导，属于基础题．
4.【答案】
【解析】可“”：，，
，
，
，
．
故选：．
由等比中项的性质求解即可．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
考查指数函数和对数函数的单调性，以及增函数的定义．
容易得出，从而可得出，，的大小关系．
【解答】
解：，，；
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：抛物线的标准形式是，
抛物线焦点在轴上，开口向上，可得，
因此，抛物线的焦点坐标为：
故选D
该抛物线的方程是的形式，由此不难得到，，所以抛物线的焦点坐标为：
本题给出抛物线的标准方程，求它的焦点坐标，着重考查了抛物线的标准方程与简单性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量平行的判断，涉及空间向量的坐标表示，属于基础题．
根据题意，设，有，求出、的值，计算可得答案．
【解答】
解：向量，向量，
若，设，，
则有，则，则有，，
则，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
由已知可得，，联立直线方程与双曲线方程，求得的坐标，再由两点间的距离公式列式求解．
本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．
【解答】
解：如图，
四边形是矩形，，则，
联立，解得，，
，整理得，
即，又，解得，即．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于，由图可知，有面，面，面，面，面，
面，面共个，故A正确；
对于，有顶点，，，，，，，共个，故C错误；
对于，有棱，，，，，，，，，，，，，共条棱，故B正确；
对于，取中点，连接，，则可得，，
因为，则为中点，且为中点，
则，即，且平面，平面，
所以平面，
又为中点，所以，且平面，
平面，所以平面，
且，，平面，所以平面平面，故D正确．
故选：．
根据几何体的结构特征以及面面平行的判定定理即可得解．
本题考查空间几何体的结构特征，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：为等差数列，
，且，
，，，
是递减等差数列，最大，故AD正确，B错误，
，
则，故C错误．
故选：．
根据已知条件，推出，，即可求出，再结合，即可求解．
本题主要考查等差数列的前项和，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：设，最大正方形的边长为，
设小正方形，，，的边长分别为，，，，
由图可知，，，，
由正方形的面积公式可得，，即，故C正确；
又，，故B正确，
故选：．
设，最大正方形的边长为，所以，，，，再利用三角函数恒等变形化简求解即可．
本题主要考查了三角函数的恒等变形，属于基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查基本不等式的应用，考查“”代换，考查计算能力，属于中档题．
将代入直线方程，求得，利用“”代换，根据基本不等式的性质，即可求得的最小值．
【解答】
解：直线过点，
则，
由
，
当且仅当，即，时，取等号，
的最小值为，
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：，，，，
，，
则，
故答案为：．
由题意利用同角三角函数的基本关系式、诱导公式，求得、的值，再利用两角差的正切公式，计算求得结果．
本题主要考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式的应用，两角差的正切公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，则，
对于函数，
所以，显然不是函数的零点，
当时函数恰好有两个零点，
所以方程有两个根，
令，
则函数与函数的图象有两个交点，
当时，，则，
所以当时，，函数在上为增函数，
当时，，函数在上为减函数，又，
当时，，函数在上为减函数，
由此可得函数的图象如下：
当即时，函数与函数的图象恰有两个交点，
所以．
故答案为：．
首先判断是否为函数的零点，从而得到方程有两个根，令，问题转化为函数与函数的图象有两个交点，利用导数说明在上的单调性，即可得到的图象，再数形结合即可得解．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了函数的零点与方程根的关系，以及数形结合的数学思想，属于中档题．
15.【答案】解：因为，
由正弦定理得，，
因为，，
所以，
因为，
所以，
又，
则，
因为，
所以；
由正弦定理，，
则，
由余弦定理，，
解得或舍去，
故的面积．
【解析】由正弦定理化边为角，利用三角形中三内角的三角函数关系消去角，解三角方程即得；
由正弦定理求得边，再由余弦定理求出边，利用面积公式即得．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
16.【答案】解：证明：因为为圆锥的高，所以平面，
又平面，所以，
又，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，又平面，所以，
又因为，，平面，所以平面；
如图，以原点，建立空间直角坐标系，
得，
所以．
设平面的一个法向量为，
则，则可取，
因为轴垂直平面，
则可取平面的一个法向量为，
则，
故所求二面角的余弦值为．
【解析】先根据线面垂直的性质证明，再证明平面，可得，根据平面，可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
以原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．
本题考查线面垂直的判定与性质、二面角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：因为，，
设等差数列的公差为，
所以，解得，
所以；
因为，所以，
令，
所以，
两式相减得，
所以．
因为，所以，
所以，故的最小整数值为．
【解析】根据等差数列的通项公式及求和公式列出方程组求解即可；
根据错位相减法求出和，即可得解．
本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，错位相减求和，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．
18.【答案】解：定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递减，
当时，
单调递减 极小值 单调递增
综上所述，当时，的单调递减区间为，
当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为．
恒成立，
所以恒成立，设，
则，
设，则，
当时，，递增，当时，，递减，
所以，所以当时，恒成立，
当时，，递增，当时，，递减，
所以，
由恒成立得，
所以的取值范围为．
【解析】根据题意，求导可得，然后分与讨论，即可得到结果；
根据题意，分离参数，然后构造函数，求导可得，转化为最值问题，即可得到结果．
本题考查了导数与单调性关系的应用，还考查了由不等式恒成立求参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
19.【答案】解：因为椭圆的右焦点为，
所以，
又椭圆经过点，
所以，
解得，
则椭圆的标准方程为；
证明：由知，，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，
易知直线的方程为，
令，
解得，
同理得，
则
．
故为定值，定值为．

【解析】由题意，根据椭圆的几何性质和将已知点代入列出方程组求出，即可得出椭圆的方程；
设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，由此化简，从而证得结论成立．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
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