课件26张PPT。3.4.1相似三角形的判定 已知:DE//BC,且D是边AB的中点,DE交AC于E .
猜想:△ADE与△ABC有什么关系?并证明。证明:且 ∠A= ∠A∵ DE // BC∴∠1 =∠B,∠2 =∠C∴ △ADE与△ABC的对应角相等相似。12三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似,相似比 。 ∴ 四边形DBFE是平行四边形∴ DE=BF , DB= EF∴ △ADE ∽ △ABCF过E作EF//AB交BC于F 又∵ DE // BC又∵ AD = DB∴ AD = EF∵ ∠A =∠3,∠2 =∠C∴ △ADE≌△EFC∴ DE = FC =BF,∴∴ ∴ △ADE与△ABC的对应边成比例23AE=EC已知:DE//BC,△ADE与△ABC有什么关系?
猜想:△ADE与△ABC有什么关系?相似。ABCDEF当点D在AB上任意一点时,上面的结论还成立吗?12你能证明吗? 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似。延伸即:
如果DE∥BC,
那么△ADE∽△ABC你能证明吗?X型 三角、三边对应相等的两个三角形全等三角对应相等, 三边对应成比例的两个三角形相似 角边角A
S
A角角边A
A
S边边边S
S
S边角边S
A
S斜边与直角边H
L 判定三角形相似,是不是也有这么多种方法呢?已知:△ABC∽△A1B1C1.求证:有效利用判定定理一去求证。 证明:在线段 (或它的延长线)上截取 ,过点D作 ,交 于点E根据前面的定理可得 .DE∴又DE∴∴∴(SSS)∵∴ 如果两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形相似。判定三角形相似的定理之一△ABC∽△A1B1C1.即:
如果
那么 三边对应成比例,两三角形相似。√求证:∠BAD=∠CAE。∴ΔABC∽ΔADE
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAC-∠DAC =∠DAE-∠DAC
即∠BAD=∠CAE已知:解:∵已知:△ABC∽△A1B1C1.求证:∠B =∠B1 .你能证明吗? 如果两个三角形的两组对应边成比例,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。判定三角形相似的定理之二两边对应成比例,且夹角相等,
两三角形相似。√△ABC∽△A1B1C1.即:
如果∠B =∠B1 .那么 大家一起画一个三角形 ,三个角分别为60°、45°、75°,大家画出的三角形相似吗?同桌的同学,通过测量对应边的长度进行比较。即:如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等,那么这两个三角形_______。相似一定需要三个角吗?已知:△ABC∽△A1B1C1.求证:∠A =∠A1,∠B =∠B1 .你能证明吗? 如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。判定三角形相似的定理之三两角对应相等,两三角形相似。△ABC∽△A1B1C1.即:
如果那么√∠A =∠A1,∠B =∠B1 . 如果两个三角形有一个内角对应相等,那么这两个三角形一定相似吗?一角对应相等的两个三角形不一定相似。△ACD ∽ △ CBD∽ △ ABC找出图中所有的相似三角形。“双垂直”三角形有三对相似三角形:
△ACD∽ △CBD
△CBD∽ △ABC
△ACD∽ △ABC已知:DE∥BC,EF∥AB.
求证:△ADE∽△EFC. 解: ∵ DE∥BC,EF∥AB(已知) ∴∠ADE=∠B=∠EFC (两直线平行,同位角相等)∠AED=∠C(两直线平行,同位角相等) ∴ △ADE∽△EFC
(两个角分别对应相等的两个三角形相似)已知:△ABC∽△A1B1C1.求证:你能证明吗?Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似。判定三角形相似的定理之四△ABC∽△A1B1C1.即:
如果那么√Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.
? 平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的三角形与原三角形相似;? 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.(SAS)相似三角形的判定方法小结? 三边对应成比例,两三角形相似.(SSS)? 两角分别相等的两个三角形相似(AA)? 一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似。(HL)(1)所有的等腰三角形都相似。
(2)所有的等腰直角三角形都相似。
(3)所有的等边三角形都相似。
(4)所有的直角三角形都相似。
(5)有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。
(6)有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。
(7)若两个三角形相似比为1,则它们必全等。
(8)相似的两个三角形一定大小不等。1. 判断下列说法是否正确?并说明理由。√×√×√×√×练习 1. 如果两个三角形的相似比为1,那么这两个三角形________。
2. 若△ABC与△A′B′C′相似,一组对应边的长为AB=3 cm,A′B′=4 cm,那么△A′B′C′与△ABC的相似比是________。
3. 若△ABC的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm,那么A′B′C′的最大边长是________。全等4︰324cm解: (1)∵ DE ∥ BC∴ △ADE∽△ABC∵∠AED =∠C = 400在△ADE中,∠ADE =180°-40°-45°= 95°4. 已知:DE∥BC,AE=50cm,EC=30cm,
BC=70cm,∠BAC=45°,∠ACB=40°
求:(1)∠AED和∠ADE的大小。
(2)求DE的长。(2) ∵△ADE∽△ABC∴课件10张PPT。3.4.2相似三角形的性质相似三角形的———————, 各对应边——————。对应角相等成比例1.三角形相似的判定方法有那些?两个角对应相等的两个三角形相似。两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。三边对应成比例的两个三角形相似。2. 相似三角形的有哪些性质?3.相似三角形还有哪些性质?预备定理平行线构成的三角形与原三角形相似。定义三个对应角相等,三条对应边的比相等。(不常用)相似三角形对应高的比等于相似比 ∵△ ABC∽ △ A1B1C1
∴∠B = ∠B1
又∵∠ADB = ∠ A1D1B1 =900
∴△ ADB∽△ A1D1B1(角角)DD1证明:∴相似三角形对应角平分线的比等于相似比∵ △ ABC∽ △ A1B1C1
∴ ∠B = ∠B1,∠BAC = ∠B1A1C1
∵ AD,A1D1分别是∠BAC和∠B1A1C1的角平分线
∴ ∠BAD = ∠B1A1D1
∴ △ ADB∽△ A1D1B1(角角)DD1证明:∴相似三角形对应中线的比等于相似比DD1如果两个三角形相似,它们的周长之间有什么关系?两个相似多边形呢?如果△ABC∽△A'B'C',相似比为k,那么因此AB=k A'B',BC=kB'C',CA=kC'A'从而C'相似多边形周长的比等于相似比得到:相似三角形周长的比等于相似比(1)如图,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,它们的面积比是多少?ABCA'B'C'D'D如图,分别作出△ABC和△A'B'C'的高AD和A'D'.∵ ∠ADB =∠A/D/B/ ∠B=∠B'∴ △ABD∽△A'B'D'这样,得到:相似三角形面积的比等于相似比的平方.(2)如图,四边形ABCD相似于四边形A'B'C'D',相似比为k2,它们的面积比是多少?ABCDA'B'C'D'则△ABC∽△A'B'C',△ADC∽△A'C'D',相似多边形面积的比等于相似比的平方.分别连接AC,A'C'例6.如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,△ABC的周长是24,面积是48,求△DEF的周长和面积.解:在△ABC和△DEF中,∵ AB=2DE,AC=2DF∴又 ∠D=∠A∴ △DEF∽△ABC,相似比为ABCDEF 例题分析相似三角形的性质对应角相等对应边成比例对应高的比,对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.相似比等于对应边的比周长的比等于相似比面积的比等于相似比的平方