2023-2024学年辽宁省名校联盟高二（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

2023-2024学年辽宁省名校联盟高二（下）月考数学试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，复数的共轭复数为，则( )
A. B. C. D.
3.设，为两个事件，已知，则( )
A. B. C. D.
4.“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓九章算术商功：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即一个长方体沿对角线斜解图得到一模一样的两个堑堵，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解图，得一个四棱锥称为阳马图，一个三棱锥称为鳖臑图若某长方体的长为，宽为，高为，记该长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列选项不正确的是( )
A. B. C. D.
5.下列各式大小比较中，其中正确的是( )
A. B.
C. D.
6.函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线：，焦点为，点是抛物线上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.将四大名著红楼梦西游记三国演义水浒传，诗集唐诗三百首徐志摩诗集和戏曲中华戏曲本书放在一排，则( )
A. 戏曲书放在正中间位置的不同放法有种
B. 诗集相邻的不同放法有种
C. 四大名著互不相邻的不同放法有种
D. 四大名著不放在两端的不同放法有种
10.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知抛物线：，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则( )
A.
B.
C. 平分
D. 延长交直线于点，则，，三点共线
11.半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体某半正多面体由个正三角形和个正六边形构成，其可由正四面体切割而成在如图所示的半正多面体中，若其棱长为，则下列结论正确的是( )
A. 该半正多面体的表面积为
B. 该半正多面体的体积为
C. 该半正多面体外接球的表面积为
D. 若点，分别在线段，上，则 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，的系数是______用数字填写答案
13.如图，正四棱锥的棱长均为，点为侧棱的中点．若点，分别为直线，上的动点，则的最小值为 ．
14.已知椭圆，、分别是其左，右焦点，为椭圆上非长轴端点的任意一点，是轴上一点，使得平分过点作、的垂线，垂足分别为、则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数为奇函数．
求，判断的单调性，并用定义证明；
若不等式恒成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，求面积的取值范围．
17.本小题分
如图，在平行六面体中，每一个面均为边长为的菱形，平面底面，，，分别是，的中点，是的中点．
证明：平面；
若侧棱与底面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
18.本小题分
为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部、进行体育运动和文化项目比赛，由部、部争夺最后的综合冠军决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束若部、部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天部、部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军设每局比赛部获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
记第一天需要进行的比赛局数为，求，并求当取最大值时的值；
当时，记一共进行的比赛局数为，求．
19.本小题分
阅读材料：
一极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线：，则称点和直线：是圆锥曲线的一对极点和极线事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换另一变量也是如此，即可得到点对应的极线方程特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线，与点对应的极线方程为即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系．
二极点与极线的基本性质、定理
当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；
当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线即切点弦所在直线；
当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹．
结合阅读材料回答下面的问题：
已知椭圆：经过点，离心率是，求椭圆的方程并写出与点对应的极线方程；
已知是直线：上的一个动点，过点向中椭圆引两条切线，切点分别为，，是否存在定点恒在直线上，若存在，当时，求直线的方程；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
集合；
故选：．
求出集合，，从而求出集合．
