2023-2024学年河南省新高中创新联盟TOP二十名校高一（下）调研数学试卷（2月份）（含解析）

2023-2024学年河南省新高中创新联盟TOP二十名校高一（下）调研数学试卷（2月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：“，，则的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.函数的定义域为( )
A. 且 B.
C. D.
4.已知是幂函数，则( )
A. B. C. D.
5.已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则( )
A. B. C. D.
6.如图是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图所示，中间是一个直径为的圆盘，四周是个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，阖家团圆”若的长为，则每个扇环形小拼盘的面积为( )
A. B. C. D. ．
7.已知函数的零点分别是，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.已知函数且是值域为的单调递减函数，则的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增
C. 的图象关于点中心对称 D. 的图象关于直线对称
10.已知，是两个正实数，则下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D. 当时，
11.已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，若，则( )
A.
B. 的图象关于点中心对称
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的值为 ．
13.伊丽莎白塔是联合王国国会大厦威斯敏斯特宫的附属钟塔，是世界上著名的哥特式建筑之一，是伦敦乃至英国的标志性建筑钟楼上的钟也是世界上第二大的同时朝向四个方向的时钟，其中一个钟盘如图所示，分针尖端到中心的距离为米，尖端最低位置距地面约米，若分针尖端从最高位置沿顺时针方向绕中心匀速旋转一周，分针尖端与地面的距离单位：米与时间单位：分的函数关系式为，则函数 ______．
14.若函数满足，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知：实数满足，：实数满足．
若，且和至少有一个为真命题，求实数的取值范围；
若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知，求的值；
已知函数在区间上的最大值为，求实数的值．
17.本小题分
已知函数，函数．
求函数的解析式；
试判断函数在区间上的单调性，并证明；
求函数的值域．
18.本小题分
已知函数且是偶函数．
求实数的值；
若，且对于，不等式恒成立，求整数的取值集合．
19.本小题分
将函数的图象进行如下变换：向下平移个单位长度将所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变向左平移个单位长度，得到函数的图象．
当时，方程有两个不等的实根，，求实数的取值范围；
若函数在区间内恰有个零点，求的所有可能取值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
，
则．
故选：．
由绝对值不等式和集合的交集运算得到结果．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：的否定是“，”．
故选：．
全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3.【答案】
【解析】解：由题得，解得，
即函数的定义域为．
故选：．
由对数函数的底数大于且不等于，真数上根式内部的代数式大于联立不等式组求解．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题知，解得，
又因为，解得，
，
．
故选：．
由幂函数的定义得出结果即可．
本题主要考查了幂函数的定义，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题知，，，，
所以
．
故选：．
先根据三角函数的定义，求出角的三角函数值，再结合诱导公式求值．
本题主要考查了三角函数的定义及诱导公式的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：如图，
设小圆的圆心为，则，
设，每个扇环形小拼盘对应的圆心角为，
则的长为，
解得，
所以每个扇环形小拼盘的面积为：．
故选：．
利用扇形面积公式即可求得每个扇环形小拼盘的面积．
本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：令，，，得，
则为函数与交点的横坐标，
为函数与交点的横坐标，
为函数与交点的横坐标，
在同一直角坐标系中，分别作出和的图象，如图所示，
由图可知，．
故选：．
令，，，从而将问题转化为、、与交点的横坐标，画出函数图象，数形结合即可判断．
本题考查函数的零点，考查函数与方程的关系，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为函数且是值域为的单调递减函数，知，
解得，
，函数图像如图，
由，即，
令，解得，即，
令，解得，即，
综上，，的解集为．
故选：．
