2023-2024学年甘肃省兰州一中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年甘肃省兰州一中高一（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( )
从无限多个个体中抽取个个体作为样本．
从件玩具中一次性抽取件进行质量检验．
某班有个同学，指定个子最高的名同学参加学校组织的篮球赛．
盒子中共有个零件，从中选出个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．
A. B. C. D.
2.已知平行四边形的顶点，，，则顶点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.某工厂利用随机数表对生产的个零件进行抽样测试，先将个零件进行编号：，，，，从中抽取个样本，如图提供了随机数表的第行到第行，若从表中第行第列开始向右读取数据，则得到的第个样本编号是
( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知某地、、三个村的人口户数及贫困情况分别如图和图所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层随机抽样的方法抽取的户数进行调查，则样本容量和抽取村贫困户的户数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.在中，三个内角，，依次成等差数列，若，则形状是( )
A. 锐角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
7.如图，正方形中，是的中点，若，则( )
A. B. C. D.
8.在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.学校为了了解本校学生上学的交通方式，在全校范围内进行了随机调查，将学生上学的交通方式归为四类方式：结伴步行，自行乘车，家人接送，其他方式．并把收集的数据整理分别绘制成柱形图和扇形图，下面的柱形图和扇形图只给出了部分统计信息，则根据图中信息，下列说法正确的是( )
A. 扇形图中的占比最小
B. 柱形图中和一样高
C. 无法计算扇形图中的占比
D. 估计该校学生上学交通方式为或的人数占学生总人数的一半
10.下列命题中错误的有( )
A. 的充要条件是且
B. 若，，则
C. 若，则存在实数，使得
D.
11.在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若则
B. 若，的三角形有两解，则的取值范围为
C. 若点为内一点，且，则：：
D. 若是锐角三角形，，，则边长的取值范围是
12.已知非零向量，的夹角为，现定义一种新运算：若，，，则( )
A. 在上的投影向量的模为 B. ，
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前名的学生成绩依次是：，，，，，，，，，，这名同学数学成绩的分位数是______．
14.已知，则在方向上的投影为______．
15.如图，为了测定河两岸点与点间的距离，在点同侧的河岸选定点，测得，，，则点与点间的距离为______
16.在中，角，，的对边分别是，，，若，，的面积为，则的周长是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
某市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按：的比例随机抽取人进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，分为组画出频率分布直方图如图所示，由于操作失误，导致第一组和第二组的数据丢失，但知道第二组频率是第一组的倍．
求和的值；
若次数在以上含次为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为多少？
估计全市学生跳绳次数的中位数和平均数？
18.本小题分
已知向是满足，且．
求向是的夹角；
求．
19.本小题分
某校为了解该校高三年级学生的物理成绩，从某次高三年级物理测试中随机抽取名男生和名女生的测试试卷，记录其物理成绩单位：分，得到如下数据：
名男生的物理成绩分别为，，，，，，，，，，，；
名女生的物理成绩分别为，，，，，，，．
求这名男生物理成绩的平均分与方差；
经计算得这名女生物理成绩的平均分，方差，求这名学生物理成绩的平均分与方差．
附：分层随机抽样的方差公式，表示第层所占的比例．
20.本小题分
平面内给出三个向量，，，求解下列问题：
Ⅰ若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围；
Ⅱ若，求实数的值．
21.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，．
若，证明：；
若，求周长的最大值．
22.本小题分
如图所示，在中，，，与相交于点设，．
试用向量表示；
在线段上取点，在线段上取点，使过点设，其中，当与重合时，，，此时；当与重合时，，，此时；能否由此得出一般结论：不论，在线段，上如何变动，等式恒成立，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：从无限多个个体中抽取个个体作为样本，不满足总体个数为有限个；