本题考查交集的运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：的共轭复数为，
，，
则，
故选：
根据复数的有关概念，即可得到结论．
本题主要考查复数的基本运算，比较基础．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，由，得，
显然，因此，变形可得．
故选：．
根据题意，利用全概率公式列式计算即得．
本题考查条件概率的计算，涉及全概率公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，选项正确；
，选项正确；
，选项正确；
，选项不正确．
故选：．
结合长方体、锥体体积公式求得正确答案．
本题考查长方体、锥体体积求解，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，，
，，
，即，A错误，
，，B错误，
，，，，C错误，
，，，，D正确，
故选：．
利用平方关系判断，利用三角函数的诱导公式判断，利用对数函数的性质判断．
本题考查对数函数的性质，三角函数的诱导公式，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：函数图象向左平移个单位长度后，
得的图象，
由已知得，
所以，
所以，
所以，，
所以，，
因为，所以的最小值为，
故选：．
化简原函数解析式并求出平移后的函数解析式，由条件等式结合正弦函数性质求出的范围，由此可得结论．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象的平移变换主要考查学生的运算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：抛物线的方程为，
，抛物线的准线方程为，
方程可化为，
过定点，
设，设，的中点为，则，
因为，为垂足，
，所以，
即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
过点作准线的垂线，垂足为，则，
，
又，当且仅当，，三点共线且在，之间时等号成立，
，
过点作准线的垂线，垂足为，
则，当且仅当，，三点共线时等号成立，
，当且仅当，，，四点共线且在，之间时等号成立，
所以的最小值为，
故选：．
由条件确定点的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求的最小值．
本题考查了动点的轨迹以及抛物线中的最值问题，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为，所以，如图，
在上取一点，使得：：，连接，则，
则点为上靠近点的三等分点，所以：：：：，
所以：：：：，不妨设，则，，
则，
所以，，设，
由余弦定理得，
即，解得，
解得．
故选：．
由，得到三边之比，设出三边之长，再结合椭圆的定义与解三角形的知识可以得到，的值，从而可求离心率．
本题考查椭圆的标准方程，几何性质，三角形内切圆及向量的线性运算，考查综合应用所学知识的能力，解决问题的能力，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项A，戏曲书放在正中间位置的不同方法有种，即选项A正确；
对于选项B，诗集相邻的不同方法有种，即选项B正确；
对于选项C，四大名著互不相邻，先将四大名著全排，然后将另外本书排在四大名著之间的个空中即可，即不同方法有种，即选项C正确；
对于，四大名著不放在两端，先将四大名著排在中间个位置，然后将其他本全排列，
所以不同的方法有种，故D错误．
故选：．
由排列、组合及简单计数问题，结合相邻问题捆绑法及不相邻问题插空法求解即可．
本题主要考查了排列组合知识，考查了“捆绑法”和“插空法”的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：设，，
因为轴，且过点，
所以，
把代入抛物线的方程，
解得，即，
由题知，直线经过焦点，
直线的方程为，即，
联立，得，
所以，，
对于：，与矛盾，故A错误；
对于：
，故B正确；
对于：，
所以，
由光学性质可知轴，轴，
所以，
所以，
所以，
所以平分，故C正确；
对于：因为，，
所以，
直线的方程为，
联立，解得，
所以点坐标为，
所以，，三点纵坐标都相同，
所以，，三点共线，故D正确．
故选：．
设，，由轴，且过点，推出点坐标，写出直线的方程，并联立抛物线的方程，结合韦达定理可得，，即可判断是否正确；由弦长公式计算出，即可得出是否正确；计算得，推出，由光学性质可知，则，进而可得平分，即可判断是否正确；解得点坐标，推出，，三点纵坐标都相同，即可判断是否正确．
本题考查抛物线的应用，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由题意，该半正多面体由个正三角形和个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，其棱长为，
对于，该正多面体的表面积为，故A错误；
对于，如图所示，该半正多面体所在的正四面体中，可得正四面体的棱长为，
取正四面体的下底面的中心为，连接，则底面，
在直角中，，，
，
该半正多面体的体积为，故B正确；
对于，该半正多面体外接球的球心即其所在正四面体的外接球的球心，
记球心为，半径为，的球心为，
连接，，，，由等边的边长为，
可得，
又由底面正六边形的边长为，可得，
在正四面体中，可得，
，
设，，，
，解得，即，
，
该半正多面体外接球的表面积为，故C正确；
对于，该半正多面体展开图如图所示：
则，，，，故D正确．
故选：．
根据给定的多面体，利用正四面体的性质，球的截面圆的性质，以及多面体的侧面展开图，结合棱锥的表面积与体积公式，以及球的表面积公式，逐项判定，即可求解．
本题考查正四面体的性质、球的截面圆的性质、多面体的侧面展开图、棱锥的表面积与体积公式、球的表面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，，，，，
令，解得，
所以的系数为，
故答案为：．
