湖南省郴州市汝城县第一中学高一2024年4月23日数学周考试卷（含答案）

2024年高一数学测试卷（4月23日）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．2
2．已知平面向量，，且，则下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
3．已知，，则等于( )
A． B． C． D．
4．如图所示，中，点D是线段的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，为单位向量，，若，求与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
8．定义，设函数，；记函数，且函数在区间的值域为，则区间长度的最大值（　　）
A．1 B． C． D．2
二、多选题
9．设为复数，下列命题正确的是（ ）
A． B．
C．若，则为纯虚数 D．若，且，则
10．已知定义在上的函数满足为奇函数且，以下说法一定正确的是（ ）
A． B．，都有，且
C． D．
11．已知函数，若，，且在区间上单调递减，则下列说法正确的有（ ）
A． B．函数在区间上单调
C． D．对任意，均有
三、填空题
12．已知向量，，若与所成的角为锐角，则实数的取值范围为 .
13．已知是定义在上的奇函数，且对，当时，都有．若，则的取值范围是 ．
14．在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（且），则CD的长度是 ．
四、解答题
15．已知，，．
(1)求；
(2)当为何值时，与垂直？
(3)求向量与的夹角的余弦值．
16．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求角B的大小； (2)若，D为边上的一点，，且______，求的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
①是的平分线；②D为线段的中点．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）
17．已知函数f（x）为增函数，当x，y∈R时，恒有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）
（1）求证：f（x）是奇函数.
（2）是否存在m，使，对于任意x∈［1，2］恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.
18．某商场准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界的距离分别为.设计者准备过点R修建一条长椅（点M，N分别落在上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.
(1)求点S到点T的距离；
(2)求点P到点R的距离；
(3)为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值.
19．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
(1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
(2)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与反向的单位向量；
(3)已知为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1-8．ABCBD CCD 9.AD 10.AD 11.AC 12． 13． 14．
7．C【详解】因为，由正弦定理得，
因为，所以，所以，即，所以．因为，所以，所以，所以，所以由正弦定理得 ，由题意知，所以，所以．
8．D【详解】令，即，解得，所以，
则的图象如下所示：又，，要使函数在区间的值域为，当时，当时，所以当，时区间长度的取得最大值，且最大值为.
9．AD【详解】选项A，设，，
，∴
∴,故A正确；选项B，取，则 ，，故B错误；选项C，取为实数，故C错误；选项D, ，，，，又，，故D正确
10．AD【详解】对于选项，因为为奇函数，所以，则正确，错误；
由可知，令，则，则正确，错误；
11．AC【详解】因为在区间上单调递减，且
所以点是函数的一个对称中心，并且最小正周期满足，即，
所以当，则直线是函数的一条对称轴与对称中心相邻，则，即，所以，故A正确；则，由于是函数的一个对称中心，所以，得，又，所以，故C正确；则，所以，当时，，则函数在区间上不单调，故B错误.又的最小值为-1，则对任意，均有，故D错误；
12．【详解】因为与所成的角为锐角，故且不共线同向.
故即.若共线，则即，故实数的取值范围为.故答案为：.
14．【详解】∵三点共线，∴可设，∵，∴，即，若且，则三点共线，∴，即，∵，∴，
∵,,，∴，设，，则，.
∴根据余弦定理可得，，
∵，∴，解得，∴的长度为.
15．【详解】（1）依题意，，
所以.
（2）若与垂直，则，
解得.
（3），设向量与的夹角为，则.
16．【详解】（1）由正弦定理知，，∵，代入上式得，∵，∴，，∵，∴．
（2）若选①：由平分得，，∴，即．在中，由余弦定理得，又，∴，
联立得，解得，（舍去），∴．
若选②：因为，所以，即，得，在中，由余弦定理得，即，
联立，可得，∴．
17．【详解】（1）令x＝y＝0得f（0）＝0令y＝－x，则f（0）＝f（x）＋f（－x）＝0
∴f（－x）＝－f（x）　∴f（x）为奇函数.
（2）假设存在m　则，∵f（x）为奇函数且单调递增，　　
∴，∴，∴在x∈［1，2］时，恒成立.　　　∴　在x∈［1，2］上，恒成立.　
设，所以在∈［0，1］上，恒成立.　∴
18．【详解】（1）连接，在四边形中，
因为，，，所以.
在中，由余弦定理可得，
所以（m）.
（2）在中，由余弦定理可得.
则，
在中，由正弦定理可得，
解得.
在中，由勾股定理得，
所以（m）.
（3）因为，
，
所以，所以，
当且仅当时等号成立，因此，.
所以当时，三角形区域面积最小，最小值为.
19．【详解】（1）由题意，，
因为，所以，
因为，所以，所以，
.
（2）
，
所以，与反向的单位向量为.
（3）由题意，解得；
，
设，则,,
若，则，即，
整理得；
因为，所以；
又，当且仅当时，和同时取到，
此时的坐标为，所以在的图象上是否存在一点，使得.
答案第1页，共2页
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