2023-2024学年上海市徐汇区南模中学高二（下）段考数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市徐汇区南模中学高二（下）段考数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线与直线互相平行，则实数的值为( )
A. B. 或 C. D.
2.设为坐标原点，为抛物线的焦点，是抛物线上一点，若，则点的个数为( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线：的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则( )
A. B. C. D.
4.中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理已知双曲线，若双曲线右焦点到渐近线的距离记为，双曲线的两条渐近线与直线，以及双曲线的右支围成的图形如图中阴影部分所示绕轴旋转一周所得几何体的体积为其中，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知双曲线的焦点为和，离心率为，则的方程为______．
6.直线被圆：截得的弦长为______．
7.两条直线：和：的夹角大小为______．
8.设直线经过点，则当点与直线的距离最大时，直线的方程为______．
9.若椭圆的离心率为，则的值为______．
10.已知，为椭圆：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ．
11.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，则该抛物线的焦点到准线的距离为______．
12.已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为______．
13.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是______．
14.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为______．
15.已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，为坐标原点当时，，则 ______．
16.已知曲线：，：，其中．
当时，曲线与有个公共点；
当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积；
，曲线围成的区域面积等于围成的区域面积；
，曲线围成的区域内整点即横、纵坐标均为整数的点个数不少于曲线围成的区域内整点个数．
其中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知平面内两定点，，动点满足．
求动点的轨迹的方程；
若直线与曲线交于不同的两点、，求．
18.本小题分
已知直线：和圆：．
判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长；
求过点且与圆相切的直线方程．
19.本小题分
某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通号线线路示意图如图所示，已知、是东西方向主干道边两个景点，、是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心均为，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，线路段上任意一点到的距离都相等，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，以为原点建立平面直角坐标系．
求轨道交通号线线路示意图所在曲线的方程；
规划中的线路段上需建一站点到景点的距离最近，问如何设置站点位置？
20.本小题分
已知双曲线的左、右焦点为，．
若双曲线的离心率为，且，是正三角形，求的方程；
若，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为若，求．
在的条件下，若动直线与恰有个公共点且与的两条渐近线分别交于、记的面积为，的面积为是坐标原点，问：是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在，请说明理由．
21.本小题分
已知抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点．
若，求点的横坐标；
证明：直线过定点；
设为直线与直线的交点，求面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线与直线互相平行，
，即，解得或，
当时，两直线重合，不符合题意，
当时，两直线不重合，符合题意，
故实数的值为．
故选：．
根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由已知可得，设，
则，，
由，解得，
．
故选：．
设，利用坐标运算计算，然后解方程即可．
本题考查抛物线的几何性质，方程思想，属中档题．
3.【答案】
【解析】解：双曲线：的离心率为，
可得，所以，
所以双曲线的渐近线方程为：，
一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为，
圆的圆心到直线的距离为：，
所以．
故选：．
利用双曲线的离心率，求解渐近线方程，然后求解圆的圆心到直线的距离，转化求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
4.【答案】
【解析】解：焦点到的距离，
令，可得截面为一个圆环．
由可得；由，解得．
所以截面的面积为，
由对称性和祖暅原理可得所得几何体的体积为，
即有，即有，
即，
故，所以．
故选：．
根据点到直线的距离公式得，利用祖暅原理求解体积，即可根据离心率公式求解．
本题考查双曲线的离心率的求解，化归转化思想，属中档题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意可设所求方程为，，
又，解得，，，
所求方程为．
故答案为：．
根据题意，建立方程，即可求解．
本题考查双曲线的方程的求解，方程思想，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：圆：的圆心，半径，
点到直线的距离，
所以所求弦长为．
故答案为：．
利用点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式计算即得．
本题考查直线与圆相交的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设两条直线：的斜率为，：的斜率为，
这两条直线的夹角为，，则，．
由两条直线的夹角公式可得，，
故答案为．
先求出两条直线的斜率，再利用两条直线的夹角公式求出两条直线的夹角的正切值，即可求得两条直线的夹角．
本题主要考查两条直线的夹角公式的应用，反正切函数的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设，，
当时，点与距离最大，
直线的斜率，
此时的方程为：，即为：；
故答案为．
先，且当时点与距离最大，进而可求出直线的斜率，再根据点斜式方程得到答案．
本题主要考查直线间的位置关系．考查基础知识的灵活应用．
9.【答案】或
【解析】解：椭圆的离心率为，
可得，或，解得或．
故答案为：或．
利用椭圆的离心率列出方程，求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查椭圆的性质，椭圆的定义，考查方程思想与运算求解能力．
判断四边形为矩形，利用椭圆的定义及勾股定理求解即可．
【解答】
解：因为，为上关于坐标原点对称的两点，且，
所以四边形为矩形，
设，，
由椭圆的定义可得，
所以，
