2023-2024学年江西省宜春市宜丰中学创新部高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年江西省宜春市宜丰中学创新部高一（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，，且，则等于( )
A. B. C. D.
2.节日里，人们常用放气球的形式庆祝，已知气球的体积单位：与半径单位：的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为( )
A. B. C. D.
3.已知函数的导函数为，且，则( )
A. B. C. D.
4.等比数列的前项和为，，，则为( )
A. 或 B. C. D.
5.已知：数列满足，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在，上单调递增，在上单调递减，则实数的取值范围为
( )
A. B. C. D.
7.已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图是导函数的图象，则下列说法正确的是( )
A. 为函数的单调递减区间
B. 为函数的单调递增区间
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在处取得极小值
10.已知等差数列的前项和为，，，则( )
A. B. 中的最小值为
C. 使的的最大值为 D.
11.对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”若函数的图像恰好有对“隐对称点”，则实数的取值可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数在处的切线为，则直线的方程为______．
13.对上可导的函数，若满足，且，则的解集是______．
14.已知数列的通项公式为，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求函数在的最值；
若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知数列是正项等比数列，其前项和为，且，．
求的通项公式；
记的前项和为，求满足的最大整数．
17.本小题分
已知函数，．
当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
是否存在实数，使得在上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18.本小题分
已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设是首项为，公比为的等比数列，
(ⅰ)求数列的前项和；
(ⅱ)若不等式对一切恒成立，求实数的最大值．
19.本小题分
已知函数，其中．
当时，求的极值；
讨论当时函数的单调性；
若函数有两个不同的零点、，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：等差数列中，，且，
则．
故选：．
由已知结合等差数列的通项公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由，求导得，
所以时体积关于半径的瞬时变化率为．
故选：．
根据瞬时变化率的定义结合导数的运算求解即可．
本题考查了瞬时变化率的定义应用问题，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，所以，令，则，，
则，所以．
故选：．
根据题意，对等式两边求导，再令，求出，从而求得的值．
本题考查了基本初等函数的求导公式，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，等比数列中，，，成等比数列，
若，，则有，即，
解可得或，
又由，必有．
故选：．
根据题意，由等比数列的性质可得，，成等比数列，由此可得，进而计算可得答案．
本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
，
，
这个式子相加，就有
，
即，
，
用均值不等式，知道它在的时候取最小值．
故选：．
，，，，这个式子相加，就有，故，由此能求出的最小值．
本题考查数更列的性质和应用，解题时要注意递推公式的灵活运用．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
先得到导函数，由题结合二次函数与根的分布情况列出关于的不等式组，解之即可．
【解答】
解：因为，所以，
因为函数在，上为增函数，在上为减函数，则方程的两个根分别在区间和上，
所以，即，解得．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，等差数列与的前项和分别为，，且，
设，，
则，
，
故．
故选：．
根据题意，设，，由此用表示、的值，计算可得答案．
本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：不妨设，
，，
，即，，
故，
令
，
易知在上是增函数，且，
当时，，
当时，，
即当时，取得极小值同时也是最小值，
此时，即的最小值为，
故选：．
根据得到，的关系，利用消元法转化为关于的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．
本题主要考查导数的应用，利用换元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由图象可知，时，，
所以为函数的单调递减区间，故A正确；
由图象可知，时，，
所以为函数的单调递减区间，故B错误；
由图象可知，，
且当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故函数在处取得极大值，故C正确；
由图象可知，，故不是函数的极值点，故D错误．
故选：．
对于选项，利用函数的单调性和导数的正负关系进行判断；对于选项，利用函数的极值点的定义判断．
本题考查导数的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：依题意，等差数列的公差，由，得，解得，
数列的通项，A正确；
显然等差数列是递增数列，且，，则中的最小值为，B正确；
又，得，的最大值为，C错误；
，D错误．
故选：．