从件玩具中一次性抽取件进行质量检验，不满足逐个抽取；
某班有个同学，指定个子最高的名同学参加学校组织的篮球赛，不满足随机抽取；
盒子中共有个零件，从中选出个零件进行质量检验，
在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里，不满足无放回抽取．
综上可得以上均不满足简单随机抽样的定义，
故选：．
一般地，设一个总体含有个个体，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，则这样的抽样方法叫做简单随机抽样，据此定义逐项判断即可．
本题主要考查简单随机抽样的概念，属于基础题，解答此题的关键是正确理解简单随机抽样的定义．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，设的坐标为，
在平行四边形中，，，
又，即，解可得，，
即坐标为．
故选：．
根据题意，设出点的坐标，利用向量的坐标的求法求出两个向量的坐标，再利用向量相等的坐标关系列出方程组，求出点的坐标．
本题考查向量的坐标的求法；注意相等向量的坐标相同，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用随机数表进行抽样，属于基础题．
从表中第行第列开始向右读取数据，求出得到的前个编号，由此能得出结果．
【解答】
解：从表中第行第列开始向右读取数据，得到的前个编号分别是：，，，，，，
则得到的第个样本编号是．
故选A．
4.【答案】
【解析】解：，，，
则，解得，
，，
则，，，
故．
故选：．
结合直线平行的性质，先求出，再结合向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查向量的夹角公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由图得样本容量为，
抽取贫困户的户数为户，则抽取村贫困户的户数为户．
故选：．
将饼图中的、、三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以得出样本容量，在村人口户数乘以，再乘以可得出村贫困户的抽取的户数．
本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】本题已知三角形满足的条件，判断三角形的形状．着重考查了等差中项的定义、利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．
根据利用正弦定理，可得由三角形内角和定理与等差中项的定义算出，再利用余弦定理列式，解出，进而得到，可得是等边三角形．
解：在中，，
由正弦定理可得，
又，且角、、依次成等差数列，
，解得．
根据余弦定理得：，
即，化简得，可得．
结合，得，
是等边三角形．
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】
考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理，属于基础题．
根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出，代入并进行向量的数乘运算便可得出，而，这样根据平面向量基本定理即可得出关于，的方程组，解出，便可得出的值．
【解答】
解：，，；
；
由平面向量基本定理得：；
解得；
．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：，
，
即，
即，
得，
整理得，
，
，
，
，
当且仅当，即，，时取等号，
，
则面积的最大值为．
故选：．
根据正弦定理，余弦定理进行化简，结合基本不等式以及三角形的面积公式进行求解即可．
本题主要考查三角形面积的计算，结合正弦定理余弦定理以及基本不等式进行转化求解是解决本题的关键，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由条形统计图知，自行乘车上学的有人，家人接送上学的有人，其他方式上学的有人，
采用，，三种方式上学的共人，
设结伴步行上学的有人，由扇形统计图知，结伴步行上学与自行乘车上学的学生占，
所以，解得，
故条形图中，一样高，扇形图中类占比与一样都为，和共占约，故D也正确．
的占比最小，A正确．
故选：．
利用条形统计图和扇形统计图的性质直接判断求解．
本题考查命题真假的判断，考查条形统计图和扇形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于：的充要条件是且方向相同，故A错误；
对于：当时，原式不成立，故B错误；
对于：当，时，不存在实数，使得，故C错误；
对于：根据向量加、减法的三角形法则，可知成立，故D正确．
故选：．
利用平面向量相等的定义判断；举反例判断；利用向量三角形法则判断．
本题主要考查向量相等与共线，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由，可得，根据正弦定理得，即选项A正确；
在中，，，
由正弦定理得：，
，，
要使三角形有两解，得到，且，即，
，解得：，故B错误；