根据值域求出，再结合图像即可求解结论．
本题主要考查分段函数的单调性与最值，考查函数与方程，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：选项，的最小正周期为，故A正确；
选项，当时，，由正弦函数的单调性可知，
在上单调递增，在上单调递减，故B错误；
选项，，所以的图象不关于点中心对称，故C错误；
选项，由，得的图象关于直线对称，故D正确．
故选：．
选项，利用求出最小正周期；选项，整体法求出函数的单调区间；选项，计算出，故C错误；选项，计算出，D正确．
本题主要考查了正弦函数的周期性，单调性，对称性的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，当且仅当时取等号，故A错误；
对于，当，时，，当且仅当时取等号，故B正确；
对于，取，得，故C错误；
对于，当时，，
当且仅当，即时取等号，故D正确．
故选：．
根据题意，结合基本不等式代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果．
本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为是偶函数，则，
因为，
所以，
所以，即为偶函数，
当时，，
又，所以，所以，所以，故A正确；
由，得，
两式相减得，所以，
又，所以，即，
所以的图象关于点中心对称，故B正确；
，所以是以为周期的周期函数，
所以，故C正确；
，不正确．
故选：．
利用抽象函数的奇偶性、对称性、周期性一一判定选项即可．
本题主要考查了函数的奇偶性，对称性，周期性的综合应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两角差的正切，属于基础题．
直接利用两角差的正切化简求值．
【解答】
解：由，
得．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：，
由题意可得，．，
可得，
当时，，
可得，即，
又，
所以，
所以函数的解析式为．
故答案为：．
根据函数中各字母的意义确定解析式即可．
本题考查了由的部分图象确定其解析式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：函数满足，则是偶函数，
所以，即，
所以．
故答案为：．
根据题意，由条件可得是偶函数，然后结合偶函数的性质，代入计算，即可得到结果．
本题主要考查了函数的奇偶性定义在参数求解中的应用，属于中档题．
15.【答案】解：：实数满足，解得．
当时，：，解得，
和至少有一个为真命题，，
实数的取值范围为．
，
由，解得，
即，
是的充分不必要条件，
等号不同时取，
，
又，，
故实数的取值范围为．
【解析】根据题意解一元二次不等式得命题，，结合命题真假确定取值范围；
利用充分条件、必要条件的定义解不等式即可．
本题主要考查了一元二次不等式的求解，复合命题的真假判断，充分必要条件与集合包含关系的转化，属于中档题．
16.【答案】解：因为，
所以，
所以，
所以．
所以．
函数在区间上的最大值为，
由复合函数的单调性可知函数在区间上单调递增，
所以函数在区间上的最大值为，中较大的数．
若，则，解得或，
又且，即，所以，符合题意；
若，则，又，
所以，解得，符合题意．
综上，实数的值为或．
【解析】根据完全平方公式和立方和公式，分别求出分子、分母的值，再求出分式的值．
结合函数的单调性，求函数在给定区间上的最大值，从而确定参数的取值．
本题主要考查了指数幂的运算性质及对数函数性质的应用，属于中档题．
17.【答案】解：根据题意，函数，
令，则，
，即，
，
故；
函数在区间上单调递增．
证明：任取，
则，
又，，，
，即，
函数在区间上是增函数．
根据题意，，
当时，，
当且仅当时．等号成立．
当时，，
当且仅当时，等号成立．
的值域为．
【解析】根据题意，利用换元法求出的解析式，进而计算可得答案；
利用作差法证明可得结论；
利用基本不等式的性质分析可得答案．
本题考查函数的单调性的判断，涉及函数的值域，属于基础题．
18.【答案】解：函数且是偶函数，
，
即，
；
由知，，定义域为，．
易知函数在上单调递增，且为奇函数，
对于，恒成立，
即，
对于恒成立．
，
当且仅当时取等号，
，
即，解得，
又为整数，或或，
的取值集合为．
【解析】利用偶函数的定义计算即可；
先判定函数的奇偶性和单调性，去函数符号结合三角函数与二次函数的性质解不等式即可
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：由题意的图象向下平移个单位，得：；再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变得：；再把所得函数图象向左平移个单位，可得，
因为，
所以，
如图：
方程有两个不等实根时，的图象与直线有两个不同的交点，
作图可得．
故实数的取值范围为．
由题意可得，
设，，则函数等价为，
由，得．
因为，所以有两个不等的实数根，，
当时，，此时在上恰有个零点，
因为，所以，
所以；
当时，因为，．
所以，．
此时在上恰有个零点，
因为，所以或，
或．
综上所述，的可能取值为或或．
【解析】先根据函数的图象变换求的解析式，再利用数形结合的思想求参数的取值范围；
采用换元法，先把问题转化成为二次函数的零点分布问题，再结合三角函数的周期性求的可能值．
本题考查的知识点：函数的图像和性质，三角函数关系式的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
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