根据题意计算出和即可得到的通项公式，通过通项公式可以判断，计算出可判断，根据选项可知，，把绝对值去掉可计算．
本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：依题意，函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点，
即方程有两个根，
即，
令，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
又在处的切线方程为，如图，
由图可知，要使方程有两个根，则或，
观察四个选项可知，实数的取值可以是或或．
故选：．
由题意可得，函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点，再次转化为与的图象有个交点，然后画出图象，根据图象可求得答案．
本题主要考查了函数与方程的综合应用，考查导数的几何意义，考查函数的新定义，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为函数，
所以，
，
又，
：，即：．
故答案为：．
求导函数，求出切线的斜率，利用点斜式，可得切线的方程．
本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：令，，而，
易知，故，则在上单调递增，
而，若，则，则．
故答案为：．
依据题意构造函数，用导数判断函数的单调性，再解不等式即可．
本题主要考查了导数与单调性关系，还考查了单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
14.【答案】．
【解析】解：，则，
，
又不等式恒成立，
恒成立恒成立
恒成立，
又是减函数，
．
故答案为：．
利用裂项法求出，恒成立，则恒成立，又是减函数，故．
本题考查了数列的和不等式的综合，属于中档题．
15.【答案】解：当时，，
可得，
令，解得和，
则，，在的变化情况如下：
小于 大于
单调递减 极小值 单调递增
所以，．
由函数，可得，
因为在上单调递增，所以恒成立，即恒成立，
故，
经检验，当时，符合题意，
故实数的取值范围是．
【解析】根据题意，求得，求得函数的单调性和最值，即可求解；
求得，结合题意，转化为恒成立，进而实数的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，属中档题．
16.【答案】解：由题意，设等比数列的公比为，
则，即，
，
，
化简整理，得，
解得舍去，或，
，．
由可得，
，
则
，
，
，
数列是单调递增数列，
当时，，
当时，，
满足的最大整数的值为．
【解析】先设等比数列的公比为，再根据题干已知条件及等比数列的性质列出关于公比的方程，解出的值，根据等比数列的通项公式即可计算出数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式计算出前项和的表达式，然后运用作差法分析出数列是单调递增数列，进一步推导即可计算出满足的最大整数．
本题主要考查等比数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，分组求和法，等差数列和等比数列的求和公式的运用，等比数列的性质，作差法，不等式的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
17.【答案】解：时，，，
故，，
故曲线在点处的切线方程是，
即，
直线在轴，轴上的截距均为，
故所求三角形的面积为；
，
令，解得：或，
当，即时，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，解得：，
当，即时，当时，，单调递减，
则，解得：，舍，
综上：存在，使得在上的最小值是．
【解析】代入的值，求出函数的导数，计算，，求出切线方程，求出三角形面积即可；
求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于的方程，求出的值即可．
本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．
18.【答案】解：依题意得，，
即有，解得，
，即；
，，
，
，
所以．
；
由易求得，
所以不等式对一切恒成立，
即转化为对一切恒成立，
令，则，
又，
当时，；时，，
所以，且，
则，
所以实数的最大值为．
【解析】根据等差数列通项公式与前项和公式，结合等比中项进行求解；
先计算的通项公式，再用错位相减法求解；
代入，，得到对一切恒成立，构造函数，再求的最小值，即可求得结果．
本题考查等差数列、等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的错位相减法求和、不等式恒成立问题，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
19.【答案】解：当时，的定义域为，
所以，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以在处取得极大值，
所以的极大值为，无极小值．
函数的定义域为，
又．
当时，令则或．
当，即时，当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
当，即时，在上恒成立，所以在上单调递增．
当，即时，当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
有两个不同的零点、，
即有两个不同正实根，，得有两个不同正实根，，
即与有两个交点，
令，则，令，得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以时，取得最大值，且，当时，
得的大致图像如图所示：
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
【解析】求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；
求出函数的导函数，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
由函数有两个不同的零点、，构造函数利用导数研究函数单调性的最值，结合函数图像求实数的取值范围；
本题主要考查利用导数求单调性和极值，属于难题．
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