2023-2024学年广东省东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学高一（下）段考数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学高一（下）段考数学试卷
一、选择题（共60分）
1.已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.下列说法正确的是( )
A. “”是“”的充分条件
B. “”是“”的必要条件
C. “的一个对称中心是原点”是“”的充分不必要条件
D. “”的充分不必要条件是“与的夹角为钝角”
4.已知平面向量，，若存在实数，使得，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.小王从甲地到乙地往返的时速分别为和，其全程的平均时速为，则( )
A. B.
C. D.
6.在中，若，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
7.已知方程与的根分别为，，则下列说法不正确的是( )
A. B.
C. D.
8.在等腰中，角，，所对应的边为，，，，，是外接圆上一点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若，则或
B. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限
C. 若，则的模为
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 函数的周期为
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在单调递减
D. 该图象先向右平移个单位，再把图象上所有的点横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，可得的图象
11.如图，中，，点在线段上，与交于点，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D. ：：
12.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在数书九章中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即现有满足：：：：，且，则( )
A. 外接圆的半径为
B. 若的平分线与交于，则的长为
C. 若为的中点，则的长为
D. 若为的外心，则
二、非选择题（共90分）
13.已知，则______．
14.向量在向量上的投影向量为______．
15.在中，其内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为______．
16.设，，用表示，中较小者，记为，若方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围为______．
17.已知是虚数单位，若复数是纯虚数，求实数的值；
已知复数，且，试求复数．
18.已知，．
若，求；
若与的夹角为，求；
若与垂直，求与的夹角．
19.已知的内角，，所对的边分别是，，，．
求角；
若外接圆的周长为，求周长的取值范围．
20.为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三方餐饮企业联合打造了社区食堂，每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解决了老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致好评如图，送餐人员小夏从处出发，前往，，三个地点送餐已知，，，且，．
求的长度．
假设，，，均为平坦的直线型马路，小夏骑着电动车在马路上以的速度匀速行驶，每到一个地点，需要分钟的送餐时间，到第三个地点送完餐，小夏完成送餐任务若忽略电动车在马路上损耗的其他时间例如：等红绿灯，电动车的启动和停止，求小夏完成送餐任务的最短时间．
21.如图，平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基若，则将有序实数对，称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为．
记向量，，求向量在这个基下的斜坐标；
设，，求；
试探究两个向量在这个基下的垂直条件，要求写出探究过程．
22.如图，在我校即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，这条跑道一共由三个部分组成，其中第一部分为曲线段，该曲线段可近似看作函数，的图象，图象的最高点坐标为第二部分是长为千米的直线段，轴跑道的最后一部分是以为圆心的一段圆弧．
若新校门位于图中的点，其离的距离为千米，一学生准备从新校门笔直前往位于点的万象楼，求该学生走过的路的长；
若点在弧上，点和点分别在线段和线段上，若平行四边形区域为学生的休息区域，记，请写出学生的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为复数满足，
所以，
故的虚部为．
故选：．
结合复数的四则运算进行化简，然后结合复数的基本概念即可求解．
本题主要考查了复数的四则运算及复数的基本概念，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：中，，，则，
中，，
则，则．
故选：．
根据集合的定义，函数的性质即可得．
本题考查集合的运算，函数的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：对于，当时，满足，此时可能有，A错误；
对于，等价于或，故“”是“”的充分不必要条件，B错误；
对于，“的一个对称中心是原点”等价于，
故“的一个对称中心是原点”是“的必要不充分条件，C错误；
对于，等价于与的夹角，故“”的充分不必要条件是“与的夹角为钝角”，D正确．
故选：．
选项，举出反例；选项，求出的解集，得到“”是“”的充分不必要条件；选项，求出的一个对称中心是原点时满足的条件，判断出答案；选项，由求出与的夹角，从而得到D正确．
本题考查充分必要条件，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，若存在实数，使得，
则，解可得或舍，
故．
故选：．
根据题意，由数乘向量的定义，分析可得，解可得的值，即可得答案．
本题考查向量平行的坐标表示方法，涉及向量的数乘运算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，设甲乙两地相距，则全程的平均时速为，故A错误，B正确；
又由，则，
又由，则有，
变形可得，即，
故C正确，D错误；
故选：．
根据题意，设甲乙两地相距，分析可得平均速度，结合基本不等式，即可得出结果．
本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及不等式的基本性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由，得，
化简得，
当时，即，则为直角三角形；
当时，得，则为等腰三角形；
综上：为等腰或直角三角形，故D正确．
故选：．
利用余弦定理将化简为，从而可求解．
本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：对于、，方程与的根分别为，，
即与的交点横坐标为，与的交点横坐标为，
由题知，，
与的图象关于对称，都与相交，
可得点与点关于对称，
所以，即，故A，C正确；
设，显然函数在上单调递增，