如图，取中点，连接，则：
，
，，，三点共线；；
；
：：故C错误．
对选项D，因为是锐角三角形，
所以，整理可得，解得，
故D正确．
故选：．
结合“大角对大边”与正弦定理，可判断；可作图，取的中点，并连接，从而由且，便可得出，从而有，，三点共线，且得到；可求比值判断对选项D，根据余弦定理即可判断D正确，
本题考查正弦定理与余弦定理，三角函数性质，考查向量的应用，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项A，在上的投影向量的模为，即选项A错误；
对于选项B，当时，，即选项B正确；
对于选项C，，所以，所以，即选项C正确；
对于选项D，，，其值可能为正，可能为零，也可能为负数，即选项D错误，
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合向量运算的新定义的理解及运算逐一判断即可得解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了向量运算的新定义的理解及运算，属基础题．
13.【答案】
【解析】解：对名同学的成绩从小到大进行排列：，，，，，，，，，，
根据，故取第项和第项的数据分别为：，；
名同学数学成绩的分位数为：．
故答案为：．
根据计算分位数的步骤，计算求解即可．
本题主要考查百分数的定义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，可得，
，，
在方向上的投影为：．
故答案为：．
可求出，然后即可求和的值，从而可得出在方向上的投影．
本题考查了向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：在中，，，
则，因为，
所以，
所以点与点间的距离为．
故答案为：．
直接利用正弦定理即可得解．
本题考查正弦定理，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为，
所以由正弦定理可得，
又，的面积为，可得，，
所以由余弦定理可得，
所以的周长．
故答案为：．
由已知利用正弦定理可得，根据三角形的面积公式可求，进而可求的值，利用余弦定理可求的值，即可得解三角形的周长．
本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
17.【答案】解：由题意得，
解得；
由图可知，超过分的组的频率分别为，，，
优秀率为，
全市优秀学生的人数约为人；
第，，，组的频率分别为，，，，
前三组的频率和为，
中位数约为，
平均数约为．
【解析】根据频率之和为列方程，结合已知条件求得，；
根据频率分布直方图计算出优秀率，并计算出全市优秀学生的人数；
根据中位数、平均数的求法求得正确答案．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了中位数和平均数的定义，属于基础题．
18.【答案】解：因为，
所以．
因为，
所以，
即．
因为，
所以，
又因为，
所以．
由知，，且，
所以，
所以．
【解析】根据数量积的运算律及向量的夹角公式即可求解；
根据的结论及数量积的运算律，利用向量的模运算即可求解．
本题考查了数量积的运算律及向量的夹角公式，重点考查了向量的模的运算，属中档题．
19.【答案】解：根据题意，名男生的物理成绩分别为，，，，，，，，，，，；
则，
其方差；
根据题意，这名学生物理成绩的平均分，
其方差．
【解析】根据题意，由平均数、方差的公式计算可得答案；
根据题意，先求出总体的平均数，再由分层随机抽样的方差公式计算可得答案．
本题考查平均数、方差的计算，注意平均数、方差的计算公式，属于基础题．
20.【答案】解：Ⅰ，，
因为与的夹角为锐角，
所以，且与不同向共线，即，解得且即实数的取值范围为；
Ⅱ，，
因为，
所以，解得．
【解析】Ⅰ根据与的夹角为锐角得到且与不同向共线，然后列不等式求解即可；
Ⅱ根据得到，然后解方程即可．
本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：证明：因为在中，内角，，的对边分别为，，，，，
所以由余弦定理可得
，
所以，即，
所以
，
又，可得，
所以，得证；
因为，，
由余弦定理可得：，
所以可得，当且仅当时取等号，
解得，
所以三角形的周长最大值为：．
【解析】由已知利用余弦定理可得，利用正弦定理可得，利用平方差公式即可证明；
由余弦定理，基本不等式可求的最大值，即可求解三角形的周长的最大值．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，平方差公式以及基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
22.【答案】解：设，由，，三点共线，可知存在，且使得，则，
又，所以，，即，
由，，三点共线，可知存在，且使得，则，又，
所以，
即，
由得，故，
能得出结论．
理由：由于，，三点共线，则存在实数，且使得，
于是，又，
所以，
所以
从而，所以消去得．
【解析】先设用向量表示，然后通过两个三点共线求出参数，
由三点共线，可表示，联立，可解出参数．
本题考查平面向量，注意利用三点共线，属于中档题．
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