因为，
即，
所以，
所以四边形的面积为．
故答案为：．
11.【答案】
【解析】解：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，如图所示：
由题意得的坐标为，
设抛物线的标准方程为，则，解得．
故该抛物线的焦点到准线的距离为．
故答案为：．
以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为，根据题意得到点的坐标，代入求出参数的值，即可得出答案．
本题考查抛物线的性质，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：设圆的半径为，
圆：的圆心，半径，
圆：的圆心，半径，
因为圆与圆、圆外切，
则，，
所以，
所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
又，，则，，，
所以其轨迹方程为．
故答案为：．
设圆的半径为，根据题意可得，，两式相减，再结合双曲线的定义即可得解．
本题考查双曲线的定义及其标准方程，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．
先计算出两条动直线经过的定点，即和，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有，再利用基本不等式即可得出的最大值．
【解答】
解：由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过点定点，
注意到动直线和动直线始终垂直，又是两条直线的交点，
则有，，
故当且仅当时取等号
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：设，，且在第一象限，
由椭圆和双曲线的定义可得，，
解得，，在中，，
由余弦定理可得，
所以，可得，即，
双曲线为等轴双曲线，，
可得，
故答案为：．
利用椭圆、双曲线的定义和余弦定理推得，再根据的值，可求出的值．
本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，以及三角形的余弦定理，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：过作准线的垂线，过作的垂线，垂足分别为，．
由题意，
点到准线的距离为：，
解得，则，．
故答案为：．
由已知结合抛物线的定义可求得，再根据余弦定理求解．
本题考查抛物线的几何性质，考查化归与转化思想，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：首先需要知道，都关于轴，轴对称，关于原点对称，
对于，曲线：，：，
过轴上个点，，，
当相同，的更大，相对于圆凸出，正确，
对于，当时，纵坐标相同，当时，的更大，当时，的越大，
曲线围城的区域面积小于曲线围城的区域面积，错误，
对于，当时，曲线围城的区域面积小于围城的区域面积，
当很大时，图像完全在的圆里，曲线围城的面积大于围城的区域面积，
即随着的增加，一定有一个时刻使两曲线围城的面积相等，故正确，
对于，若对于的一个整点为，则对应的点为，
即是整数时，不一定是整数，正确，
故答案为：．
由题意可得，都关于轴，轴对称，关于原点对称，
对于，当相同，的更大，相对于圆凸出，即可判断是否正确，
对于，曲线围城的区域面积小于曲线围城的区域面积，即可判断是否错误，
对于，随着的增加，一定有一个时刻使两曲线围城的面积相等，即可判断是否正确，
对于，若对于的一个整点为，则对应的点为，是整数时，不一定是整数，即可判断是否正确，
本题考查曲线与方程，面积，解题中注意特殊值的应用，属于中档题．
17.【答案】解：由椭圆的定义知，点的轨迹为椭圆，
其中，
所以所求动点的轨迹的方程为．
设，，
联立直线与椭圆的方程消整理得：，
所以，，
．
【解析】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，弦长公式的应用，是中档题．
判断点的轨迹为椭圆，求出，，即可得到椭圆方程．
设，，联立直线与椭圆的方程消利用韦达定理以及弦长公式求解即可．
18.【答案】解：由圆：可得，圆心，半径，
圆心到直线：的距离为，
所以直线与圆相交，
直线被圆截得的弦长为．
若过点的直线斜率不存在，则方程为，
此时圆心到直线的距离为，满足题意；
若过点且与圆相切的直线斜率存在，
则设切线方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
所以切线方程为，即，
综上，过点且与圆相切的直线方程为或．
【解析】利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解；
利用直线与圆相切，以及点到直线的距离公式的关系求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
19.【答案】解：线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，
线路段所在的的曲线是以定点，为左右焦点的双曲线的左支，
则其方程为；
线路段上任意一点到的距离都相等，
线路段所在的曲线是以为圆心，以为半径的圆，
则其方程为；
线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，
线路段所在的曲线是以定点，为上下焦点的双曲线的下支，
则其方程为．
故轨道交通号线线路示意图所在曲线的方程为；
设，由，则，
由得，，即．
则．
当时，．
则站点为时，站点到景点的距离最近．
【解析】由题意结合双曲线即圆的定义可得轨道交通号线线路示意图所在曲线的方程；
，由，写出两点间的距离，化为关于的函数，利用配方法求最值．
本题考查轨迹方程的求法，训练了利用配方法求最值，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：由题意得，
又，且是正三角形，
所以，，
所以，，
故双曲线的方程为．
因为直线的斜率为，
所以，，
所以，又，
设，则，
在中由正弦定理可得：，所以，
在中由余弦定理可得：，
解得，所以，即．
存在最小值．
不妨设：，联立，消得，
由，得，
联立，得，同理得，
所以，
即，所以，
当且仅当时等号成立．所以存在最小值，且最小值为．
【解析】由双曲线的离心率公式以及是正三角形的条件可求得，的值，则双曲线方程可求；
结合题意，利用正余弦定理求解即可；
设：，联立直线方程与双曲线方程，结合韦达定理得出，再利用基本不等式求的最小值即可．
本题考查双曲线的方程及性质，考查联立直线和双曲线的方程解决综合问题，考查正弦定理和余弦定理的运用，属于难题．
21.【答案】解：由抛物线性质知，
可得，
所以的中点的横坐标；
证明：如图，设，，不妨设，
设：，则，
由，得，
故，，，，
所以，因为，
同理可得，
若，则直线：，
过点，
若，则直线：，
综上所述：直线过定点；
解：如图，设，，，，
则，由，
故，
同理可得，
联立，有，
即，
有，
由知，同理，
故，
故，
过点作轴，交直线于点，则，
由设，且，
故，
当且仅当时，等号成立，
下证：
由抛物线的对称性，不妨设，则，
当时，有，则点在轴上方，点亦在轴上方，
有，由直线过定点，
此时，
同理，当时，有点在轴下方，点亦在轴下方，
有，故此时，
当且仅当时，，
故恒成立，且时，等号成立，
又，
即，当且仅当时，等号成立．
【解析】由抛物线的性质可得弦长的表达式，进而可得的中点的横坐标；
设直线的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，可得的中点的坐标，同理可得的坐标，再分和两种情况讨论直线的方程，进而可得直线恒过的定点的坐标；
设直线与直线的方程，联立两直线后结合第一问中韦达定理得出点的横坐标恒为，再结合面积公式及基本不等式即可得．
本题考查抛物线的性质的应用，直线与抛物线的综合应用，三角形面积公式的应用，基本不等式的性质的应用，属于难题．
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