又，
对于，由零点存在定理可知，
根据对称性可得，B正确；
对于，由选项知，，，
则，
所以，D错误．
故选：．
对于，用函数图象的对称性来判断；对于，利用零点存在定理来判断；对于，直接计算可得答案；对于，作差判断大小．
本题考查函数与方程的综合应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意等腰中，，，
故，
设外接圆半径为，
则，
即，
以的外接圆圆心为原点，以的垂直平分线为轴，过点作的平行线为轴，建立平面直角坐标系，
则，
设，，
则，，
则，
，
故，
因为，
故，
即的取值范围是．
故选：．
根据正弦定理求出外接圆半径，建立平面直角坐标系，求出三角形顶点坐标，设，根据向量的坐标运算，求出的表达式，结合三角函数性质，即可求得答案．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量数量积的坐标运算，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：令，满足，但，，故A错误；
点的坐标为，
则对应的点在第三象限，故B正确；
，
则，故C错误；
，该轨迹为圆心为原点，介于半径与之间的圆环部分，
故点的集合所构成的图形的面积为，故D正确．
故选：．
对于，结合特殊值法，即可求解；
对于，结合共轭复数的定义，复数的几何意义，即可求解；
对于，结合复数模公式，即可求解；
对于，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，复数模公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据函数的部分图象，
可得，，
．
再结合五点法作图，可得，
，
，
由于函数的周期为，故A正确；
令，求得，可得函数的图象关于点对称，故B正确；
在上，，函数单调递增，故C错误；
把的图象先向右平移个单位，可得的图象；
再把图象上所有的点横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，可得的图象，故D正确，
故选：．
由顶点坐标求出，由周期求出，由五点作图求出，可得的解析式，再利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，由顶点坐标求出，由周期求出，由五点作图求出，函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于：因为，
所以，即A正确；
对于：设，，
由选项A知，，
所以，
因为，即点是的中点，
所以，
所以，解得，，
所以，，
所以，即B错误；
对于：，
，
，
所以，即C正确；
对于：由上可知，，
所以：：：，即D正确．
故选：．
选项A，由已知可得：：，进而得；选项B，设，，以为基底表示，可构造关于和的方程组，解之，即可作出判断；选项C，根据向量的线性运算法则即可判断；选项D，根据，利用三角形面积比即可判断．
本题考查平面向量的基本定理，熟练掌握平面向量的线性运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为满足：：：：，所以由正弦定理得：：：：：，
设，，，因为的面积，所以解得，
即，，，由余弦定理可得，
，
外接圆的半径为，故A正确；
对于，由选项可得角，所以，
所以，故B正确；
对于，若为的中点，则，
所以，所以，
所以的长为故D错误；
对于，若为的外心，，故D正确．
故选：．
利用已知可得，，，结合正弦定理、余弦定理逐项计算可判断每个选项的正确性．
本题考查正余弦定理和三角形面积公式的应用，考查向量的数量积的计算，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先用诱导公式将题目化简，然后运用切换弦进行化简，代入数据可得．
本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，，，
向量在上的投影向量为，．
故答案为：．
根据题意，由投影向量的计算公式计算可得答案．
本题考查投影向量的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由余弦定理得：，
即，
所以，
所以．
故答案为：．
由余弦定理可求得，再由三角形的面积公式计算即可求得．
本题考查利用余弦定理和三角形的面积公式解三角形，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由已知得，
作出的图象如下图象中的实线部分：
又，
则，即或，
由图易知有两个解，故有个解，故．
故答案为：．
作出分段函数的图象，分解因式，再利用的图象与之间的关系判断即可．
本题考查函数与方程的综合应用，属于中档题．
17.【答案】解：是纯虚数，
则，解得；
，
则，解得．
【解析】结合纯虚数的定义，即可求解；
结合配方法，即可求解．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
18.【答案】解：因为，所以，
因为，，所以；
因为，，与的夹角为，
所以，
所以；
因为与垂直，所以，
所以，
所以，
因为，所以与的夹角为．
【解析】直接利用向量的共线的充要条件求出结果．
利用向量的模和向量的夹角求出结果．
利用向量的垂直的充要条件求出结果．
本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的共线和垂直的应用，属于中档题．
19.【答案】解：，
由正弦定理化简可得，
，
为三角形内角，，
；
的外接圆周长为，
故外接圆半径为，
，
由正弦定理可得，可得，
由余弦定理，可得，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
又，
，
即的周长的取值范围为．
【解析】由正弦定理化简已知等式可得，利用余弦定理可得，结合范围，可求的值；
由正弦定理可得，由余弦定理，基本不等式可求的范围，进而可求的周长的取值范围．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20.【答案】解：因为，，所以，
在中，由余弦定理得：
；
在中，由余弦定理得：
，
所以，
所以，
在中，由余弦定理得
，解得．
假设小夏先去地，走路线，路长，
假设小夏先去地，因为，所以走路线，路长，
假设小夏先去地，走路线，路长，
由于，
所以小夏走路线，且完成送餐任务的最短时间为．
【解析】根据余弦定理即可求解；
根据余弦定理求解，进而得，由两角和与差的余弦公式可得，进而由余弦定理求解，根据三种不同的送餐路线，计算路程的大小，即可比较求解．
本题考查解三角形问题，余弦定理的应用，化归转化思想，方程思想，属中档题．
21.【答案】解：，
所以向量；
由已知，有，，
；
设，，
则，，
所以
，
，
，
所以两个向量在这个基下的垂直条件为：设，，则．
【解析】由即可得出答案；
由，，再结合平面向量的数量积公式得解；
设，，由计算即可求得．
本题考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
22.【答案】解：由已知条件，得，
又，，．
又当时，有，，．
曲线段的解析式为，．
由，即，
，，
得，．
，
学生走过的路长为千米．
如图，，，，，
作轴于点，在中，，
在中，，
．
，
当时，即时，平行四边形的面积最大值为．
【解析】由题意可得，，代入点求，从而求解析式，令由求解，从而求景观路的长；
作图求，从而可求最值．
本题考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了学生的作图能力，属中档题．
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