求出展开式的通项公式，然后令的指数为，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两点间距离最小问题，属中档题，
的长的最小值即为异面直线与之间的距离，又，所以平面，所以直线到平面的距离即为异面直线与之间的距离，所以只需求到平面的距离即可，利用等体积法求解即可．
【解答】
解：的长的最小值即为异面直线与之间的距离，
又，所以平面，所以直线到平面的距离即为异面直线与之间的距离，
所以只需求到平面的距离即可，
过作平面于，则为正方形的中心，连接，则为的中点，
所以易求，所以，
设到平面的距离为，则，
所以，所以，
所以的最小值为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：易知点位于短轴的端点时，最大，
因为椭圆，
所以，，
则最大值为，
不妨设，
因为平分，
所以，
不妨设，
易知，
易知，
因为，
所以，
解得，
而
，
所以，
则，
因为，
所以
不妨令
此时，
易知在上单调递减，
所以．
故答案为：．
由题意，利用椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系．椭圆的焦点三角形的面积公式和二倍角公式进行求解即可．
本题考查椭圆的性质，考查了逻辑推理和运算能力．
15.【答案】解：函数为奇函数，所以，
即，则，
即，则，得；
所以，
函数在上为增函数，
证明如下：
设，则
，所以，且，，
，即，
函数在上为增函数；
不等式恒成立，
，
函数为奇函数，，
函数在上单调递增，则，
即恒成立，
当时，不等式恒成立，满足题意；
当时，需满足，即，解得，
综上，实数的取值范围为．
【解析】先根据奇函数的定义计算参数，再由函数的单调性定义证明即可；
利用函数的奇偶性及单调性脱去函数符号，结合一元二次不等式恒成立讨论计算即可．
本题考查了利用函数的奇偶性求参数的值，利用定义法证明函数的单调性，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想、分类讨论思想和方程思想，属中档题．
16.【答案】解：由已知条件得，
由正弦定理得，
即，
因为在中，，
所以，
又是锐角，
所以；
由正弦定理得，
则，，
所以
，
由，得，
所以，
所以
所以
所以面积的取值范围为．
【解析】对等式两边同时乘以可得，正弦定理结合两角和的正弦公式化简即可得出答案；
由正弦定理求出，，表示出面积结合三角函数的性质即可得出答案．
本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
17.【答案】解：证明：连接，，
因为在平行六面体中，每一个面均为边长为的菱形，
所以，，，，，
因为，分别是，的中点
所以，，，，，
所以，四边形，均为平行四边形，
所以，，，
因为菱形中，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，又，平面，，平面，
所以平面，平面，
因为，，平面，
所以平面平面，又是的中点，平面，
所以平面；
过点作，垂足为，连接，
因为平面底面，平面底面，平面，
所以底面，又底面，
所以，又侧棱与底面所成的角为，
所以，又，
所以，即为中点，
因为底面为菱形，所以，
所以，
以为，，轴方向建立空间直角坐标系，
则，，，
，，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，
又，
设平面的一个法向量为，
则，取，
，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
【解析】连接，，进而证明平面平面即可证明结论；
过点作，垂足为，连接，进而证明，，进而建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．
本题考查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理与性质定理，向量法求解二面角问题，属中档题．
18.【答案】解：可能取值为，；．
故E，
即，则当时，取得最大值．
当时，双方前两天的比分为：或：的概率均为；
比分为：或：的概率均为，则或即获胜方两天均为：获胜，不妨设部胜，
概率为，同理部胜，概率为，
故；即获胜方前两天的比分为：和：或者：和：再加附加赛，
不妨设最终部获胜，
当前两天的比分为：和：时，
先从两天中选出一天，比赛比分为：，三场比赛前两场，部一胜一负，第三场比赛获胜，另外一天比赛比分为：，
故概率为，
当前两天比分为：和：，附加赛获胜时，两天中选出一天，比赛比分为：，
概率为，
故最终部获胜的概率为，
同理部胜，概率为，
故．
所以．
【解析】求出可能取值，并求出对应的概率，得到期望，配方后得到期望最大值时对应的的值；
先得到双方前两天的比分为：或：的概率均为，比分为：或：的概率均为，考虑和两种情况，分别求出概率，相加即可．
本题主要考查离散型随机变量的期望，考查概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：因为椭圆过点，
所以，
解得，
因为椭圆的离心率是，
所以，
解得，
又，
则椭圆的方程为．
由阅读材料知，与点对应的极线方程为，即；
不妨设点的坐标为，
因为点在直线上，
所以，
联立，消去并整理得，
此时，该方程无实数根，
所以直线与椭圆相离，
即点在椭圆外，
因为，都与椭圆相切，
所以点和直线是椭圆的一对极点和极线．
对于椭圆，与点对应的极线方程为，
联立，整理得，
因为定点的坐标与的取值无关，
所以，
解得，
则存在点恒在直线上，
当时，是线段的中点，
不妨设，，
因为，两点均在椭圆上，
所以，
两式相减，整理得，
则直线的斜率，
所以当时，直线的方程为，
即．
【解析】由题意，根据题意和离心率求出、，即可求解；
利用代数法证明点在椭圆外，则点和直线是椭圆的一对极点和极线．
根据题意中的概念求出点对应的极线方程，可得该直线恒过定点，利用点差法求出直线的斜率，即可求解．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
第1页，共1页