2023-2024学年江苏省南通市启东中学高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省南通市启东中学高一（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则集合中元素的个数为( )
A. B. C. D.
2.在中，“”是“为钝角三角形”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量，满足，，若与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
5.函数的值域为( )
A. B. C. D.
6.已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，若只有一解，则实数的取值范围为
( )
A. B. C. D. 或
7.已知向量，的夹角为，且，，其中当取最小值时，与的夹角的大小为( )
A. B. C. D.
8.已知，且，则有( )
A. 最大值 B. 最小值
C. 取不到最大值和最小值 D. 以上均不正确
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若是关于的方程的一个根，则
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
10.已知内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，且该三角形有两解，则
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则为锐角三角形
11.下列等式正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.写出一个同时满足的复数 ______．
；
．
13.中，，若最大边的边长为，则最小边的边长为______．
14. ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，函数．
求图象的对称中心；
求在区间上的最大值和最小值，并求出相应的值．
16.本小题分
如图，在中，，，，．
求的长；
求的面积．
17.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求角的值；
若为锐角三角形，利用所求的角值求的取值范围．
18.本小题分
已知平行四边形，，，、分别为上个三等分点．
设，，，判断、的位置关系并用向量方法加以证明，求的值；
已知，，求点坐标及的值．
19.本小题分
设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”．
设函数，求的“相伴向量”；
记的“相伴函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围；
已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值当点运动时，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
集合中元素的个数为个．
故选：．
根据复数的乘方运算，化简，即可得到答案．
本题考查复数的乘方运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：若，则，所以是钝角，为钝角三角形，充分性成立；
若为钝角三角形，不一定是是钝角，所以不一定是，必要性不成立；
是充分不必要条件．
故选：．
分别判断充分性和必要性是否成立即可．
本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：已知向量，满足，，若与的夹角为，
则．
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，且，
故，所以；
因为，所以；
故
．
故选：．
根据条件，由求解即可．
本题考查的知识要点：三角恒等变换，和角的正弦，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：函数；
故当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值为；
故函数的值域为．
故选：．
直接利用三角函数关系式的恒等变换和二次函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的值，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角形的解法，考查数形结合思想，是基础题．
由题意画出图形，数形结合得答案．
【解答】
解：如图，
若，，，要使只有一解，
则实数的取值范围为或，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：由题意，向量，的夹角为，且，，，
则有，
当时，可得，此时，
又由，
所以，即与的夹角为．
故选：．
根据题意，化简得到，结合二次函数的性质，得到当时，取得最小值，得出，再根据，即可求解．
本题考查向量数量积计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由可得：，
展开得，
即，
因为且，
故，由可得：．
由，
因为，则，由，
可得：，当且仅当时，
即时，时，等号成立，故时，有最大值为．
故选：．
注意到，将等式化成，展开整理得到，利用角的范围，将其简化为，代入中整理可得，利用基本不等式即可求得最大值．
本题主要考查了和差角公式在三角化简求值中的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查复数的相关性质，属中档题．
根据复数的运算法则结合选项进行分析计算即可．
【解答】
解：对于，若，，满足，
但，，两者不能用大、小于号连接，A错误；
对于，设，，
则
，B正确；
对于，由得，所以，则，
，
所以，C正确；
对于，点的集合所构成的图形为半径为和的同心圆所形成的圆环，面积为，D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正弦定理及变形、利用正弦定理判定三角形解的个数、两角和与差的正切公式，属于中档题．
根据大边对大角及正弦定理判断，根据图形数形结合可判断，由正弦定理及三角恒等变换判断，由两角和的正切公式变形可判断．
【解答】
解：因为 ，所以 ，由正弦定理 为的外接圆半径 ，
可知 ，故A正确；
如图，

， ，且该三角形有两解，
所以 ，即 ，
故B正确；
由正弦定理可得， ，即 ，
所以 ，因为 ，所以 或 ，
即 或 ，所以三角形为等腰或直角三角形，故C错误；
因为
，且 ，
所以 ，即 为锐角，所以 为锐角三角形，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：由倍角公式，
，故A正确；
同理
，故B正确；
，
，
，
或舍去．
，故C正确，D错误．
故选：．
利用三角恒等变换即可判断、，再利用的结论以及，求出和的值，即可判断．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
12.【答案】或
【解析】解：因为，不妨设，
由得，
所以，解得，，所以或，
故答案为：或
根据题意，设，结合条件，列出方程，求解即可．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：中，，，
，即，
，
，
，，
，，
为最小边，
利用正弦定理得：．
故答案为：
利用两角和与差的正切函数公式列出关系式，将与的值代入求出的值，进而确定出的值，得到的度数，由的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，利用正弦定理求出的值，即为最小边长．
此题考查了正弦定理，两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：因为，
，
同理，由积化和差角公式可得，，
则，
所以，
故．
故答案为：．
由已知结合和差角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
15.【答案】解：
，
令，得，，所以对称中心为，．
当时，，
所以，得到，
当时，，即，当时，，即，
所以，最大值为，此时，最小值为，此时．
【解析】根据条件得到，再利用性质即可求出结果；
由及图像与性质知，时，，即可求出结果．
本题考查三角恒等变换，考查正弦函数的性质，属于中档题．
16.【答案】解：过点作，垂足为，
，，，，
在中，，
在中，，
由余弦定理可得，，
；
，
．
【解析】过点作，垂足为，分别求出，，再由余弦定理即可求出；
直接由三角形的面积公式即可求得答案．
本题主要考查了余弦定理的应用，考查了两角和的正弦公式，属于中档题．
17.【答案】解：由于，整理得，故，
由于；
所以；
为锐角三角形，
故；
利用正弦定理；
所以；
即．
【解析】直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换求出的值；
直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换及正切函数的值求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
18.【答案】解：，理由如下：
，
，
所以，即，
因为，，且，所以，即，
所以．
过点作于点，
由，，知，
因为，所以，所以，，
所以，，
所以，，
因为点为线段的靠近点的三等分点，所以，
所以，
所以．
【解析】用基底，表示出和，即可知与的位置关系，再根据平面向量的四则运算法则，即可得解；
过点作于点，根据平面几何知识，可得点的坐标，再表示出向量的坐标，然后由平面向量数量积的运算法则，得解．
本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的线性运算和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：，
所以函数的“相伴向量”．
由题知：．
可求得在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减，
且，，，，，
图象与有且仅有四个不同的交点，
，
所以，实数的取值范围为；
，
其中，，，
当，即时，取得最大值．
此时，
令，则由知：，解得，
，因为在上单调递增，
所以在上单调递减，从而
【解析】由两角和差的三角函数公式可得，进而可得函数的相伴向量．
根据题意可得，作出分段函数的图象，得出函数与有四个交点时，实数的取值范围．
根据题意可得，其中，当时，取得最大值，令，则，解得的取值范围，再求出的取值范围．
本题主要考查向量和三角函数相结合的新定义问题，属于较难题
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